Глава 3. Дроби (68 часов)
Основная цель – выработать прочные навыки чтения, записи, сравнения и вычислений с обыкновенными дробями и смешанными числами; познакомить с новыми приемами решения задач на дроби; рассмотреть задачи на совместную работу; развивать логическую культуру, мышление, речь, алгоритмические умения.
§ 1 «Натуральные числа и дроби» В результате изучения пункта 3.1.1, который называется «Натуральные числа и дроби» фиксируются эталоны: понятие натуральных чисел, свойства натуральных чисел, определения суммы, разности, произведения и частного натуральных чисел, записи частного в виде дроби, понятия правильной и неправильной дроби, смешанного числа, выделения целой части из неправильной дроби, перевод смешанного числа в неправильную дробь. Фиксируется правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, правило сравнения с одинаковыми числителями, правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
С учащимися повторяются следующие способы действий: запись частного натуральных чисел в виде дроби, запись смешанного числа в виде суммы натурального числа и дробного числа; работа с числовым лучом.
§ 1. Натуральные числа и дроби. п.2 Основное свойство дроби. Преобразование дробей Для открытия основного свойства дроби можно использовать дополнительные свойства умножения и деления (делимое и делитель можно умножать и делить на одно и то же натуральное число) и знание, что результат деления можно записать в виде дроби, а также умение изображать дроби на числовом луче.
Учащиеся учатся применять основное свойство дроби для преобразования дробей – сокращение дроби и приведения дроби к новому числителю (знаменателю). После знакомства учащихся с таким преобразованием дроби, как сокращение дроби, вводится понятие несократимой дроби.
Для сокращения дробей предлагается использовать три способа: сокращать дробь на НОД числителя и знаменателя, сокращать дробь последовательно на общие делители (с использованием признаков делимости) или представлять числитель и знаменатель в виде произведения.
§ 1. Натуральные числа и дроби. п.3 Сравнение дробейВ третьем пункте «Сравнение дробей» учащиеся строят разные способы сравнения дробей: приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и к наименьшему общему числителю. В данном пункте рассматриваются и «хитрые приемы», которые в некоторых случаях удобнее использовать для сравнения дробей: это способ сравнения дробей с единицей (неправильная дробь больше правильной), с промежуточным числом (с половиной), метод дополнения дроби до 1 («ближе к единице»), «перекрёстное» правило.
Для отработки приема сравнения с промежуточным числом (1/2). После сравнения данных чисел с половиной на моделях учитель может задать вопросы о сравнении пар дробей, одна из которых больше половины, а другая – меньше. Учащимися делается вывод об использовании промежуточного числа для сравнения дробей.
Для знакомства учащихся с приемом сравнения правильных дробей путем определения, какая из них «ближе к единице», а значит, и больше, можно поступить следующим образом: учащимся предлагается проанализировать данные дроби.
Также учащиеся узнают общее правило сравнения дробей – «перекрёстное» правило (a/b < c/d <=> ad < bc) – и учатся его применять . Из этого общего правила сравнения дробей следует условие равенства дробей a/b = c/d <=> ad = bc, с которым нужно познакомить учащихся. Необходимо заострить внимание учащихся на этом утверждении, так как данное условие позволит им решать уравнения нового вида, а в дальнейшем будет использоваться в 6 классе при изучении тем «Отношение» и «Пропорция». Условие равенства дробей применяется при выполнении .
После изучения правил сравнения обыкновенных дробей учащиеся получают возможность построить правила сравнения любых смешанных чисел.
Таким образом, пятиклассники могут выполнить сравнение дробей следующими способами: приведение дробей к наименьшему общему знаменателю, наименьшему общему числителю, пользуясь свойством «любая неправильная дробь больше правильной», сравнение с промежуточным числом (с 1/2), метод «ближе к 1» и универсальный способ – общее правило сравнения дробей.
