Глава восьмая Вероятностная логика.
Впервые в мире о связи логики с теорией вероятности заявил П.С.Порецкий в своей работе «Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики»//Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском ун-те. 1887. Т.5. Он показал, как легко и просто решаются вероятностные задачи с помощью логики. Мы будем решать обратную задачу: рассчитывать вероятностные характеристики силлогизма.
Этот раздел требует знаний основ комбинаторики. В наше время сочетания, размещения и перестановки изучали в 7-м классе. Будем обозначать число сочетаний из m элементов по n как C(m,n), а размещения – как A(m,n). Известно, что C(m,n) = A(m,n)/n!,
A(m,n) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1), C(m,n) = C(m,m-n).
При синтезе заключений зачастую имеют место несколько вариантов решений. Такие силлогизмы будем называть многовариантными. Требуется определить вероятность реализации каждого заключения в многовариантном силлогизме. Сначала рассчитаем вероятности общих и частных суждений вида Axy, Exy, Ixy.
Вероятность события Axy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется определить вероятность события «Все Х суть У», т.е. найти P(Axy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
В 8 клетках скалярной диаграммы множество У, состоящее из 4 элементов можно разместить различными способами, число которых определяется как число сочетаний из n=8 по ny=4, т.е. C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Однако при соблюдении условия Axy количество вариантов размещения элементов множества У существенно меньше. Их число определяется из следующих соображений. Два элемента множества У должны обязательно занимать 1-ю и 2-ю клетки диаграммы. Оставшиеся (ny-nx) = 4-2 = 2 элемента можно разместить в 6 клетках с 3-ей по 8-ю включительно разными способами, число которых определяется как число сочетаний C(n-nx,ny-nx) = C(8-2,4-2) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.
Таким образом, вероятность P(Axy) = C(n-nx,ny-nx)/C(n,ny) = 15/70 = 3/14.
P(Axy) = C(n-nx,ny-nx)/C(n,ny) = C(ny,nx)/C(n,nx)
Вероятность события Exy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется определить вероятность события «Ни один Х не есть У», т.е. найти P(Exy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущем случае равно C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Количество вариантов размещения элементов множества У при соблюдении условия Exy определяется по формуле C(n-nx,ny) = C(8-2,4) = C(6,4) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.
Таким образом, вероятность P(Exy) = C(n-nx,ny)/C(n,ny) = 15/70 = 3/14.
P(Exy) = C(n-nx,ny)/C(n,ny) = C(n-ny,nx)/C(n,nx)
Вероятность события Ixy.
Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется определить вероятность события «Некоторые Х суть У», т.е. найти P(Ixy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.
Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущих случаях равно C(n,ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Для выполнения условия Ixy нужно, чтобы один элемент множества Y размещался или в клетке 1, или в клетке 2, но не в двух сразу (тогда получится Axy). Таким образом, существуют две равновеликих группы вариантов размещения элементов множества Y при выполнении требования Ixy. Рассчитаем количество размещений для одной группы вариантов. Оно определяется числом сочетаний
C(n-nx,ny-1) = C(8-2,4-1) = C(6,3) = 6*5*4/3! = 20.
Следовательно, общее количество вариантов размещения элементов множества Y при выполнении условия Ixy составит 2*20 = 40.
Таким образом, вероятность P(Ixy) = C(n-nx,ny-1)/C(n,ny) = 40/70 = 4/7. Определим сумму вероятностей P(Axy)+P(Exy)+P(Ixy) = 3/14+3/14+4/7 = 1. Следовательно,
P(Ixy) = 1 – P(Axy) – P(Exy).
Для «разминки» решим следующую задачку.
Задача 8.1.
Некоторые студенты (m) – отличники (x).
Некоторые студенты (m)– блондины (y).
------------------------------------------------
Найти f(x,y), если известно, что в компании молодёжи из 10 человек студенты составляют 20%, отличники – тоже 20%, а блондины – 40%.
