Контрольная работа № 2
ВАРИАНТ №1
Пользуясь определением гомотетии, найдите образ точки  , если  центр гомотетии, коэффициент которой равен (-2).
Постройте образ параллелограмма в гомотетии, центр которой – одна из вершин параллелограмма, а  (m, n – данные отрезки).
Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, пересекающие первую окружность в точках А и В, вторую – в точках С и D. Докажите, что АВ || CD.
Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов  , где m и n – данные отрезки, и гипотенузе.
ВАРИАНТ № 2
Пользуясь определением гомотетии, найдите прообраз точки  , если  центр гомотетии, коэффициент которой равен (-3).
Постройте образ угла АВС в гомотетии с центром S и коэффициентом (m, n – данные отрезки).
ABCD – параллелограмм. Через вершину С проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая продолжения сторон АВ и АD в точках N и К. Докажите, что точка С – середина отрезка NK.
Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме боковой стороны и основания.
ВАРИАНТ №3
Пользуясь определением гомотетии, найдите ее центр, если коэффициент гомотетии равен (-2), а  и  пара соответственных точек.
Постройте образ окружности в гомотетии, центр которой – внутренняя точка окружности, а (m, n – данные отрезки).
Каждая из диагоналей квадрата разделена на три равные части. Докажите, что точки деления являются вершинами квадрата и найдите отношение площадей данного квадрата и полученного.
Постройте прямоугольный треугольник, если дан один из его острых углов и биссектриса, проведенная из вершины прямого угла.
ВАРИАНТ №4
Пользуясь определением гомотетии, найдите ее центр, если коэффициент гомотетии равен 5, а  и  пара соответственных точек.
Постройте образ ромба в гомотетии, центр которой – точка пересечения диагоналей ромба, а (m, n – данные отрезки).
Пусть Р – произвольная точка плоскости,  точки, симметричные точке Р относительно середин сторон ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно. Докажите, что отрезки  пересекаются в одной точке.
Постройте треугольник по двум углам и радиусу описанной окружности.
Индивидуальное домашнее задание № 1
Родственное преобразование задано уравнением оси родства в аффинной системе координат. Точка М переходит в точку  в данном родстве.
В аффинной системе координат  построить ось родства, точки М и  .
Построить образы точек . Выделить реперы R и  .
Определить род аффинного преобразования.
Определить вид родства.
Записать координатные формулы этого аффинного преобразования.
Определить координаты точки  и координаты образов векторов  и  в репере R.
x+2y-2=0, M(1; -2), M1(3;2)
3x-y+1=0, M(1; -2), M1(0;4)
2x+y+3=0, M(1; 0), M1(0;1)
3x-y+6=0, M(2; -1), M1(3;2)
x+y-3=0, M(-1; 0), M1(3;4)
2x+y-4=0, M(-1; 1), M1(3;2)
2x+y+4=0, M(1; 1), M1(2;-1)
x-2y-2=0, M(-1; 1), M1(1;2)
x+2y+2=0, M(2; -1), M1(0;-2)
3x+y+6=0, M(1; 0), M1(0;-1)
3x-y-6=0, M(0; -1), M1(3;-2)
x+y-2=0, M(-1; 1), M1(-2;2)
x+y+2=0, M(2; 1), M1(0;-7)
x-y+2=0, M(-1; 0), M1(0;4)
x+y-1=0, M(-2; 0), M1(0;-2)
x+y+1=0, M(1; -1), M1(-2;2)
x-y-1=0, M(1; 1), M1(0;3)
x-y+1=0, M(1; 0), M1(0;2)
2x+y=0, M(-1; 0), M1(0;2)
2x-y=0, M(2; 0), M1(0;2)
x+y-2=0, M(2; -1), M1(3;1)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Модуль 1
«ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ»
Задачи на построение. Аксиомы циркуля и линейки. Основные этапы решения задач на построение. Пример: к данной окружности провести касательную, проходящую через данную точку.
Решение задач на построение методом пересечения фигур. Пример: в данный угол вписать окружность данного радиуса.
Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом (анализ, построение, доказательство).
Алгебраический метод решения задач на построение. Пример: построить прямую, параллельную стороне данного треугольника так, чтобы она разделила данный треугольник на две равновеликие фигуры.