§ 2. Арифметика дробей. п.1 Сложение и вычитание дробейВ пункте «Сложение и вычитание дробей» они учатся находить значение суммы и разности любых дробей.
Учащиеся применяют алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей для решения уравнений, нахождения значения буквенных выражений при заданном значении букв, решения задач.
Для обыкновенных дробей фиксируются и применяются переместительное и сочетательное свойства сложения и правила вычитания суммы из числа и числа из суммы.
§ 2. Арифметика дробей. п.2 Сложение и вычитание смешанных чисел. В пункте «Сложение и вычитание смешанных чисел» они учатся находить значение суммы и разности любых смешанных чисел. Чтобы построить алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел для общего случая учащимся потребуется лишь уточнить имеющиеся у них с начальной школы алгоритмы. В связи с тем, что в предыдущем пункте были открыты правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, алгоритмы для общего случая дополняются первым шагом: «привести дробные части к наименьшему общему знаменателю». В связи с тем, что пятиклассники научились сокращать дроби, в алгоритмы добавляется еще один новый шаг: «если, необходимо, сократить дробную часть». В остальном алгоритмы остаются прежними.
При изучении этого пункта учащиеся решают составные задачи с данными, представленными смешанными числами . При этом они получают возможность увидеть практическое применение построенного ими алгоритма, отработать умение складывать и вычитать смешанные числа и закрепить умение решать текстовые задачи.
§ 2. Арифметика дробей. п.2 Сложение и вычитание смешанных чисел. В пункте «Сложение и вычитание смешанных чисел» они учатся находить значение суммы и разности любых смешанных чисел. Чтобы построить алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел для общего случая учащимся потребуется лишь уточнить имеющиеся у них с начальной школы алгоритмы. В связи с тем, что в предыдущем пункте были открыты правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, алгоритмы для общего случая дополняются первым шагом: «привести дробные части к наименьшему общему знаменателю». В связи с тем, что пятиклассники научились сокращать дроби, в алгоритмы добавляется еще один новый шаг: «если, необходимо, сократить дробную часть». В остальном алгоритмы остаются прежними.
При изучении этого пункта учащиеся решают составные задачи с данными, представленными смешанными числами . При этом они получают возможность увидеть практическое применение построенного ими алгоритма, отработать умение складывать и вычитать смешанные числа и закрепить умение решать текстовые задачи.
Некоторые задание направлены на формирование умения применять сочетательное и переместительное свойство сложения и правила вычитания суммы из числа и числа из суммы. При их выполнении с учащимися следует проговорить эти правила и зафиксировать их с помощью букв. При этом учащиеся должны озвучить, что буквы в записанных ими равенствах могут принимать значения натуральных чисел, дробных и смешанных чисел.
§ 2. Арифметика дробей. п.3 Умножение дробей При изучении третьего пункта можно организовать четыре открытия. На первом уроке, используя практическую задачу (нахождение площади прямоугольника), учащимися строится правило умножения дробей. На втором уроке, опираясь, на умение представлять натуральное число в виде неправильной дроби со знаменателем равным 1, учащиеся строят алгоритм умножения дроби на натуральное число. Опираясь, на умение представлять смешанные числа в виде неправильных дробей учащиеся строят алгоритм умножения смешанных чисел. На четвертом уроке учащиеся строят алгоритм умножения смешанного числа на натуральное число.
Для умножения смешанного числа на натуральное предлагается не всегда переходить к неправильным дробям, а использовать следующее правило: «Для умножения смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить». Учащиеся строят это правило, применяя распределительное свойство умножения, и умение представлять смешанное число в виде суммы целой и дробной части. Данным правилом удобнее пользоваться в случае, когда знаменатель дробной части является делителем и или кратным натурального множителя . Следует обратить на это внимание учащихся, т.к. это правило будет использоваться при нахождении значений дробных выражений путем перехода от дробных чисел к натуральным.