Решение.
Классическая логика однозначно утверждает, что заключения не существует. Однако в Русской логике эта задача легко решается. Примем в качестве универсума (U) всю компанию молодёжи из 10 человек, тогда получим решение по алгоритму ТВАТ: Ixy = x'+i= Ix’y(5), т.е. «Некоторые не-отличники – блондины».
Такое интегрированное заключение не противоречит здравому смыслу, но не имеет количественной оценки возникновения возможных ситуаций Axy, Exy, Ixy.
Определим эти вероятности, для чего найдём количество всевозможных способов реализации второй посылки Imy, т.е. k(Imy). Нам известны количественные характеристики: n=10, m=2, x=2, y=4. Отсюда получим, используя формулу для сочетаний
k(Imy) = 2 x C(n-m,y-1) = 2 x C(8,3) = 2 x 56 = 112.
Аналогично найдём количество возможных вариантов для заключений Axy, Exy, Ixy.
k(Axy) = C(n-x-1,y-x) = C(7,2) = 21.
k(Exy) = C(n-x-1,y-1) = C(7,3) = 35.
k(Ixy) = C(n-x-1,y-1) + C(n-x-1,y-2) = C(7,3) + C(7,2) = 35 + 21 = 56.
Проверка подтверждает, что k(Axy)+k(Exy)+k(Ixy) = k(Imy).
Теперь легко находятся вероятности всех вариантов заключений.
P(Axy) = k(Axy)/k(Imy) = 21/112 = 3/16.
P(Exy) = k(Exy)/k(Imy) = 35/112 = 5/16.
P(Ixy) = k(Ixy)/k(Imy) = 56/112 = ½ = 0,5.
Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).
Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и универсума силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).
Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.
Определить вероятность каждого варианта заключения, используя формулы вычисления количества сочетаний.
В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.
Необходимо отметить влияние количественной характеристики терминов на заключение силлогизма.
Задача 8.2.
Дана полная единица системы в виде M = AxmImy. Найти заключение.
Решение.
Поскольку содержимое терминов не оговорено, то мы имеем право представить решение задачи в виде следующих скалярных диаграмм.
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5).
Задача 8.3.
Сохраним условие предыдущей задачи, т.е. пусть M = AxmImy. Но оговорим количественные характеристики множеств U, M, X, Y. Пусть множество универсума содержит 5 элементов,т.е. nU = 5, а остальные характеристики соответственно nM = 3, nX = 1, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Хотя интегрированное заключение и не изменилось, но количество вариантов решения уменьшилось: здесь физически невозможна ситуация Ixy. Таким образом, решение силлогизма зависит и от соотношения содержимых терминов, т.е. от мощностей всех задействованных множеств. В этой задаче несложно подсчитать вероятности вариантов заключений (на скалярных диаграммах представлено лишь по одному варианту для Exy, Axy).
P(Exy) = 4/6 = 2/3,
P(Axy) = 2/6 = 1/3.
Задача 8.4.
Пусть M = AxmAym и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 1. Найти заключение.
Решение.
F(x,y) = y’ + i = Ixy’(5), т.е. «Некоторые Х суть не-У» в 5-м базисе. Вероятностные характеристики различных вариантов заключений легко находятся из диаграмм.
P(Exy) = 1/3.
P(Ayx) = 2/3.
Задача 8.5.
Пусть M = AxmImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Imy) = C(3,1)*C(2,2)+C(3,2)*C(2,1) = 3*1+3*2 = 9.
n(Axy) = 1.
n(Ixy) = 9-1 = 8.
P(Axy) = n(Axy)/n = 1/9.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 8/9.
Задача 8.6.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'y’+i= Ix’y’(3). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(4,2)=4* 3/2 = 6.
n(Exy) = 1.
n(x=y) = 1.
n(Ixy) = 6-(1+1) = 4(на рисунке представлен лишь один вариант из 4-х).
P(Exy) = n(Exy)/n = 1/6.
