Глава третья Силлогистика.
Употребляйте с пользой время.
Учиться надо по системе.
Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходить.
Ваш ум, не тронутый доныне,
На них приучат к дисциплине,
Чтоб взял он направленья ось,
Не разбредаясь вкривь и вкось.
Что вы привыкли делать дома
Единым махом наугад,
Как люди пьют или едят,
Вам расчленят на три приема
И на субъект и предикат.
В мозгах, как и в мануфактуре,
Есть ниточки и узелки.
Посылка не по той фигуре
Грозит запутать челноки.
(Гете "Фауст")
В этом фрагменте из «Фауста» как в капле воды отразилась вся классическая силлогистика, вся логика Аристотеля. Этот раздел посвящён так называемому обобщённому (интегрированному) анализу и синтезу силлогизмов. Едва ли подобные интегрированные оценки потребуются при решении проблем искусственного интеллекта (ИИ), поэтому интегрированную силлогистику можно просмотреть «по диагонали».
Под силлогистикой понимается раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Силлогизм – это логическая конструкция, состоящая из двух посылок, связанных общим термином, и следующего из этих посылок заключения. В [9] утверждается, силлогизм обязательно содержит 3 термина, один из которых – средний. В дальнейшем покажем, что терминов может и больше.
Классический пример силлогизма с общим (средним) термином «люди»:
Все люди смертны.
Сократ – человек.
Сократ смертен.
В жизни такие силлогизмы встречаются чрезвычайно редко. Гораздо чаще мы сталкиваемся с такими наборами посылок, из которых вывести заключение значительно сложнее. Рассмотрим некоторые примеры подобных силлогизмов.
В книге Бахтиярова К.И. "Логические основы компьютеризации умозаключений" приводится тест Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена:
Ни один химик не есть пчеловод.
Некоторые пчеловоды - художники.
--------------------------------------------
Некоторые художники - не химики.
Такое заключение должно следовать, по мнению авторов, из данных посылок. Тестирующие весьма огорчились, что с этим простым заданием справились лишь 8 человек из 20. На самом же деле задачку не решил никто, в том числе и тестирующие профессора. Ответ совершенно иной. Западные преподаватели в принципе не могли решить данный силлогизм.
Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768с.) на стр.194 решает силлогизм:
Все люди разумны.
Некоторые животные – люди.
Некоторые животные – разумны.
«Провокационный» силлогизм автора.
Все люди смертны.
Некоторые люди неграмотны.
------------------------------------------
Некоторые смертные неграмотны.
В соответствующих разделах мы рассмотрим и проверим все вышеприведённые примеры.
Троичная логика.
При аналитическом описании базисов силлогистики приходится использовать троичную логику. Эту логику представим следующими базисными операциями: инверсией, конъюнкцией и дизъюнкцией [3].
Таблица базисных функций 3-значной логики
Базисные функции определяются следующие соотношениями:
XY = min(X,Y)
X+Y = max(X,Y)
Минимизация логических функций от двух аргументов в троичной логике несущественно отличается от аналогичной операции в булевой алгебре. Используя свойство 1+i=1, мы, например, имеем право приводить выражения типа xy+i(x’+y’) к виду xy+i.
Базисы силлогистики.
Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как своим несоответствием Аристотелевой логике, так и нечеткостью описания с точки зрения математической логики. Введение кванторов не разрешило этих проблем, поскольку кванторы являются просто мнемоникой. Это называется «поменяли шило на мыло»: вместо силлогистических общеутвердительного и частноутвердительного функторов А, I ввели квантор всеобщности и квантор существования.
Рассмотрим вначале логику непосредственных умозаключений[9]. Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двух конструкций (в скобках представлена краткая мнемоническая форма записи суждений):
1)Все X суть Y(Axy);
2)Некоторые X суть Y(Ixy);
Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения (силлогистических функтора или квантора):
1)Все X суть Y(Axy);
2)Ни один X не есть Y(Exy);
3)Некоторые X суть Y(Ixy);
4)Некоторые X не суть Y(Oxy).