§ 2. Арифметика дробей. п.4 Деление дробей. Для открытия алгоритма деления дробей можно использовать связь деления и умножения. Логика открытия описана в учебнике. Для этого открытия учащиеся могут использовать и другой способ: проблема ставится на решении уравнения из Для открытия используется образец решения уравнения, рассмотренного ими в пункте 3.2.2. и понятие взаимно обратных чисел..
Отдельные уроки выделяются для построения алгоритма деления дроби на натуральное число, алгоритма деления смешанных чисел и деления смешанного числа на натуральное число.
Правило деления смешанного числа на натуральное рассматривается таким же образом, как и правило умножения.
§ 2. Арифметика дробей. п.5 Примеры вычислений с дробями В пятом пункте учащиеся знакомятся с понятием «дробное выражение» и способами нахождения значений таких выражений. Для создания образного представления в речевую практику учащихся вводится такое выражение как «многоэтажная» дробь». Эта работа строится с опорой на знание учащихся о том, что черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления.
Учащиеся знакомятся со способами ведения записи. Запись нахождения значения дробных выражений можно вести «по действиям» и «цепочкой». Первый способ знаком учащимся с начальной школы и отличается лишь появлением еще одного «спрятанного» в дробной черте действия – деления значения числителя на значение знаменателя. Второй способ непривычен для пятиклассников, однако важно переходить и к такой форме записи. Ведь именно так будет вестись ими запись выполнения преобразований над алгебраическими дробями в курсе алгебры.
Работу с этим пунктом следует рассматривать как получение учащимися опыта работы с дробными выражениями, первое знакомство с применением различных способов для нахождения их значений. Не нужно считать, что после изучения данного пункта каждый ученик должен уметь находить значение дробного выражения всеми вышеуказанными способами – здесь работает принцип минимакса. Достаточно, чтобы каждый пятиклассник получил представление о дробном выражении и о том, как найти его значение. Нахождение значения дробного выражения не включается в предложенную контрольную работу по данной теме, однако для реализации принципа минимакса нужно изучить данный пункт. Работа по нахождению значения дробного выражения различными способами и умением выбрать наиболее рациональный из них продолжится в шестом классе.
§ 2. Арифметика дробей. п.6 Задачи на дроби. В начальной школе учащиеся научились решать три типа задач на части. При решении задач на части учащиеся составляли схему – отрезок, на которой целый отрезок обозначал – некоторую величину а, принятую за 1 («целое»), дугой выделялась часть этого отрезка - b, которая обозначала часть, выраженную дробью m/n. Тип задачи определялся тем, что в ней неизвестно – часть (b), целое число (а) или дробь (m/n). Для решения задач они применяли следующие правила:
1) Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель и умножить на числитель;
2) Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на знаменатель и умножить на числитель;
3) Чтобы найти дробь, которую одно число составляет от другого, можно первое число разделить на второе.
В данном пункте учащиеся узнают, что часть от числа находится умножением на дробь, число по части – делением на дробь. В третьем типе задач новым для пятиклассников станет не способ (он останется прежним), а то, что полученную дробь теперь можно будет сократить. Поэтому перед построением новых способов «старые» правила решения задач на дроби учителю средней школы следует лишь актуализировать.
В случае обнаружения серьезных пробелов в знаниях учащихся по этой теме учитель средней школы имеет возможность устранить их на материале для закрепления новых способов решения задач на дроби.
При этом основное затруднение вызывает обычно определение типа задачи. Здесь помощником ученика может стать схема, которая является моделью для анализа задачи. Помимо этого можно использовать имеющийся у учащихся «багаж» знаний. В первом классе действия сложения и вычитания вводились через взаимосвязь целой группы и ее частей. При решении задач учащиеся использовали взаимосвязь целого и его частей (Известно количество предметов в первой группе («одна часть») и во второй группе предметов («вторая часть»), следует найти, сколько предметов всего («целое»). Или известно общее количество предметов в группах («целое») и количество в одной из групп («часть»), следует найти количество предметов во второй группе («часть»)). Учитель средней школы может провести аналогию с этими уже отработанными за четыре года начальной школы задачами на часть и целое. В условиях этих задач, учащиеся легко определяют, где «целое», а где «части» и указывают их на схеме. В задачах на дроби также выделяется «целое» и «часть», только «часть» эта, выражена дробью. Следует учить пятиклассников по смыслу задачи определять, где «целое», а где «часть», обозначать их на схеме буквами, и только после этого «одевать схему» числами. Это поможет избежать ситуации, когда учащиеся действуют «наобум» при определении типа задачи.