P(x=y) = 1/6.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 4/6 = 2/3.
Задача 8.7.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(4,3)=4* 3*2/6 = 4.
n(Axy) = 2.
n(Ixy) = 4 - 2 = 2.
P(Axy) = 2/4 = 1/2.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 2/4 = 1/2.
Задача 8.8.
Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 5, nX = 3, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Aym) = C(5,2)=5* 4/2 = 10.
n(Exy) = 1.
n(Ayx) = C(3,2) = 3*2/2 = 3
n(Ixy) = 10 – (1+3) = 6.
P(Exy) = 1/10.
P(Ayx) = 3/10.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.
Задача 8.9.
Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.
n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.
n(Axy) = C(3,1) = 3.
n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.
P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.
P(Axy) = 3/45 = 1/15.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.
Задача 8.10.
Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение задачи 9.9 при смене мест посылок.
Решение.
Диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5), т.е. от перестановки посылок заключение не изменилось. Определим вероятностные характеристики.
n = n(Axm) = C(5,2) = 5* 4/2 = 10.
n(Exy) = C(3,2) = 3.
n(Axy) = 1.
n(Ixy) = 10-(1+3) = 6.
P(Exy) = n(Exy)/n = 3/10.
P(Axy) = 3/45 = 1/10.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.
Мы получили совершенно иные вероятностные характеристики, чего быть не может. Это связано с тем, что при частной посылке, стоящей на первом месте необходимо рассматривать не один вариант Imy, а все
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45, и находить среднее значение вероятностных характеристик. Поэтому для упрощения расчётов нужно на первое место ставить общеутвердительную или общеотрицательную посылку.
Задача 8.11.
Для задачи 9.9 M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключения при различных вариантах первой общеутвердительной посылки.
Решение.
Таких вариантов будет C(5,2) = 10. Для первого варианта диаграммы примут вид:
Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x,y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.
n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.
n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.
n(Axy) = C(3,1) = 3.
n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.
P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.
P(Axy) = 3/45 = 1/15.
P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.
Все 10 вариантов диаграмм для данного силлогизма дают одинаковые вероятностные характеристики заключений. Это означает, что в том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных.
Задача 8.12.
Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм видно, что
n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = C(3,2) = 3.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
Задача 8.13.
Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм получим такие результаты.
n(Amy) = C(3,2) = 3, n(Axy) = C(2,1) = 2, n(Ixy) = 1.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 2/3.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 1/3.
Задача 8.14.
Пусть M = AmxAmy и nU = 6, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.
Решение.
Из скалярных диаграмм получим такие результаты.
n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = 6-3 = 3.
P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.
Решение в общем виде для ситуации nu>(nx+ny-nm), ny>nx, nx>nm:
n(Amy) = C(nu-nm,ny-nm), n(Axy) = C(nu-nx,ny-nx), n(Ixy) = n(Amy)-n(Axy).
P(Axy) = C(nu-nx,ny-nx)/ C(nu-nm,ny-nm),
P(Ixy) = n(Ixy)/ C(nu-nm,ny-nm) = [C(nu-nm,ny-nm) - C(nu-nx,ny-nx)]/ C(nu-nm,ny-nm).
Задача 8.15.
Пусть M = EmxEmy и nU = 3, nM = 1, nX = 1, nY = 1. Найти заключение.
Решение.
Найдём интегрированное заключение по алгоритму ИЭИ.
M = EmxEmy = (m’+x’)(m’+y’) = m’+x’y’
F(x,y) = x’y’ + i = Ix’y’(3).
Вероятностные оценки двухвариантного заключения:
P(Exy) = 0,5; P(x ~ y) = 0,5.
Задача 8.16.
Пусть M = AmxAmy и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение f(x,y) = y+i = Ixy(7).
Вероятностные характеристики двухвариантного заключения:
P(Axy) = 2/3; P(Ixy) = 1/3.
Задача 8.17
Пусть M = ImxImy и nU = 6, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = x’+i = Ix’y(5).