Основные построения отрезков, заданных формулами.
Золотое сечение отрезка.
Построение правильного десятиугольника (анализ, построение).
Построение правильного пятиугольника (анализ, построение, доказательство).
Примеры задач, неразрешимых циркулем и линейкой: квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла. Решения этих задач другими средствами.
Медиана треугольника (определение, свойства).
Биссектриса треугольника (определение, свойства).
Высота треугольника (определение, свойства).
Теорема синусов.
Теорема косинусов.
Параллелограмм (определение, свойства, признаки).
Ромб (определение, свойства, признаки).
Прямоугольник (определение, свойства, признаки).
Квадрат (определение, свойства, признаки).
Основные сведения об окружности (свойства углов и отрезков касательных и хорд).
Вписанная и описанная окружность около треугольника.
Вписанная и описанная окружность около четырехугольника.
Аксиомы площади. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции.
Равновеликость, равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина.
Модуль 2
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Вектор. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число).
Линейная зависимость (не зависимость) векторов.
Векторные пространства. Базисы векторных пространств. Координаты вектора в базисе. Линейные операции над векторами в координатах.
Ортонормированный базис. Длина вектора в ортонормированном базисе.
Скалярное произведение векторов.
Аффинный репер. Простое отношение трех точек.
Уравнение линии. Аналитическое задание геометрических фигур.
Прямая линия на плоскости в аффинной системе координат. Параметрические, каноническое и общее уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Прямая в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угловой коэффициент прямой.
Линии второго порядка. Окружность. Каноническое и параметрические уравнения окружности.
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.
Сопряженные диаметры эллипса. Построение сопряженных диаметров эллипса.
Параметрические уравнения эллипса. Построение эллипса по его осям. Эксцентриситет эллипса.
Гипербола. Каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.
Построение гиперболы по ее каноническому уравнению и по точкам. Эксцентриситет гиперболы.
Парабола. Каноническое уравнение. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению. Построение параболы по точкам.
Формулы перехода от одной системы координат к другой. Приведение уравнения линии второго порядка к каноничекому виду.
Модуль 3
«ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ»
Параллельное проектирование (определение, свойства).
Изображение плоских фигур в пространстве. Пример.
Изображение окружности. Пример.
Изображение пространственных фигур. Примеры.
Изображение сферы.
Правильные многогранники: правильный тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Эйлерова характеристика для многогранников (т. Декарта-Эйлера, т. Эйлера).
Объемы многогранников: призмы, пирамиды, усеченной пирамиды.
Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, сферы.
Векторное произведение двух векторов (определение, свойства).
Смешанное произведение векторов (определение, свойства).
Уравнения плоскости: каноническое, параметрические, уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором, общее уравнение.
Неполные уравнения плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
Расстояние от точки до плоскости.
Угол между двумя плоскостями.
Уравнения прямой в пространстве: канонические, параметрические. Прямая, как пересечение двух плоскостей.
Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.
Расстояние от точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми.
Угол между прямой и плоскостью.
Уравнения сферы: каноническое, параметрические.
Цилиндрические поверхности.
Конические поверхности.
Поверхности вращения. Поверхности вращения второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.
Модуль 4
«ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ»
Осевая симметрия, поворот, параллельный перенос.
Движения плоскости. Свойства движений. Группа движений плоскости.
Представление движений в виде композиции осевых симметрий.
Классификация движений.
Аналитическое задание движений.
Симметрии фигур. Свойства группы симметрий ограниченной фигуры. Группа симметрий квадрата.
Подобие плоскости. Свойства подобия. Группа подобий плоскости.
Аналитическое задание подобия.
Гомотетия, свойства гомотетии. Построение соответственных точек в гомотетии.
Аналитическое задание гомотетии.
Аффинные преобразования плоскости. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований плоскости.
Задание аффинного преобразования плоскости.
Родство. Свойства родства. Построение соответственных точек в родстве.
Инверсия. Свойства инверсии. Построение соответственных точек в инверсии.
Инверсия прямой, окружности.
Конформное свойство инверсии. Метрическое свойство инверсии.
Аналитическое задание инверсии.
|