Для открытия новых способов учащиеся будут применять известную схему, которая использовалась ими при решении задач на дроби, и «старые» способы решения задач на дроби. Так же учащиеся применяют умение представлять частное в виде дроби, умножать и делить дроби, умножать и делить дроби на натуральное число. Для проблематизации можно предложить учащимся решить уже известную им задачу на дроби в одно действие, либо предложить им решить такую задачу с буквенными данными.
На последнем уроке по данной теме учащиеся строят общую формулу для решения задач на дроби, которая позволяет решить любую задачу либо по действиям, либо с помощью уравнения:
b=a×m/n
При этом решение задачи сводится к подстановке известных значений переменных,
§ 2. Арифметика дробей. п.7 Задачи на дроби (продолжение) В данном пункте пятиклассники учатся решать составные задачи на дроби. С учащимися рассматриваются задачи по нахождению остатка после найденной части целого, нахождение части от части величины, нахождение целого по части от части величины. В этом же пункте учащиеся знакомятся с решением задач на дроби с помощью уравнения. При решении составных задач следует использовать схемы. На графических схемах учащимся проще заметить, что каждая составная задача состоит из нескольких простых задач на дроби.
Первый тип комбинированной задачи, который следует рассмотреть с учащимися, можно назвать: «Нахождение остатка заданной части». Пример такой задачи разбирается в учебнике (Задача 1). Задачу можно решить двумя способами. Первый можно зафиксировать с помощью следующего алгоритма:
1 способ.
1) Решить простую задачу на дроби;
2) Найти искомый остаток.
Этот способ более понятен учащимся. Однако с ними нужно разобрать и второй способ, идея которого будет использоваться ими при решении комбинированных задач второго типа (на нахождение числа по остатку). Его можно зафиксировать в такой форме:
2 способ.
1) Найти дробь, которая соответствует остатку (1 - m/n);
2) Дополнить схему;
В этом же пункте рассматриваются и другие комбинированные задачи на дроби, для решения которых используются уравнения, схемы и таблицы. При отборе задач для урока учитель должен помнить о принципе минимакса, заложенном в этом учебнике, и понимать, что решение подобных задач не следует рассматривать как обязательное умение каждого учащегося. Эти задачи - возможность для сильных учащихся получить свой максимум.
§ 2. Арифметика дробей. п.8 Задачи на совместную работу Ранее учащиеся решали задачи на работу, но объём работы в этих задачах был известен. В восьмом пункте учащиеся выводят новые формулы для решения задач на совместную работу, принимая всю работу за 1. Открытием для учащихся станет что, при совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники, т.е. увеличивается не время, а производительность труда. Новым для ребят будет и то, что при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за «целое» - 1, а часть работы, выполненная за единицу времени находится делением единицы на время, затраченное на выполнение всего объема работ. Учащиеся фиксируют новую формулу, с ними полезно отметить, что производительность труда и время – взаимно обратные величины.
В этом же пункте знакомятся с задачами на движение, при решении которых используется прием решения задач на «совместную работу». С учащимися следует провести аналогию с задачей на работу: преодоление всего пути можно считать «работой» участника движения.
Глава 3. Десятичные дроби (40 часов)
Основная цель – выработать прочные навыки чтения, записи, сравнения и вычислений с десятичными дробями, навыки преобразования и действий с именованными числами; рассмотреть правила округления чисел, условия преобразования дробей из десятичной в обыкновенную и обратно; развивать логическую культуру, мышление, речь, алгоритмические умения.