Задача 8.18
Пусть M = ImxImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = x’y+i = Ix’y(3).
Задача 8.19
Пусть M = ImxImy и nU = 4, nM = 2, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.
Решение.
Интегрированное заключение: f(x,y) = i , т.е. нет заключения.
Вероятностные характеристики 3-вариантного заключения:
P(Exy) = ¼; P(x~y) = ¼, P(Ixy) = ½.
Результаты решения трёх последних примеров ярко высвечивают зависимость заключения не только от объёма терминов и универсума, но и от соотношения этих объёмов.
Задача 8.20.
Вернёмся к вышеприведённому тесту Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена:
Ни один химик(x) не есть пчеловод(m).
Некоторые пчеловоды(m) – художники(y).
--------------------------------------------
Некоторые художники - не химики.
Решение.
Пусть универсум состоит из химиков, пчеловодов и художников, причём n=4, m=2, x=1, y=2. Решение представлено на диаграммах Лобанова.
Из диаграмм видно, что заключение двухвариантно: Exy, Axy. Определим вероятности этих вариантов: P(Exy), P(Axy).
N(Imy) = C(2,1)*C(2,1) = 2*2 = 4
N(Exy) = C(2,1)*C(1,1) = 2
N(Axy) = C(2,1)*C(1,1) = 2
P(Exy) = n(Exy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5
P(Axy) = n(Axy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5.
Если внимательно присмотреться к диаграммам, то можно заметить, что ситуация Axy невозможна: нарушается требование состава универсума. В этом случае в 3-й «дискрете» появляется один участник, который не является ни химиком, ни пчеловодом, ни художником. Следовательно, единственное правильное заключение в тесте Ф.Джонсон-Лэрда и М.Стидмена: Exy, т.е. «Ни один химик – не художник».
Поскольку авторы силлогизма не имели ни малейшего представления о математической силлогистике, то они в принципе не имели права тестировать студентов. Кроме того сам тест задан некорректно: не указаны количественные характеристики терминов и не определён универсум. Именно на этом построен провокационный силлогизм автора. Не оговорив универсума и не задав количественных характеристик терминов, автор просил проверить заключение. Естественно, все попытки решения этой задачки были обречены на провал.
Задача 8.21.
Все люди(m) смертны (x).
Некоторые люди (m) неграмотны (y).
------------------------------------------
Некоторые смертные неграмотны.
Решение.
Пусть универсум состоит из животных и богов, тогда при условии, что все боги грамотные и все животные безграмотны, решение будет выглядеть так:
Из диаграмм очевидно заключение: «Все неграмотные смертны».
Аналогично, вероятностным методом, решается задача нахождения недостающей посылки.
Задача 8.22.
Дано: Axm & f(m,y) → Exy, n=6, m=3, x=1, y=2.
Найти f(m,y).
Решение.
По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и определяем, что в этом случае искомая посылка трехвариантна.
По п.2 алгоритма «Комета» находим
K(Exy) = C(5,2) = 20/2 = 10.
K(Emy) = C(3,2) = 3. P(Emy) = 0,3.
K(Aym) = 1. P(Aym) = 0,1.
K(Imy) = 10-3-1 = 6. P(Imy) = 0,6.
Аналитический метод дал бы единственный результат: Emy.
Задача 8.23.
Пусть M = Amx & f(m,y) → (Axy, Ixy) и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти недостающую посылку.
Решение.
В этой задаче заключение двухвариантно. А сколько вариантов будет иметь искомая посылка? По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и определяем, что в этом случае искомая посылка тоже двухвариантна.
Следовательно, искомая посылка имеет вид (Amy, Emy). Определение вероятностей дало следующие результаты:
P(Emy) = 0,5.
P(Amy) = 0,5.
Задача 8.24.
Пусть M = Amx & f(m,y) → Ixy и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти недостающую посылку.
Решение.
