ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Учебно-тематическое планирование
-
Главы
учебника
|
Тема
|
Количество
часов
|
§ 1
|
Математический язык
|
37 уроков
|
§ 2
|
Делимость натуральных чисел
|
46 уроков
|
§ 3
|
Дроби
|
68 уроков
|
§ 4
|
Десятичные дроби
|
40 уроков
|
|
Итоговое повторение курса математики 5 класса
|
6 уроков
|
|
Резерв
|
7 уроков
|
Всего уроков
|
204 урока
|
Содержание тем учебного курса
Глава 1. Математический язык (37 часов)
Основная цель – формировать представление о математическом методе исследования реального мира; повторить известные из начальной школы методы работы с математическими моделями; познакомить с методом проб и ошибок и методом перебора; развивать логическую культуру, мышление, речь, познавательные интересы.
ходе изучения § 1 «Математические выражения» уточняются представления учащихся о математическом языке описания реального мира, его «алфавите» и «словах», начинается работа по «переводу» описания различных ситуаций с естественного языка на математический, и обратно. Усвоение этих понятий поможет учащимся в дальнейшем строить математические модели и интерпретировать результат ее исследования .
Представления о числовом и буквенном выражении и их значении знакомы учащимся из начальной школы. Здесь они уточняются, вводятся их определения. При нахождении значений выражений учитель получает возможность повторить изученные учащимися в начальной школе способы вычислений, вывить и откорректировать имеющиеся у них проблемы.
Изучение § 2 «Математические модели» также хорошо подготовлено содержанием курса математики начальной школы. Оно разбивается на два этапа: в п. 1.2.1 отрабатывается умение строить математические модели по тексту задачи, а в п. 1.2.2 разбираются способы работы с полученными моделями и их применение для получения ответа на вопрос задачи.
Одной из особенностей подхода, предложенного в данном курсе к формированию умения решать текстовые задачи, является выделение отдельного этапа, на котором учащиеся тренируются в построении моделей по тексту задачи. Это связано с тем, что неумение записать условие задачи в виде уравнений и неравенств, то есть «перевести» описанную в задаче жизненную ситуацию на математический язык, является основным затруднением, с которым сталкиваются старшеклассники при решении задач. Поэтому нередко у них вырабатывается низкая самооценка и даже «страх» перед текстами, что негативно влияет и на общий уровень их математической подготовки, и на их результаты. Чтобы преодолеть этот психологический барьер, основная задача учителя в пункте 1.2.1 − сформировать у учащихся уверенность в том, что при четком выполнении правил перевода они способны записать текст любой задачи на математическом языке. Поэтому им предлагаются задачи, методы решения которых им пока неизвестны. Очевидно, что здесь не требуется решать рассматриваемую задачу и находить к ней ответ. Об этом говорит и формулировка условия: «Переведи текст задачи на математический язык», а не «Реши задачу». Таким образом, выполняя задания этого пункта, учащиеся приобретают опыт построения математической модели к любой задаче путем перевода ее условия на математический язык, учатся записывать произвольный «нетиповой» текст с помощью математической символики.
Рассматривается 5 типов задач в зависимости от вида полученной модели и метода работы с ней. Логика выделения этих типов задач следующая:
Задача 1 − модели, метод работы с которыми учащимся известен (выражение, программа действий);
Задача 2 − модели, метод работы с которыми учащимся не известен (уравнение), но они могут его найти с помощью уже изученных ими ранее способов действий (например, изученные алгоритмы решения уравнений, распределительное свойство умножения, свойство единицы и др.);
Задача 3 − модели, метод работы с которыми учащимся не известен, при этом багажа их знаний недостаточно для его открытия − вводится метод проб и ошибок;
Задача 4 − модели имеют новый для учащихся вид (два уравнения с двумя переменными) и метод работы не известен − вводится метод перебора;
Задача 5 − модели имеют новый для учащихся вид (одно уравнение с двумя переменными), известен метод работы − метод перебора, но необходим новый способ организации перебора, представления данных и применения правила «весов».
Таким образом, сначала учащиеся вспоминают и систематизируют знакомые им способы работы с математическими моделями, а затем знакомятся с общенаучными методами, которые используются в случаях, когда имеющихся знаний недостаточно – методом проб и ошибок и методом перебора.