§ 1. Понятие десятичной дроби. п.1 Новая запись чисел В этом пункте учащиеся знакомятся с десятичными дробями, а точнее с новой записью уже известных им дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. При изучении этой темы полезно познакомить учащихся с историей появления данного способа записи дробей, рассказать им, как одно и то же открытие было совершено разными учеными с разницей в сто лет. Факты из истории развития математического знания вызывают интерес у учащихся и показывают практическую значимость изучаемого ими учебного предмета.
Для того чтобы зафиксировать внимание учащихся на дробях со знаменателем 10n, которые станут «героями» новой темы, можно предложить учащимся выразить именованные числа с меньшей единицей измерения через более крупную единицу измерения. После чего следует попросить учащихся выделить общий признак полученных обыкновенных дробей – знаменатель записан с помощью единицы и нескольких нулей. Здесь же можно выйти на запись – 10n. После этого учащиеся знакомятся с новой записью этих дробей – в строчку, с помощью запятой, которая отделяет целую часть от дробной. В использованных примерах в числителе столько же знаков, сколько нулей в знаменателе. Учащиеся фиксируют правило: в десятичной записи дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.
§ 1. Понятие десятичной дроби. п.2 Десятичные и обыкновенные дроби В пункте «Десятичные и обыкновенные дроби» рассматриваются условия преобразования дробей из десятичной дроби в обыкновенную дробь и обратно.
Учащиеся должны понять, что от десятичной записи к записи в виде обыкновенной дроби можно перейти в любом случае, достаточно послушать десятичную дробь, записать ее с помощью дробной черты, и, если нужно, перевести в неправильную дробь. Учащиеся могут сформулировать правило такого перехода и в другом виде: «Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной можно: выбросить из данной дроби запятую и полученное натуральное число поставить в числитель, а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями, сколько знаков было после запятой».
В этом же пункте учащиеся сделают вывод, что обратный переход: от обыкновенной дроби к десятичной дроби, возможен не всегда. В более подготовленном классе можно доказать ложность утверждения: «Всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби».
Учащиеся должны понять, что для того, чтобы определить возможность перевода обыкновенной дроби в десятичную нужно использовать какой-то признак (условие) возможности такого перевода.
§ 1. Понятие десятичной дроби. п.3 Приближенные равенства. Округление чисел С приближенными равенствами учащиеся уже встречались в начальной школе. Они умеют использовать знак «приблизительно равно» для записи выполнения прикидки арифметических действий. Однако, в «прикидке» речь шла о замене данного числа круглым, близким ему по значению, удобным для вычислений. А с правилами округления чисел до заданного разряда учащиеся незнакомы.
Правила округления чисел рассматриваются в пятом классе сначала для натуральных чисел, а затем распространяются и на десятичные дроби . После чего учащиеся округляют все числа (и десятичные дроби, и натуральные числа) по общему правилу .
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную дробь приводит к понятию бесконечной десятичной дроби, при замене ее конечной учащиеся должны выполнить округление полученных дробей. Это задание предполагает замену дробной черты знаком деления и выполнение учащимися деления в столбик (при этом они должны воспользоваться правилом приписывания нулей в десятичной дроби справа после запятой – п.4.1.1), что готовит детей к теме деления десятичных дробей.
При изучении данной темы учащиеся получают возможность познакомиться с понятием «период» бесконечной дроби .
Учащиеся применяют правила округления для выражения натурального числа через укрупненные единицы счета: десятки, сотни, тысячи, миллионы ; для выражения именованных чисел через укрупненные единицы измерения величин.
§ 1. Понятие десятичной дроби. п.4 Сравнение десятичных дробей В связи с тем, что на момент изучения арифметики десятичных дробей у учащихся уже сформированы навыки сравнения обыкновенных дробей возникает возможность провести уроки по данной теме в форме самостоятельного открытия детьми нового правила. Алгоритм сравнения десятичных дробей выводятся учащимися как частный случай соответствующего алгоритма с обыкновенными дробями.