В этой задаче заключение одновариантно. А сколько вариантов будет иметь искомая посылка? По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и определяем, что в этом случае искомая посылка двухвариантна.
Следовательно, искомая посылка имеет вид (Amy, Emy). Определение вероятностей даёт следующие результаты:
P(Emy) = 0,5.
P(Amy) = 0,5.
К вероятностной логике относятся и комбинаторные задачи (см.Ежов И.И. и др. «Элементы комбинаторики». – М.:Физматлит, 1977 – 80с.).
Задача 8.25.
Каждый ученик класса – либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе.
Решение.
Введём обозначения: А – множество девочек, В – блондинов, С – мн-во учеников, которые любят математику. Тогда на диаграммах Лобанова получим результат: в данном классе 32 ученика.
Кстати, в силлогистике решение этой задачи выглядит так: IabIac → Ibc.
Задача 8.26.(Ежов И.И., с.15)
В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников посещают и математический, и физический кружок? Сколько учащихся посещают только математический кружок?
Решение.
Введём обозначения: А – множество учеников, членов математического кружка; В – мн-во учеников, членов физического кружка; С – мн-во учеников, которые не посещают ни один кружок. Тогда на диаграммах Лобанова получим результат:
Из диаграмм видно, что и математический, и физический кружок посещают 6 учащихся, а только математический – 14 учащихся.
Задача 8.27.
В забегаловке «Макдоналдс» собрались 8 мужчин. Двое из них хоккеисты, трое – настоящие мужчины (отслужили в армии). Известно, что «в хоккей играют настоящие мужчины, трус не играет в хоккей». В этой компании Сахарович не играет в хоккей. Определить, является ли Сахарович настоящим мужчиной.
Решение.
Введём следующие обозначения:
M – хоккеисты,
X – настоящие мужчины,
Y – Сахарович,
U – универсум(8 мужчин)
Из диаграмм Лобанова видно, что P(Ayx) = 1/6, P(Exy) = 5/6.
Таким образом, с вероятностью 5/6 можно утвеждать, что Сахарович – трус, т.е. ненастоящий мужчина.
Базовые силлогизмы.
Создавая формальную логику, Аристотель надеялся все задачи силлогистики решить с помощью фигур и модусов. Френсис Бэкон уже 400 лет тому назад понял, что это тупиковый путь. Для современных математиков и логиков такая простая истина недоступна.
Порецкий П.С.[45] указал правильное направление в решении поставленной задачи. Однако для искусственного интеллекта (ИИ) классические интегрированные заключения не имеют смысла [37]. А всё-таки хотелось бы дать готовые шаблоны решения всех силлогизмов. Попробуем это сделать.
Силлогизм вида M = AmxAmy.
M = AmxAmy. Универсум n>(x+y), x
Определим вероятности заключений Axy и Ixy, для чего вначале посчитаем количество возможных вариантов для обще- и частноутвердительных суждений k(Amy), k(Axy), k(Ixy). Будем записывать число сочетаний из m элементов по n в виде C(m,n). Тогда получим:
k(Amy) = C(n-m,y-m),
k(Axy) = C(n-x, y-x),
k(Ixy) = k(Amy) - k(Axy).
Искомые вероятности определим из соотношений:
P(Axy) = k(Axy)/k(Amy), P(Ixy) = k(Ixy)/k(Amy) = 1-P(Axy).
Для заданных значений терминов-множеств получим:
P(Axy) = C(5,1)/C(6,2) = 5/15 = 1/3,
P(Ixy) =[C(6,2)-C(5,1)]/C(6,2) = 10/15 = 2/3.
M = AmxAmy. Универсум n=(x+m), x
В этом случае имеем:
P(Axy) = C(n-x,y-x)/C(n-m,y-m) = C(2,1)/C(3,2) = 2/3,
P(Ax’y) = 1- P(Axy) = 1/3
M = AmxAmy. Универсум n<(x+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m, y-m) = 1/C(2,1) = ½,
P(Ax’y) = 1 – P(x=y) = 1-1/2 = ½.