Изучение этих методов не только помогает детям осмыслить пути развития научного знания, но и мотивирует их дальнейшую деятельность на уроках математики в старших классах.
Действительно, после изучения этой темы при выполнении любого задания учащиеся не могут сказать «мы этого не проходили». Незнание алгоритма выполнения действий означает теперь для них лишь то, что они должны пытаться решить задачу методом проб и ошибок, методом перебора или любым другим методом, который они должны сами придумать. А это гораздо сложнее, чем действовать по уже известному алгоритму. Поэтому учащиеся начинают осознавать, что освоение алгоритмов, которые выработаны в культуре и которые учитель помогает им изучить на уроке, нужно не учителю, а им самим.
Математическими моделями задач первого типа являются выражения или программы действий, хорошо знакомые учащимся из начальной школы. Схемы, которые они здесь используют для построения этих моделей как промежуточный шаг анализа ее условия, также хорошо им известны. Это обеспечивает плавный переход из начальной школы в среднюю.
В задачах второго типа дети учатся составлять уравнение по тексту задачи. При этом отрабатывается и закрепляется умение самостоятельно составлять схемы к задаче и использовать их как инструмент анализа взаимосвязей между величинами, описанными в задаче.
Задачи третьего типа имеют такую же математическую модель, однако при их составлении учащимся придется вспомнить об использовании таблиц.
При построении моделей задач четвертого типа учащиеся пользуются уже актуализированным инструментом – таблицей, но вид полученной модели становится для них открытием – оказывается можно, обозначив буквами две неизвестные величины, получить не одно уравнение, а целых два (фактически учащиеся приобретают первичный опыт построения систем уравнений, без введения соответствующей терминологии).
При переводе на математический язык задач пятого типа учащиеся уже знают, что обозначать буквами можно несколько неизвестных величин, но откроют для себя новый вид модели – одно уравнение с двумя переменными.
Понятие уравнения хорошо известно учащимся: в начальной школе они учились решать простые уравнения вида х + а = b, х − а = b, а − х = b, х ∙ а = b, х : а = b, а : х = b, однако методика их изучения не предусматривала заучивания правил. На первых этапах учащиеся решали и комментировали данные уравнения ассоциативным способом, то есть с опорой на наглядные модели: уравнения со сложением и вычитанием − с помощью схем, на основе взаимосвязи между частью и целым, а уравнения с умножением и делением − с помощью прямоугольника, на основе взаимосвязи между сторонами и площадью прямоугольника. После того как умение осуществлять правильный выбор действия автоматизировалось, учащимся предлагалось решить уравнения с комментированием по компонентам действий, то есть правильно называя, какие действия в каком порядке и с какими компонентами они должны выполнить. Это умение отрабатывалось при решении составных уравнений, сводящихся к цепочке простых
При работе с математической моделью задачи 5 учащиеся используют правило «весов»: «Обе части уравнения можно поменять местами, можно их увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля». Поскольку в начальной школе в указанном виде данное правило не вводилось, то его уточнению целесообразно посвятить отдельный урок
§ 3 «Язык и логика» Выполнение всех математических заданий при изучении любого курса математики требует от учащихся использования логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация и др.) и логических понятий (высказывание, отрицание, обратное высказывание, следование, равносильность, определение, доказательство и т.д.). Особенностью курса математики «Учусь учиться» является то, что учащиеся знакомятся с элементами математической логики в явном виде, а затем систематически используют изученные логические понятия для понимания точного содержания предложений, обоснования своих суждений, что вносит весомый вклад в развитие их мышления, познавательного интереса, позволяет более глубоко и осознанно усвоить содержание курса математики и других дисциплин, повысить общий уровень их логической подготовки, необходимой для изучения всех школьных предметов в старшей школе (в частности, для изучения курса геометрии) и для жизни.
С элементами математической логики учащиеся знакомились еще в начальной школе. У них сформировано первичное представление о высказывании и опыт работы с высказываниями разных видов (без введения соответствующей терминологии), опыт их доказательства и опровержения на основе интуиции и здравого смысла. В 5 классе при изучении данного раздела они знакомятся с понятием «высказывания» и видами высказываний («общее», «о существовании»), с понятиями «темы» и «ремы» высказывания, уточняют представления о доказательстве утверждений и знакомятся с общими способами доказательства и опровержения высказываний разных видов.