§ 2. Арифметика десятичных дробей. п.1 Сложение и вычитание десятичных дробей В связи с тем, что на момент изучения арифметики десятичных дробей у учащихся уже сформированы навыки вычислений с обыкновенными дробями возникает возможность провести уроки по данной теме в форме самостоятельного открытия детьми новых правил. Алгоритмы действий с десятичными дробями выводятся учащимися как частные случаи соответствующих алгоритмов действий с обыкновенными дробями.
По этой же причине учащиеся более осознанно воспринимают правила действий с десятичными дробями. Так, при сложении (вычитании) десятичных дробей учащиеся, зная, что при сложении смешанных чисел отдельно складываются целые и отдельно дробные части, понимают, почему десятичные дроби записываются указанным в алгоритме способом и могут объяснить, почему в ответе «запятая» оказывается «под запятыми».
Задания для формирования умения применять построенный алгоритм сложение и вычитания десятичных дробей очень разнообразны: игровые, требующие перебора вариантов, расширяющие кругозор учащихся и пр. Кроме того, что данный вид заданий помогает активизировать их деятельность на уроке в конце учебного года, эти игры предполагают взаимодействие учащихся друг с другом и могут стать средством для формирования коммуникативных УУД.
§ 2. Арифметика десятичных дробей. п.1 Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. изучается до знакомства учащихся с общими алгоритмами умножения и деления десятичных дробей . Аналогичным образом рассматривается умножение и деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. После открытия правила умножения (деления) на 10, 100, 1000 и 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. путем перемещения запятой вправо и влево учащиеся отрабатывают это умение в заданиях
Изучение правила умножения (деления) на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. можно перенести, и вернуться к нему после изучения общих алгоритмов умножения и деления десятичных дробей. В этой связи у учащихся появится два способа вывода правил умножения (деления) на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Первый способ: умножить числа по общему правилу и выявить закономерность по перемещению запятой. Второй способ: представить 0,1 (0,01; 0,001…) как обыкновенную дробь, выявить, что происходит с числом при умножении его на 0,1 (0,01; 0,001…) и, использовав, правило умножения (деления) на 10, 100, 1000, сделать вывод о перемещении запятой.
После изучения общих алгоритмов умножения и деления десятичных дробей можно показать ребятам вариативность выполнения данного задания (рациональность использования «особых» правил, и универсальность общих).
§ 2. Арифметика десятичных дробей. п.3 Умножение десятичных дробейВ связи с тем, что на момент изучения умножения десятичных дробей у учащихся уже сформированы навыки умножения обыкновенных дробей возникает возможность провести урок по данной теме в форме самостоятельного открытия детьми нового правила. Алгоритм умножения десятичных дробей выводится учащимися как частный случай умножения обыкновенных дробей.
По этой же причине учащиеся более осознанно воспринимают правило умножения десятичных дробей. Учащиеся знают, что при умножении обыкновенных дробей знаменатель новой дроби получается перемножением знаменателей каждого из множителей. Поэтому учащиеся понимают, что если знаменатели являются круглыми числами, то в полученном знаменателе количество нулей складывается из количества нулей каждого из множителей. Поэтому они могут объяснить, почему в ответе запятой отделяется справа столько знаков, сколько в обоих множителях вместе.
Для того чтобы учащиеся смогли вывести правило умножения десятичных дробей самостоятельно на актуализации, с ними достаточно повторить правила умножения обыкновенных дробей, умножения круглых чисел и алгоритм записи десятичной дроби.
После изучения общего алгоритма умножения десятичных дробей можно показать учащимся вариативность выполнения умножения на 10; 100; 1000 и 0,1; 0,01; 0,01 и т.д. (вспомнить «особые» правила по сдвигу запятой и показать универсальность общего). Такой подход позволяет развивать способных детей и существенно сократить количество используемых алгоритмов для слабых учащихся (которые могут «запутаться» в правилах по сдвигу запятой вправо или влево, но эффективно использовать общее правило, полученное в п. 4. 2. 3, в частных случаях).