Из диаграмм Лобанова с помощью таблиц истинности на основе классического синтеза логических функций могут быть тривиально получены следующие соотношения [23]:
Axy = x'+y (1)
Exy = x'+y' (2)
Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении фундаментальной, основополагающей работы Порецкого П.С.[45]. Не знать её или не разобраться в ней для логика (для математика тем более) так же постыдно, как для школьника не знать таблицу умножения. Используя метод представления общеутвердительного функтора как пересечения множеств Х и Y по Порецкому, получим следующий результат:
Axy ≡ (x = xy) = xy + x’(xy)’ = xy + x’(x’ + y’) = xy + x’ = x’ + y.
Аналогично выводится и соотношение для Exy:
Exy ≡ (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’(x’+y) = xy’+x’ = x’+y’.
Кстати говоря, из соотношения Axy = x'+y = x → y следует и объяснение физического смысла импликации. Поскольку высказывание «Все Х суть Y» эквивалентно импликации «Из истинности Х следует истинность Y», постольку эквивалентны и их аналитические представления. Действительно, высказывания «Все люди талантливы» и «Если ты человек, то ты талантлив» с точки зрения здравого смысла означают одно и то же. Отсюда же следует и вывод о бессмысленности разделения логики на силлогистику и логику суждений.
Что касается суждений Ixy, Oxy, то здесь сложилась спорная ситуация. Во-первых, ни в одном источнике нет аналитического представления силлогистического функтора (квантора[1, 9]) Ixy, т.е. фактически нет аналитического описания базиса силлогистики. Это и понятно: для решения данной задачи требуется многозначная логика. В классической силлогистике все авторы стремились использовать двузначную логику. Во-вторых, здравый смысл и булева алгебра утверждают, что Oxy =(Ixy)', а в традиционной логике Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)', что отнюдь не бесспорно и не убедительно. Однако примем на веру эти формулы, поскольку именно их рекомендуют для запоминания студентам.
На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy, Oxy:
Ixy = (Exy)' = xy (3)
Oxy = (Axy)' = xy'
Прежде всего, эти соотношения противоречат друг другу. По определению "Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверсны, т.е. Ixy = (Oxy)', Oxy = (Ixy)'. А из приведённых формул следует эквивалентность суждений "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-Y", что совсем не соответствует действительности. Кроме того, частноотрицательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла, поскольку является тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания.
Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов EIO 1-й - 4-й фигур, EAO, OAO 3-й фигуры и AAI, EAO 4-й фигуры также подтвердила всю несостоятельность соотношений Ixy, Oxy. Аналитический метод контроля силлогизмов дал такие же результаты.
Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения (3), из которого следует, что, безусловно, существуют лишь ситуация x=y=1. Поскольку логические аргументы представляют собой скаляры, максимальная длина которых не может превышать "полной единицы" (универсума), т.е. x+x'=1, введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. Необходимо отметить, что впервые геометрическую интерпретацию (интервальный метод изображения множеств) силлогистических функторов применил Иоганн Генрих Ламберт(1728-1777гг.), немецкий философ, математик, физик и астроном. Однако он допустил ряд ошибок, главной из которых явилось отсутствие фиксации универсума. Эта ошибка на несколько столетий похоронила идею математической силлогистики.
На двумерных диаграммах Венна невозможно отобразить всевозможные размещения нескольких множеств: теряется наглядность. А на одномерных диаграммах Лобанова этой проблемы не существует. Это делает возможным анализ многоаргументных соритов и силлогизмов.
Из рисунка видно, что такая "логика" не имеет никакой практической ценности. "Бытовой" логике, вероятно, более соответствует нижеприведённая скалярная диаграмма.
Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересечения множеств X и Y, но и отмечает различные ситуации этого пересечения. Все аналитические соотношения получены на основе трёхзначной логики.
B Аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комбинация понятий x,y, лишь бы пересечение этих понятий не было пустым[1,48]. Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют следующие скалярные диаграммы.
Вновь введенные скалярные диаграммы отличаются от диаграмм Ламберта[49] следующими принципиальными характеристиками:
1)наличие фиксации универсума;
2)размещение силлогистических функторов Axy, Еxy, Ixy на двух и более, а не на одном уровне;
3)возможность "дробного" (разрывного) представления понятия в пределах универсума;
4)возможность графической и аналитической интерпретации результатов анализа и синтеза силлогизмов.
