Методическая разработка Решение экзаменационных сложных заданий (С3-С4) по материалу курса математики

Ответ:  Вариант 10. С3 Решите неравенство Решение:                   0 1 2 3 Решим уравнение: 1)   верно 2)  Неравенство не выполняется на  Ответ:  Вариант 1. С4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен . Решение: Обозначим данный треугольник АВС, ВС – основание, АВ = АС = 5х. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, - окружность, вписанная в треугольник АВС. Пусть О – ее центр, а Е – точка касания с основанием ВС. Обозначим ∠АВС = α, sinα = , cosα = , АЕ = АВ * sinα = 4х, ВС = 2АВ * cosα = 6х. Так как ВО – биссектриса треугольника АВЕ, то , следовательно ОЕ =  Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке M, а АС в точке N (рис.1). ∠МАN = 180° - 2α, sin∠MAN = 2sinα = 2sinαcosα = , cos∠MAN =  Тогда в треугольнике AMN MN = 24, АМ = 7, AN = 25. У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны: ВС + MN = BM + CN; 6х + 24 = (5х – 7) + (5х – 25) Откуда находим: х = 14, ОЕ = 21 Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис.2). В прямоугольном треугольнике NBM ∠NBM = α, MN = 24, BM = 18, BN = 30. У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны: АС + MN = АМ + CN; 5х + 24 = (5х – 18) + (6х – 30), откуда находим: х = 12, ОЕ = 18 Ответ: 18 или 21 Вариант 2. С4 Точки Д и Е – основания высот непрямоугольного треугольника АВС, проведенных из вершин А и С соответственно. Известно, что , ВС = а и АВ = в. Найдите сторону АС. Решение: 1) ΔABC – остроугольный. Т.к. АД ⊥ ВС и СЕ ⊥ АВ, значит ΔAЕС и ΔAДС - прямоугольные, следовательно АС – гипотенуза этих треугольников и является диаметром окружности, описанной около четырехугольника АЕДС. ∠ ВДЕ и ∠ ЕДС – смежные, значит ∠ ВДЕ = 180º – ∠ ЕДС ∠ ЕАС и ∠ ЕДС – противоположные углы вписанного четырехугольника, значит ∠ ЕАС + ∠ ЕДС = 180º, отсюда ∠ ЕАС = 180º - ∠ ЕДС Из подчеркнутых равенств следует, что ∠ ЕАС = ∠ ВДЕ ∠ В – общий ΔДВЕ и ΔAВС ΔДВЕ ∼ ΔABC по двум углам с коэффициентом , отсюда cos ∠В = k Тогда по теореме косинусов АС2 = АВ2 + ВС2 – 2АВ*ВС* cos ∠В = в2 + а2 – 2авк АС = √а2 +в2 – 2авк ΔABC – тупоугольный (∠АСВ – тупой) Четырехугольник ЕСД – вписанный и, аналогично предыдущему получаем cos∠В = к и  Такой же ответ получаем в случае, когда ∠ВАС – тупой 2) Пусть ∠В – тупой, тогда основания высот АД и СЕ лежат на продолжениях сторон ВС и АВ ∠СДЕ и ∠САЕ – вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому ∠ВДЕ = ∠СДЕ = ∠САЕ = ∠САВ ΔЕДВ ∼ ΔСАВ по двум углам с коэффициентом  = cos(180°-α) = -cosα, т.е. cos∠В = -к Тогда  Ответ:  Вариант 3. С4 В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, СА = 4. Точка Д лежит на прямой ВС так, что ВД:ДС = 1:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников АДС и АДВ, касаются стороны АД в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. Решение: Пусть АД = d, ВД = х, ДС = у РΔАДС = АД + АС + ДС = АЕ + ЕД + ДК + КС + АN + NC ДЕ = ДК, как отрезки касательных, проведенных из т.Д Точно также АЕ = АN и КС = NС, поэтому АС = AN +NC = АЕ + КС 2ДЕ = АД + АС + ДС – 2АС 2 ДЕ = АД + ДС – АС ДЕ =  РΔАВД = АВ + ВД + АД = AL + LB + BT + TД + ДF + AF AL = AF; BL = BT ДТ = ДF, как отрезки касательных АВ + ВД + АД = 2ДF + 2(AL + BL) 2ДF = АВ + ВД + АД – 2АВ ДF =  1) Точка Д лежит на отрезке ВС, тогда х:у = 1:3 ВС = х + у = 1 + 3 = 4 ВС = 8 8:4 = 2 х = 2; у = 2*3 = 6 EF = ДЕ – ДF =  2) Точка Д лежит вне отрезка ВС ВС = у – х = 3 – 1 = 2 ВС = 8 8:2 = 4 ВД = 4 ДС = 8 + 4 = 12 EF = ДЕ – ДF =  Ответ: 3 или 5 Вариант 4. С4 В параллелограмме АВСД биссектрисы углов при стороне АД делят сторону ВС точками M и N так, что ВМ:MN = 3:5. Найдите ВС, если АВ = 12 Решение: ∠ 1 = ∠ 2, так как АМ – биссектриса ∠ А ∠ 1 = ∠ 3, так как внутренние накрест лежащие при АД||ВС и секущей АМ, значит, ∠ 2 = ∠ 3 и ∆АВМ – равнобедренный и ВМ = АВ = 12 Из пропорции ВМ:МN = 3:5 MN =  ∆ДСN – равнобедренный NC = ДС = АВ = 12 ВС = ВМ + МN + NC = 12 + 20 + 12 = 44 ВМ : MN = 3 : 5 АВ = 12 ВN = АВ = 12 ВМ = ВМ + МN = 3 + 5 = 8 12 : 8 = 1,5 ВМ = NC = 1,5 * 3 = 4,5 MN = 1,5 * 5 = 7,5 ВС = 4,5 + 7,5 + 4,5 = 16,5 Ответ: 44 или 16,5 Вариант 5. С4 В параллелограмме АВСД известны стороны АВ = а, ВС = в и ∠ВАД = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ВСД и ДАВ. Решение: 1 случай Из ∆АВД О1 и О2 – точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольников, отсюда ВД перпендикулярна О1О2 и ВО2ДО1 – ромб. ∠ВО1Д – центральный, а ∠ВАД – вписанный, они опираются на одну и ту же дугу, значит ∠ВАД = 1\2∠ВО1Д1 = ∠ВО1Д2 = α Точно также ∠ВСД = 1\2∠ВО2Д = ∠ВО1О2 = α Рассмотрим ∆О1ВМ – прямоугольный  = ctgα = О1М = ВМ * ctgα = О1О2 = О1М = 2*ВМ* ctgα = ВД* ctgα =  * ctgα 2 случай ∆ВАД ∠ВАД – вписанный, опирающийся на дугу ВД, следовательно ∠ВАД = 1/2 дуги ВД ∠ВО1Д – центральный, опирается на дугу ВАД, следовательно ∠ВО1Д = дуге ВАД ∠ВО1О2 = 1/2∠ВО1Д = 1/2 дуги ВАД ∠ВАД + ∠ВО1О2 = 1/2 дуги ВД + 1/2 дуги ВАД = 1/2 (дуга ВД + дуга ВАД) = 1/2 * 360° = 180° следовательно ∠ВО1О2 = 180° - ∠ВАД = 180° - α Из ∆ВО1М – прямоугольный ctg∠ВО1М = МО1/ВМ = МО1 = ВМ * ctg∠ВО1М = О1О2 = 2 МО1 = 2ВМ*ctg∠ВО1М = ВД*ctg(180° - α) = 