§ 2. Арифметика десятичных дробей. п.4 Деление десятичных дробей Гипотеза алгоритма деления десятичной дроби на натуральное число может быть получена учащимися при анализе частного, который они получат, выполнив переход к делению смешанных чисел на натуральное число или на основе проведения аналогии с делением натуральных чисел (опорой послужит, пропедевтика, которой занимались при переводе обыкновенной дроби в десятичную дробь).
Прежде чем переходить к делению десятичной дроби на десятичную дробь, с учащимися следует выполнить задания на закрепление правила деления десятичной дроби на натуральное число, которое ляжет в основу деления на десятичную
В связи с тем, что перед изучением десятичных дробей учащиеся изучали обыкновенные дроби, они более осознанно воспринимают правило деления десятичной дроби на десятичную дробь. К концу года учащиеся хорошо знают и умеют применять основное свойство дроби, которое является другой формой свойства частного – теоретической основой первого шага алгоритма деления десятичных дробей. Чтобы учащиеся смогли самостоятельно сконструировать алгоритм деления на десятичную дробь целесообразно повторить с ними правило деления десятичной дроби на натуральное число, правило умножения десятичных дробей на 10,100, 1000 и т.д., а также основное свойство дроби (частного).
После изучения общих алгоритмов деления десятичных дробей можно показать учащимся вариативность выполнения деления на 10; 100; 1000 и 0,1; 0,01; 0,01 и т.д. (вспомнить «особые» правила по сдвигу запятой и показать универсальность общих). Такой подход позволяет развивать способных детей и существенно сократить количество используемых алгоритмов для слабых учащихся (которые могут «запутаться» в правилах по сдвигу запятой вправо или влево, но эффективно использовать общие правила, полученные в п. 4. 2. 4, в частных случаях).
Учебно-тематическое планирование по математике в 5 классе
№
Урока п/п
|
Количество часов
|
Тема урока
|
Тип урока
|
Элементы содержания и
Требования к уровню подготовки обучающихся (результат)
|
Вид контроля. Измерители
|
Элементы дополнительного (необязательного содержания)
|
Домашнее задание (примерное)
|
Глава 1. Математический язык (37 часов)
|
1
|
1
|
Запись, чтение и составление выражений
|
ОНЗ
|
Сформировать представление о математических выражениях как о «словах» математического языка, уточнить понятия числового и буквенного выражений. Сформировать умение «переводить» тексты с русского языка на математический, и наоборот.
Повторить и закрепить: приемы устных вычислений; чтение, запись и сравнение натуральных чисел, название разрядов и классов, поразрядное значение цифры; смысл сложения и вычитания, взаимосвязь между ними; сложение и вычитание многозначных чисел; решение задач в 1−3 действия (типа а = b + с и а = bс), разностное и кратное сравнение; соотношение между единицами длины, площади; понятие периметра многоугольника.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.1.1, № 27-29
|
2
|
1
|
Запись, чтение и составление выражений
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.1.1, № 30−32
|
3
|
1
|
Запись, чтение и составление выражений
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№25
|
4
|
1
|
Значение выражений
|
Р
|
Уточнить понятие «значение выражения», повторить нахождение значения буквенного выражения при данных значениях букв.
Повторить правило порядка действий в выражениях, взаимосвязь между компонентами и результатами действий сложения и вычитания, решение уравнений вида х + а = b, х − а = b, а − х = b.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
п. 2, № 56, 57, 58 (а)
|
5
|
1
|
Значение выражений
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№ 58 (б, в), 59, 60
|
6
|
1
|
Задачи для самопроверки
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№ 128
|
7
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
ОНЗ
|
Сформировать представление о математических моделях реальной действительности, способность к построению математических моделей текстовых задач, использованию буквенных выражений, схем и таблиц.