Наличие даже одного из перечисленных отличий привело к переименованию кругов Эйлера в диаграммы Венна [10]. Вполне естественно, что вновь введённые скалярные диаграммы получили название диаграмм Лобанова. Справедливости ради следует отметить, что скалярные диаграммы впервые применил Лейбниц[12, стр.601], но, как и его ученик, Ламберт, не сумел их использовать для аналитического описания функторов и синтеза заключений в силлогизмах.
На рисунке показан процесс перехода от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез по ним аналитического описания силлогистических функторов Axy, Exy, Ixy.
Из полученного аналитического выражения для Axy следуют далеко идущий вывод: нет логики суждений и логики предикатов, а есть просто общая логика. Приведём пример.
Любая кухарка, сравнив левую и правую половину таблицы, скажет академику-неучу о двух силлогизмах: «Это что в лоб, что по лбу». А мы подтвердим, что импликация из логики суждений и общеутвердительный квантор из логики предикатов тождественны. Значит, логика суждений и силлогистика – синонимы.
Много разговоров ведётся по поводу так называемых парадоксов материальной импликации: из ложной посылки можно вывести какое угодно заключение. Но из скалярной диаграммы для Axy, которая эквивалентно отображает импликацию x → y, видно, что x’ → iy, т.е. из x’ следует y только с некоторой вероятностью, но никак не безусловно.
С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны многие логики. В работе [5] автор утверждает, что "научное употребление слова "некоторые" совпадает с общеразговорным", т.е. с бытовым, а не аристотелевским. Кроме того, Васильев Н.А. считает, что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением. Он также заявляет: "В математике так называемые частные суждения сводятся ... к общим, и она прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "некоторые". К этому же должна стремиться и всякая наука... Частное суждение нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего суждения, а как особый вполне самостоятельный вид суждения, вполне координированный с общими суждениями, исключающий их и исключаемый любым из них…Частноутвердительное и частноотрицательное суждение суть одно суждение, а не два". С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться. Да и здравый смысл просто бунтует против Аристотелевой трактовки частноутвердительного и частноотрицательного суждений.
Имеет некоторый практический смысл и такая трактовка суждения Ixy, как представленная на скалярной диаграмме.
Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты представления суждений Axy, Exy, Ixy. Суждение Oxy получается автоматически из Ixy, поскольку является его отрицанием.
3.1. Все x суть y(Axy).
1. Традиционное представление этого суждения изображено на скалярной диаграмме, по которой заполнена таблица истинности.
По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:
Axy = (xy')' = x'+y = Ay'x' = Exy' = (xy) = (y'x')
2. Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации. Вторая комбинация аргументов x,y представлена на диаграмме.
Ситуация, представленная на рисунке под символом Y2, может быть проиллюстрирована следующим высказыванием: "Все люди смертны". Это справедливо при условии, что "мир» (универсум) - все живые существа, т.к. все живое-смертно. С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет вид:
Axy = y+ix'y'
С точки зрения здравого смысла, учитывая то обстоятельство, что аргументами во всех силлогистических функторах (кванторах) являются множества, не может множество Y быть одновременно и равно множеству X, и больше этого множества. Возможно, Аристотель пытался искать заключения в силлогизмах для случаев полного отсутствия информации о мощности аргументов-множеств. При решении задач ИИ такая ситуация недопустима. Однако сохраняя традиции классической логики, все базисы Axy, Exy, Ixy будут рассматриваться без учёта количественных характеристик терминов.
3. Третий вариант суждения Axy изображен на скалярных диаграммах. По cравнению со 2-м вариантом здесь добавлено суждение "y эквивалентно универсуму".
Для ситуации на рисунке под символом Y3 справедливо высказывание "Все люди владеют словом". Если весь "мир" - живые существа, то понятия "люди" и "говорящие живые существа" эквивалентны. Из таблицы получаем следующее соотношение:
Axy = xy+ix'
Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций, но в силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргументов не являются решающими.
3.2. Ни один x не есть y(Exy).
1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.
Из таблицы имеем:
Exy = (xy)' = x'+y' = Axy' = Ayx' = Eyx = (xy') = (yx')
По методу Порецкого [45] с использованием формулы равнозначности получим:
Exy = (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’ = x’+y’.
2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.