Похожие:

	Методическая разработка урока математики Настоящее положение определяет цели, задачи и порядок проведения республиканского конкурса среди учителей образовательных организаций...		Методическая разработка урока математики в 6-м классе по теме «Проценты. Решение задач» Форма урока: решение проблемного вопроса «Жить или курить?» при помощи решения задач, урок-беседа, обсуждение
	Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы... Содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта...		Урок математики. 8 класс. Тип урока : урок изучения нового материала.... Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25
	Методическая разработка «Одномерные массивы» на языке программирования... «Одномерные массивы» на языке программирования pascal в теории и практике школьного курса «Информатика и икт»/ Методическая разработка....		«Путешествие в страну Звукобуквию» с применением тестопластики Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25
	Методическая разработка «Математика царица всех наук» (неделя математики) Одним из путей повышения интереса к изучению школьного курса математики является хорошо организованная внеклассная работа, особое...		Урок путешествие Тема: Чтение слов с буквой «Т» Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25
	Методическая разработка недели математики с элементами историзма В. А. Александрова, Г. Г. Никифорова, учителя математики Ямашевской средней школы Канашского района		Конспект фронтального занятия по обучению грамоте «звук [Л]» Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25
	Методическая разработка урока математики в 5 классе Фио учителя: Зубенко Надежда Александровна – учитель математики в мбоу «Уршельская сош»		Конспект подгруппового логопедического занятия На тему: «Звуки [л], [лʼ] и буква л л» Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25
	Методическая разработка внеклассного мероприятия «Неделя математики» Казимова Джамиля Аликовна– учитель математики мбоу «сош дарбанхинского сельского поселения»		Методическая разработка Дня математики в школе Приглашенные – учителя школы, члена кустового методического объединения учителей математики, физики и информатики
	Методическая разработка урока по теме: «Сложные эфиры» Цель: познакомить обучающихся с классом сложных эфиров, их свойствами, применением в промышленности и быту		Ход урока Организационный этап Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25