M = AmxAmy. Универсум n>=(x+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m, y-m) = 1/C(3,1) = 1/3,
P(Ixy) = 1 – P(x=y) = 1-1/3 = 2/3.
Силлогизм вида M = AxmAym.
M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x
P(Axy) = C(m-x,y-x)/C(m,y) = C(2,1)/C(4,3) = 2/4 = 0,5.
P(Ixy) = 1 - P(Axy) = 0,5.
M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x=(x+y).
P(Axy) = C(m-x,y-x)/C(m,y) = C(3,1)/C(5,3) = 3/10 = 0,3.
P(Exy) = C(m-x,y)/C(m,y) = C(3,3)/C(5,3) = 1/10 = 0,1.
P(Ixy) = 1 - P(Axy) - P(Exy) = 1 - 0,3 - 0,1 = 0,6.
M = AxmAym. Универсум n>=(m+1), x=y, m<(x+y).
P(x=y) = 1/C(m,y) = 1/C(3,2) = 1/3.
P(Ixy) = 1 – P(x=y) = 1 – 1/3 = 2/3.
M = AxmAym. Универсум n>(m+1), x=y, m>=(x+y).
P(x=y) = 1/C(m,y) = 1/C(4,2) = 1/6.
P(Exy) = C(m-x,y)/C(m,y) = C(4-2,2)/C(4,2) = 1/6.
P(Ixy) = 1 – P(x=y) – P(Exy) = 1-1/6-1/6 = 2/3.
Силлогизм вида M = ExmEym.
M = ExmEym. Универсум n>(y+m), x
P(Axy) = C(n-m-x,y-x)/C(n-m,y) = C(2,1)/C(7-2,4) = 2/5 = 0,4.
P(Ixy) = 1 – P(Axy) = 1 – 0,4 = 0,6.
M = ExmEym. Универсум n>=(x+y+m), x
P(Axy) = C(n-m-x,y-x)/C(n-m,y) = C(5,1)/C(8,4) = 5/70 = 1/14.
P(Exy) = C(n-m-x,y) )/C(n-m,y) = C(5,4)/C(8,4) = 5/70 = 1/14.
P(Ixy) = 1 – P(Axy) – P(Exy) = 1 – 1/14 – 1/14 = 6/7.
M = ExmEym. Универсум n>(y+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m,y) = 1/C(4,3) = ¼.
P(Ixy) = 1-1/4 = ¾.
M = ExmEym. Универсум n=(2y+m), x=y.
P(x=y) = 1/C(n-m,y) = 1/C(6,3) = 1/20.
P(Exy) = C(n-m-x,y) )/C(n-m,y) = C(3,3)/C(6,3) = 1/20.
P(Ixy) = 1-1/20-1/20 = 0,9.
Силлогизм вида M = AmxImy.
M = AmxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
P(Ixy) =1.
M = AmxImy. Универсум n>=(x +m), x>y.
P(Ayx) = 2/4 = 0,5.
P(Ixy) = 0,5.
В этом случае определение вероятности в общем виде можно не производить, а возложить эту нудную операцию, никоим образом не связанную с мышлением, на метод Монте-Карло. Кстати, здесь все задачи синтеза базовых силлогизмов можно переложить на ЭВМ, т.е. определять и характер вариантов заключений и их вероятностные оценки.
Силлогизм вида M = AmxImy.
M = AxmImy. Универсум n>=(y+m), x
Получены заключения Axy,Ixy,Exy. Всё остальное выполнит метод Монте-Карло.
M = AxmImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
Получены заключения Ixy,Exy.
Силлогизм вида M = EmxImy.
M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x
Получены заключения Axy,Ixy,Exy.
M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
Получены заключения Ixy,Exy.
M = EmxImy. Универсум n>=(y+m), x
Получены заключения Axy,Ixy.