«Логический материал» в данном курсе вводится, как правило, на нематематическом материале, а затем отрабатывается на математическом содержании. Такой подход стимулирует интерес учащихся к изучению математики и одновременно помогает глубже осознать и лучше усвоить изучаемое математическое содержание.
В ходе изучения параграфа «Язык и логика» учащиеся повторяют материал, изученный в начальной школе (понятие дроби, смешанного числа, преобразование смешанных чисел и действия с ними; три типа задач на дроби; геометрические представления; приемы устных и письменных вычислений), и закрепляют материал по теме «Математические модели».
В данном пункте учащиеся знакомятся с понятием «высказывания» как предложением (утверждением), о котором можно сказать, истинно оно ложно. Вводятся понятия «темы» высказывания (того, о чем говорится) и его «ремы» (того, что сообщается о «теме»). При этом важно не просто заучить определения данных понятий, а включить их в систематическую практику для осознания смысла высказанных утверждений.
Из множества всех высказываний выделяются «общие» высказывания (в которых утверждается, что некоторое свойство верно для всех элементов некоторого множества) и высказывания «о существовании» (в которых утверждается, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определенным свойством). Для распознавания вида высказывания на первых порах предлагается использовать слова-подсказки, которые указывают на вид высказывания (для общих высказываний – слова типа все, любой, всякий, каждый и т.д., а для высказываний о существовании – слова типа существует, некоторый, хотя бы один, можно найти и т.д.).
Учащиеся устанавливают, что для того, чтобы доказать общее высказывание (то есть обосновать его истинность), надо показать, что свойство, о котором в нем говорится, выполняется для каждого элемента рассматриваемого множества. А чтобы его опровергнуть (обосновать, что общее высказывание ложно), достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого указанное свойство не выполняется. И наоборот, для доказательства высказывания о существовании, достаточно привести хотя бы один пример, а чтобы его опровергнуть надо показать, что указанное свойство не выполняется ни для одного из элементов указанного множества
Для доказательства общих высказываний, заданных на бесконечных множествах, учащиеся знакомятся с методом введения обозначений.
Глава 2. Делимость натуральных чисел (46 часов)
Основная цель – расширить и углубить знания о свойствах натуральных чисел; познакомить с понятиями, связанными с делимостью чисел; подготовить основу для изучения обыкновенных дробей; развивать логическую культуру, мышление, речь, познавательные интересы.
В ходе изучения § 3 «Признаки делимости» учащиеся не только выводят признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3 и на 9, но и знакомятся с признаками делимости на 4, на 25, на 8 и на 125. При решении задач методом математического моделирования учащиеся познакомились с моделью двузначного числа (если а – цифра десятков, а b – цифра единиц, то двузначное число равно 10а + b), трехзначного и т. д. чисел. Эту модель целесообразно использовать при доказательстве признаков делимости на 2 и 5 (4, 25 и 8, 125) , а также при доказательстве признаков делимости на 3 и на 9. В учебнике данные признаки выводятся с опорой на частные примеры, этот подход можно использовать в менее подготовленных классах.
При записи признаков делимости учащиеся знакомятся со знаком равносильности (<=>). На данном этапе учащиеся понимают его как специальный знак, с помощью которого заменяют выражение «в том и только в том случае». В дальнейшем (при изучении темы «Равносильность предложений») учащиеся узнают, что он используется для записи того, что два утверждения означают одно и то же. И только в шестом классе сложится полная картина: их познакомят с использованием этого знака в случае, когда выполняется как прямое, так и обратное следование. Таким образом,постепенно уточняется значение знака равносильности и не следует сразу на первом уроке знакомства с ним «обрушивать» на детей его полный смысл.
В первом пункте § 4 «Простые числа и делимость» учащиеся фиксируют различные способы разложения чисел на простые множители.
Помимо формирования умения раскладывать числа на простые множители учащиеся учатся применять данное умение. Так, разложение числа на простые множители даёт ещё один способ нахождения делителей числа.
