Импликативно-силлогистические законы и их связь с силлогистикой.
Законы умножения.
1.1. Левую часть импликации можно логически умножить на любую логическую переменную.
(a→b) → (ac→b) = (a’+b) → (a’+c’+b) = ab’+a’+c’+b = 1, или
Aab → A(ac)b
Обе части импликации можно логически умножить на одну и ту же логическую переменную.
(a→b) → (ac→bc) = (a’+b) → (a’+c’+bc) = ab’+a’+c’+bc = 1, или
Aab → A(ac)(bc)
1.3. Нельзя сокращать обе части импликации на общий множитель.
(ac→bc) → (a→b) = (a’+c’+bc) → (a’+b) = ac(b’+c’)+a’+b ≠ 1.
1.4. Любой логический сомножитель правой части импликации можно переносить в левую.
(a→bс) → (ac→b) = (a’+bc) → (a’+c’+b) = a(b’+c’)+a’+c’+b = 1, или
Aa(bc) → A(ac)b
(a→bс) → (ab→c) = (a’+bc) → (a’+b’+c) = a(b’+c’)+a’+b’+c = 1, или
Aa(bc) → A(ab)c
1.5. Нельзя в правой части импликации вводить любой сомножитель.
(a→b) → (a→bc) = (a’+b) → (a’+bc) = ab’+a’+bc ≠ 1, или
Aab → Aa(bc) ≠ 1
1.6. Нельзя выносить за скобки общий множитель из эквивалентности.
(ac=bc) → c(a=b) ≠ 1
(ac=bc) → c(a=b) = ac(bc)’+(ac)’bc+c(a=b) = ab’c+a’bc+abc+a’b’c ≠ 1.
1.7. Можно выносить за скобки общий множитель из неравнозначности.
(ac≠bc) → c(a≠b) = (ac=bc) + c(ab’+a’b) = abc+c’+a’b’+ab’c+a’bc = 1.
Законы сложения.
2.1. Левую и правую части импликации можно логически сложить с одной и той же логической переменной.
(a→b) → ((a+c)→(b+c)) = (a’+b) → (a’c’+b+c) = ab’+a’c’+b+c = 1, или
Aab → A(a+c)(b+c).
2.2. К правой части импликации можно добавлять любое логическое слагаемое.
(a→b) → (a→(b+c)) = (a’+b) → (a’+b+c) = ab’+a’+b+c = 1, или
Aab → Aa(b+c).
2.3. Из левой части импликации можно удалять любое логическое слагаемое.
((a+c)→b) → (a→b) = (a’c’+b) → (a’+b) = (a+c)b’+a’+b = 1, или
A(a+c)b → Aab, A(a+c)b → Acb.
2.4. Нельзя исключать общие логические слагаемые из левой и правой частей импликации.
((a+c)→(b+c)) → (a→b) = (a’c’+b+c) → (a’+b) = b’c’(a+c)+a’+b ≠ 1, или
A(a+c)(b+c) → Aab ≠ 1.
В этом случае правильная импликация выглядит так: A(a+c)(b+c) → Iab(8).
Импликативные законы хорошо иллюстрируются скалярными диаграммами, подтверждая лишний раз единство логики суждений и силлогистики.
Все вышеперечисленные «аксиомы», законы и правила приведены не для запоминания, а в качестве иллюстрации простоты доказательства этих законов, в качестве иллюстрации возможностей созданной в России Русской логики, т.е. математической теории доказательств.
Выводы.
1. Анализ силлогистик здравого смысла (русской и общеразговорной) привел к выводу о том, что наряду с использованием этих силлогистик необходимо построение атомарной силлогистики.
2. Впервые разработана атомарная силлогистика и даны методы синтеза атомарных силлогизмов и примеры их использования для решения конкретных задач.
3. Впервые представлены методы синтеза соритов.
4. Показано, что для каждой содержательной посылки нужно использовать свой конкретный базис.
Глава шестая Естественный вывод и кванторы.
В главе под таким названием в [43] излагается вывод умозаключений из нескольких посылок. Это может быть непосредственное умозаключение, простой категорический силлогизм или сорит. Но суть не в названии, а в методах получения результатов. В [43] для анализа умозаключений (доказательства корректности формулы) применяются кванторы. Автор при доказательстве применяет вспомогательные выводы с достаточно обременительными правилами. Приведём пример одного такого доказательства[42,стр.299].Необходимо проверить формулу:
x(A(x) B(x)) & x A(x) x B(x)
Цепочка вспомогательных выводов выглядит следующим образом.
x(A(x) B(x)) & x A(x)
A(c1)
A(c1) B(c1)
B(c1)
x B(x)
x(A(x) B(x)) & x A(x) x B(x)
Во-первых, сложно, а во-вторых, не очевидно. Поскольку здесь налицо простой категорический силлогизм (две посылки и одно заключение), то можно применить алгоритм «Осташ-Т». Для экономии заменим А(х) на a и В(х) на b. Не применяя кванторов, получим в русском базисе следующее выражение.
Ax(a b)Ixa Ixb = x(a b)’ + jx’a’ + x + b + ix’b’ = 1(i), что доказывает истинность исходной формулы. Более очевидным является доказательство в обычной логике суждений.
M = (a b) & ia ib = (a’+b)ia ib = iab ib = (iab)’+ ib = a’+b’+jab+ib = 1
Без кванторов также можно анализировать сориты, т.е. умозаключения с тремя и более посылками. Из [42,стр.301] позаимствуем для доказательства формулу, которая без кванторов примет вид:
Ax(a+b)Ix(a c)Ax(b c) Ixc = x(a+b)’ + jx’(a’+c)’ + x(b’+c)’ + x + c + ix’c’ = x+c+x’ac’+ix’ac’ = 1(i).