Познакомить с использованием квадратных скобок для записи числовых выражений.
Повторить и закрепить: представление натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых; смысл умножения и деления, взаимосвязь между ними; алгоритм письменного умножения, взаимосвязь между множителями и произведением; решение уравнений вида х ∙ а = b, х : а = b, а : х = b; понятия оценки и прикидки результатов арифметических действий; частные случаи умножения и деления; таблицу мер массы; понятия замкнутой и незамкнутой линии, области и границы; решение задач с вопросами; решение задач на перебор вариантов.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.1. Зад. 1, № 81−83
|
8
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.1. Зад. 2, № 99−100
|
9
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.1. Зад. 3, № 111−113
|
10
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.1. Зад. 4, № 124−126
|
11
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.1. Зад. 5, № 136, 137
|
12
|
1
|
Перевод условия задачи на математический язык
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№138
|
13
|
1
|
Работа с математическими моделями
|
ОНЗ
|
Повторить известные способы работы с математическими моделями, сформировать представление о методе проб и ошибок и методе перебора.
Повторить и закрепить: свойства сложения и умножения; правила вычитания числа из суммы и суммы из числа; взаимосвязь между делимым, делителем и частным; алгоритм письменного деления; решение «составных» уравнений; понятия делителя и кратного; понятие множества, теоретико-множественную символику; соотношение между единицами объема; понятия симметричных фигур и оси симметрии фигуры.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.2, № 158, 160, 163, 164 (1)
|
14
|
1
|
Работа с математическими моделями
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
159, 161, 162, 164 (2)
|
15
|
1
|
Метод проб и ошибок
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.3, № 177−179
|
16
|
1
|
Метод проб и ошибок
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№ 191−193
|
17
|
1
|
Метод перебора
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.2.4, № 197, 199, 200
|
18
|
1
|
Метод весов
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
№ 182 (3), 198 (2), 202 (1)
|
19
|
1
|
Метод весов (Метод перебора)
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
№ 182 (4), 202 (2)
|
20
|
1
|
Задачи для самопроверки
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№ 210 (2, 3), 213 (2)
|
21-22
|
2
|
Контрольная работа № 1 «Математические выражения и математические модели»
|
ОК
|
Контроль знаний учащихся
Уметь: обобщать и систематизировать знания по пройденным темам и использовать их при решении примеров и задач.
|
Контрольная работа
|
Дидактический материал
|
|
23
|
1
|
Высказывания
|
ОНЗ
|
Сформировать представление о понятиях высказывание, общее утверждение. Сформировать способность к их распозна ванию, выражению в речи разными способами, опровержению с помощью контрпримера, к доступным приемам доказательства общих утверждений.
Повторить и закрепить: понятие дроби и три типа задач на дроби; понятия прямой, луча и отрезка; углы и их виды, свойст во смежных и вертикальных углов; понятие параллелепипеда (вершины, граней, ребра); решение примеров на порядок дейст вий с многозначными числами; решение уравнений.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.3.1, № 227 - 229
|
24
|
1
|
Общие утверждения
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п. 1.3.2, № 246, 247
|
25
|
1
|
Общие утверждения
|
Р
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
|
№ 249
|
26
|
1
|
Хотя бы один
|
ОНЗ
|
Сформировать представление о понятии утверждение о существовании, способность к его распознаванию, выражению в речи разными способами, доказательству с помощью соответст вующего примера и доступным способам опровержения.
Повторить и закрепить: действия с дробями и смешанными числами; решение основных задач на проценты; понятия де лителя и кратного; формулу объема прямоугольного паралле лепипеда.
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
п.1.3.3, № 272, 274, 275
|
27
|
1
|
Хотя бы один
|
ОНЗ
|
Устный счёт, устный опрос, практическая работа, индивидуальное задание
|
IT
Демонстрационный материал
|
№ 273, 276, 278 (2)
| |