Для иллюстрации диаграммы рисунка под символом Y2 подходит высказывание "Ни один живой не есть мертвый", т.е. Y2 = X’.
Из таблицы имеем:
Exy = x'y+xy'+ix'y' = (xy)+ix’.
3.3. Некоторые x суть y.
Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию", с которой не согласится любой здравомыслящий человек. Выдающийся русский математик с мировым именем М.В. Остроградский дал такой отзыв об этой геометрии «Всё, что я понял в геометрии г–на Лобачевского, ниже посредственного». Все русские учёные отвергли геометрию Лобачевского. Даже великий русский писатель Достоевский не принял этих измышлений. "Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего", - писал неизвестный рецензент, По образу и подобию «великого» геометра не менее «великий» логик Васильев Н.А. разработал "воображаемую логику" (такую же бестолковую, как и «воображаемая геометрия»). Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной (бытовой) логике, тем более что в [5] частному суждению Ixy уделено недостаточное внимание.
1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Иллюстрацией для этого варианта служит высказывание "Некоторые люди(x) - мудрые люди(y)"("мир" - люди). Так могли выразиться только телезвезда, академик (Нобелевский или Шнобелевский лауреат) или любой член команды телезнатоков. Правильным является лишь высказывание «Все мудрые люди – часть Человечества». Однако тем не менее из таблицы получим соотношение:
Ixy = x
2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y+ix'y'.
После минимизации формула примет вид Ixy = x+y+ix' = x+y+iy'.
Здесь метод Порецкого бессилен, т. к. он рассчитан лишь на описание общеутвердительных или общеотрицательных суждений.
3.Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот базис соответствует Аристотелевскому [49].
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+i(x'+y') = xy+i.
4.Четвёртый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Этот базис получил название несимметричного.
Ситуация на рисунке под символом Y1 иллюстрируется высказыванием "Некоторые юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические вузы не выпускают).
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y'+ix'y = x+y'+iy
5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Ситуация на рисунке под символом Y3 иллюстрируется высказыванием "Некоторые люди(x) суть неговорящие существа(y)" (не - люди тем более не разговаривают). Универсум - "живые существа". Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+ix' = x+i.
6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y = Ax'y = Ay'x.
7. Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:
После минимизации получим Ixy = y+i.
8. Восьмой вариант функтора Ixy (базис Васильева Н. А.).
Этот вариант удовлетворяет всем требованиям Васильева Н.А.:
Ixy = Ix’y = Ixy’ = Ix’y’ = Iyx = Iy’x = Iyx’ = Iy’x’.
9.Девятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) = xy+x'y'+i
Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конкретного силлогизма. Нередко частноутвердительное суждение бездумно употребляется вместо общеутвердительного. Если для суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использовать любой симметричный чачтноутведительный базис, то придем к абсурдному заключению "Некоторые млекопитающие - животные", поскольку на самом деле исходное суждение должно иметь вид "Все млекопитающие - животные". Именно такую ошибку дважды допустили преподаватели Кембриджа и Оксфорда, авторы занятного учебного пособия по философии, на стр.170 и 174[50].
Для указания используемого базиса автор применяет нумерацию, состоящую из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy. Например, для анализа силлогизмов в общем (неконкретном) виде автор когда-то предпочитал общеразговорный базис 1-1-2, который описывается следующими соотношениями:
Axy = (xy')' = x’+y
Exy = (xy)' = x’+y’
Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i.
В настоящее время автор считает единственно правильным базисом только базис здравого смысла 1-1-8. Этот базис назван автором базисом Васильева, т.к. он удовлетворяет требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно научного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.
Axy = (xy')' = x’+y
Exy = (xy)' = x’+y’
Ixy = 1.
Заключение.
1. Анализ современного состояния логики показал полное отсутствие аналитического представления базиса силлогистики, а также несостоятельность классического силлогистического базиса, который не является ни Аристотелевским, ни общеразговорным (бытовым).
2. Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру и аналитическое описание.
3. Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердительного суждения и дано его аналитическое представление.
4. Впервые найдено аналитическое выражение для частноутвердительного суждения, удовлетворяющего критерию Васильева.
5. Впервые доказано, что логика суждений и логика предикатов тождественны, т.е. нет никакой логики предикатов и кванторного исчисления.
|