Силлогизм вида M = ImxImy.
M = ImxImy. Универсум n>=(y+m), x=y.
Получены заключения (x=y),Ixy,Exy.
M = ImxImy. Универсум n>=(y+m), x
Получены заключения Axy,Ixy,Exy.
Для этого случая предлагается алгоритм нахождения вероятностных характеристик полученных заключений.
Алгоритм нахождения вероятностных характеристик для M = ImxImy.
Зафиксировать m = (1,2,3,…m-1,m).
Выбрать Х псевдослучайных чисел из множества U. Проверить выполнение условия Imx. В случае невыполнения этого условия произвести дополнительное извлечение псевдослучайных чисел.
Зафиксировать полученное множество Х.
Выбрать Y псевдослучайных чисел из множества U. Проверить выполнение условия Imy. В случае невыполнения этого условия произвести дополнительное извлечение псевдослучайных чисел.
Зафиксировать полученное множество Y.
Зафиксировать варианты заключений Axy,Ixy,Exy.
Повторить пп. 2-6 10000 раз, каждый раз инкрементируя число Axy,Ixy,Exy, если они проявились в данном варианте испытания.
Найти p(Axy), p(Ixy), p(Exy).
Автор не может утверждать, что исчерпал все базовые силлогизмы, но представлено достаточное количество примеров для того, чтобы все остальные случаи не вызывали затруднений в определении заключений любых силлогизмов и их вероятностных характеристик.
Силлогистика с вероятностными посылками.
Ранее было доказано, что вся силлогистика является вероятностной, поскольку в подавляющем большинстве случаев заключение из двух заданных посылок оказывается многовариантным. Каждый вариант такого заключения имеет определённую вероятность. Алгоритм «Циклон» синтеза такого заключения был изложен выше.
Задача нахождения заключения становится ещё более интересной, если и посылки являются вероятностными.
Задача 8.28.
Известно, что множества M, X, Y и универсум U имеют следующие мощности (количество элементов в множестве) соответственно: m=1, x=2, y=3, u=4. Известно также, что Amx. Соотношение множеств M и Y не задано.
Найти вероятность заключения Axy для посылок AmxAmy.
Решение.
Вначале определим вероятность посылки Amy. Обозначим число сочетаний из m по n как C(m,n). Тогда искомая вероятность составит P(Amy) = C(u-m,y-m)/C(u,y) = C(3,2)/C(4,3) = 3/4 = 0,75.
Теперь в соответствии с алгоритмом "Циклон"[1, c.250] и полученной P(Amy) найдём вероятность заключения Axy для посылок AmxAmy: P(Axy) = 3/4 x 2/3 = 1/2 = 0,5.
Задача 8.29.
Для задачи 8.28 найти вероятность заключения Ax'y.
Решение.
Из условий задачи видно, что заключение Ax'y возможно лишь при второй посылке Emy. Вероятность такой посылки составляет P(Emy) = C(u-m,y)/Cu,y) = C(3,3)/C(4,3) = 1/4 = 0,25.
Поскольку при заданных количественных характеристиках множеств возможны лишь два варианта второй посылки(Amy, Emy), то вероятность искомого заключения составит:
P(Ax'y) = 1/3 x 3/4 + 1 x 1/4 = 1/2 = 0,5.
Результат подтверждается суммой вероятностей P(Axy) + P(Ax'y) = 0,5+0,5 = 1.
В рассмотренных задачах представлен один из простейших случаев с одной вероятностной посылкой. Однако изложенный метод годится и для синтеза заключений с двумя и более вероятностными посылками.
Задача 8.30.
Известны количественные характеристики силлогизма: m=1, x=2, y=3, u=4. Исходные посылки не заданы.
Определить вероятность заключения Axy для всей совокупности исходных посылок.
Решение.
P(Axy)=C(u-x,y-x)/C(u,y)=C(4-2,3-2)/C(4,3) = C(2,1)/C(4,3)=2/4=0,5.
|