При изучении второго пункта § 4учащиеся повторяют понятие наибольшее общего делителя и уже известные им способы нахождения наибольшего общего делителя чисел (метод полного перебора, метод перебора делителей меньшего числа, перебор делителей разности) и узнают новый способ – с применением разложения на простые множители. Таким же образом строится работа по нахождению наименьшего общего кратного в третьем пункте этого параграфа.
При изучении данного параграфа учащиеся знакомятся с частными случаями нахождения НОД и НОК: НОД и НОК взаимно простых чисел и НОД и НОК чисел, одно из которых делится на другое
После того, как учащиеся познакомятся со всеми способами нахождения НОД целесообразно провести их систематизацию с обсуждением рациональности применения каждого из способов в различных случаях. Для поиска НОД небольших чисел лучше применять метод перебора, если разница между числами невелика, то их НОД удобнее находить перебором делителей разности, если числа большие, то рациональным способом нахождения их НОД будет использование их разложения на простые множители
§ 4 «Простые числа и делимость» В пункте 2. 4. 4. «Степень числа» понятие степени вводится как краткая запись произведения одинаковых множителей
После знакомства с понятием степени учащиеся находят значение степени и применяют полученные знания для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени. При выполнении заданий учащиеся работают по образцу, переходя от произведения к степени, получают возможность самостоятельно определить порядок действий в выражении со степенями и вывести соответствующее правило. Правило нахождения значения числового выражения, содержащего степени числа может быть записано в виде алгоритма:
3) Познакомив учащихся с понятием степени, важно показать применение новой записи для более компактной записи разложения чисел на простые множители, когда оно содержит одинаковые сомножители. Полезным будет выполнение некоторых заданий , которые позволяют составить (использовать) упрощенные правила нахождения НОК и НОД в связи с обозначением произведения в виде степени и использовать эти правила. Достаточно громоздкие правила нахождения НОД и НОК сводятся к компактным по объему, схожим по форме правилам с выделением ключевых слов, что облегчает их запоминание:
Чтобы найти НОД, надо взять общие простые множители всех чисел с наименьшими показателями степеней.
Чтобы найти НОК, надо взять все простые множители всех чисел с наибольшими показателями степеней.
В пункте 2. 4. 5 «Дополнительные свойства умножения и деления» учащиеся знакомятся со следующими свойствами:
1. Чтобы разделить число на произведение, можно разделить на это число один из множителей и полученный результат разделить на второй множитель.
2. Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то частное не изменится.
3. Если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от 0, то частное не изменится.
Дополнительные свойства деления (делимое и делитель можно умножать и делить на одно и то же натуральное число) могут использоваться в дальнейшем при открытии основного свойства дроби.
§ 5 «Элементы логики» В пункте 2.5.1 «Равносильность предложений» учащиеся знакомятся с новым смыслом уже знакомого им знака равносильности, как знака, который показывает, что два предложения обозначают одно и то же. Раскрывается соответствующий вариант конструирования этого знака: если убрать концы стрелок, получается знак равенства. Эта аналогия со знаком «равно» помогает учащимся осознать смысл понятия равносильных предложений, который вкладывается в это понятие на данном этапе.
В пункте 2.5.2 «Определения» учащиеся работают с определениями понятий: определение рассматривается как, предложение, в котором смысл «нового» объясняется через «старое», формируется умение выявлять в определении «новое» и «старое» (фактически учащиеся выявляют в определении род понятия без введения соответствующей терминологии).
Работу над формированием представления об определении и умения называть в данном определении определяемое понятие и понятия, на которых основывается это определение, можно начинать на нематематическом материале.
Определения геометрических фигур служат инструментом, с помощью которого отрабатывается понятие определения и умение выявлять в нем «новое» и «старое». Эти определения даются в тексте учебника не с целью формирования понятий указанных в них геометрических фигур, и уж тем более не для их заучивания – данные определения, как и определения квадратного корня и точного квадрата являются материалом, на котором учащиеся учатся работать с определением, как с источником нового знания. При этом сильные учащиеся имеют возможность расширить свой понятийный аппарат, что еще раз показывает реализацию в данном курсе принципа минимакса.
В этом же пункте для сокращенной записи слова «существует» вводится специальный символ.
|