Полученные по алгоритмам «Осташ-Т» и «ТВАТ» результаты подтверждают достоверность анализируемого сорита. Поскольку каждый сорит, в конце концов, приводится к силлогизму, то анализ и синтез соритов можно проводить по алгоритмам «Осташ», «ИЭИ» и «ТВАТ». В данном сорите после приведения его к силлогизму средним термином является переменная a.
Доказательство ложности непосредственного умозаключения «поскольку все люди - мужчины или женщины, то все люди - мужчины или все люди - женщины» сопровождается в [42,стр.300] сложными вспомогательными выводами и пространными рассуждениями, что отнюдь не делает доказательство убедительным. Более того, подобные попытки обречены на неудачу, поскольку в данной ситуации требуется не двоичная, а комплементарная логика. Словесная формулировка данного умозаключения чрезвычайно аморфна. Это неотъемлемая черта любого естественного языка, с которой приходится мириться. Поэтому для анализа умозаключения, прежде всего, необходимо корректно аналитически представить посылку и заключение, для чего изобразим посылку на скалярной диаграмме. Здесь x - люди, m - мужчины, g - женщины.
Дело в том, что в посылке на основе здравого смысла предполагается исключение ситуации, когда человек является одновременно и мужчиной и женщиной (гермафродит). Кроме того, человек не может быть одновременно не мужчиной и не женщиной. И уж тем более не может быть никогда мужчины или женщины не-человека. Поэтому в таблице истинности данные ситуации отмечены как невозможные. Отсюда получаем выражение для посылки f:
f = x(mg’+m’g)+x’m’g’
На самом деле в этой задаче условие и доказательство должны были выглядеть так:AmxAgx Amx+Agx = (Amx)’+(Agx)’+Amx+Agx = 1
В примере 11.2.3.4[42, стр.301] требуется доказать кванторное соотношение:
x(A(x) + B(x)) & x (A(x) C(x)) &x(B(x) C(x)) x C(x).
На основе русской силлогистики получим следующее доказательство:
A(a+b)x Ix(ac) A(bc)x Ixc = (a+b)x’+jx’ac’+(b’+c)x’+x+c+i = x’+x+c+i = 1
На основе инженерной логики суждений доказательство выглядит ещё проще:
(a+b) i(ac) (bc) ic = a’b’+ac’+j(a’+c)+bc’+ic = 1.
В примере 11.2.3.1[42, стр.301] заменим кванторное выражение
x (A(x)B(x)) x (A(x)) x (B(x)) на бескванторное и проведём доказательство:
iab ia ib = iab iab = 1.
Проведём аналогичные замены в примерах 11.2.3.2 – 11.2.3.6[43]. Получим следующие доказательства.
11.2.3.2. x(A(x) + B(x)) & x(A(x))’ xB(x)
(a+b) ia’ ib = a’b’+a+ja’+ib = 1.
11.2.3.3. x (A(x) + B(x)) & x(A(x))’ xB(x)
i(a+b) a’ b = (i(a+b))’+a+b = a’b’+j(a+b)+a+b = 1.
11.2.3.5. x(A(x) + B(x)) & x(A(x) C(x)) & x(B(x) D(x)) x(C(x)+D(x)).
(a+b)(ac)(bd) (c+d) = a’b’+ac’+bd’+c+d = 1.
11.2.3.6. xA(x)+xB(x) x (A(x)+B(x))
ia+ib i(a+b) = i(a+b) i(a+b) = 1.
В книге В. Ф. Беркова “Логика: задачи и упражнения” (М.: 1998, стр. 122) приведена задача из логики отношений, которую предлагается решать с помощью многоместных предикатов. Попытаемся её решить без привлечения кванторного исчисления.
Задача 8б.
Выведите заключение из следующих посылок:
Иван дружит с Марьей, Марья дружит с Петром.
Решение.
Примем в качестве универсума множество дружественных отношений(круг друзей). Введём следующие обозначения: m – множество друзей Марьи, x – множество друзей Ивана, y – множество друзей Петра.
Тогда по алгоритму ТВАТ получим следующие скалярные диаграммы.
Кстати, по алгоритму ИЭИ мы получим такой же результат.
M = Ixm(3)Imy(3) = (mx+im’+ix’)(my+im’+iy’) = mxy+im’+ix’y’
f(x,y) = i.
Следовательно, никакого заключения из этих посылок сделать невозможно. На скалярных диаграммах изображены не все возможные «дружественные» ситуации, но даже представленных скаляров хватило для корректного решения задачи. Решение могло быть получено лишь при заданных количественных характеристиках для терминов силлогизма.
Заключение.
Автор не считает предложенные методы, алгоритмы и полученные по ним результаты истиной в последней инстанции. Однако эти результаты хорошо согласуются со здравым смыслом. Автор видит пути ревизии изложенных методов и собирается критически переосмыслить их при более благоприятных обстоятельствах. Но некоторые итоги не вызывают сомнения:
- силлогистика Аристотеля не является полной;
- многие «правильные» модусы Аристотеля ошибочны (наиболее очевидная ошибка - модус AAI 4-й фигуры);
правила посылок некорректны;
модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают универсум, конкретное содержание посылок и количественные характеристики терминов;
аналитическое представление силлогистических функторов Axy,Exy впервые дано русским логиком П. С. Порецким;
- кванторы не решают проблем анализа и синтеза силлогизмов;
|
