Глава пятая Атомарная силлогистика.
Внимательный анализ силлогизмов приводит к выводу о том, что даже базисы логики здравого смысла не всегда корректно выражают содержание посылок. Проиллюстрируем это следующим силлогизмом [11].
Все солдаты (х) храбрые(m)
Некоторые англичане(y) храбрые(m)
----------------------------------
Некоторые англичане – солдаты
Решение.
Представим 2-ю посылку в русском базисе.
Правомерно ли использование во второй посылке русского базиса? По меньшей мере, допущена некорректность по отношению к англичанам (Y2 соответствуе суждению «Все трусы – англичане») и нарушена достоверность посылки. Исходя из скалярной диаграммы для Imy(2) и полагая универсумом все человечество, приходим к выводу, что возможны ситуации, когда все трусы - англичане. Это несправедливо. Правильным в этом случае будет использование базиса Васильева. Рассмотрим посылку, которая не вписывается ни в один из базисов. Суждение "Все люди (х) смертны (у)" при условии, что универсумом являются живые существа, описывается следующей формулой: Axy = y. Посылка "Ни один живой человек(x) не есть труп(y)" также имеет нестандартное аналитическое представление: Exy = xy'+x'y. Многообразие базисов приводит к мысли о том, что разумнее иметь некий элементарный базис, на основе которого можно как из кирпичиков (атомов) строить описание любой посылки. Автор предлагает следующий "атомарный" базис.
Все Х суть Y.
a)
Иллюстрация: "Все квадраты(x) суть прямоугольники(y)".В данном случае универсум - параллелограммы.
b)
Иллюстрация: "Все люди(x) смертны(y)" при условии, что универсум – смертные существа.
Ни один X не есть Y.
a)
Иллюстрация: "Ни один круг(x) не есть квадрат(y)" Универсум(U) - геометрические фигуры.
b)
Иллюстрация: "Ни один живой (х) не есть труп (у)"
Некоторые X суть Y.
a)
Иллюстрация: " Некоторые студенты (х) отличники (у)". U – учащиеся.
b)
Иллюстрация: «Некоторые люди (х) неграмотны (у)». Универсум – смертные существа.
На основе атомарного базиса может быть построен любой другой. Например, функтор Ixy(2) представляет собой объединение Ixy(a), Ixy(b). Функтор Axy(3) является комбинацией функторов Axy(a), Axy(c). Все эти объединения легко выполняются с помощью скалярных диаграмм. Для фиксации и компактного описания введём операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда вышеприведенные словесные описания могут быть представлены в виде следующих выражений.
Ixy(2) = Ixy(a) || Ixy(b)
Axy(3) = Axy(a) || (x=y)
Можно ли сделать атомарный базис более компактным, более элементарным? Да, безусловно. Необходимо произвести следующие замены.
Axy(b) = Axy(a)Ax'y(a);
Axy(с) = (y=x) – равнозначность;
Exy(a) = Axy'(a);
Exy(b) = (y=x') – неравнозначность, инверсия;
Ixy(b) = Ax'y(a)&Ay’x(a).
Таким образом, элементарный атомарный базис в качестве фундамента имеет всего лишь два силлогистических функтора:
Axy = x'+y,
Ixy = x+y+x'y' = 1
Опишем на основе этих формул все базисы здравого смысла и базис Аристотеля.
Русский базис.
Axy(2) = Axy = x'+y
Exy(2) = Axy' = x'+y'
Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ix’y' = x+y+i
Базис Васильева.
Axy(8) = Axy = x'+y
Exy(8) = Axy' = x'+y'
Ixy(8) = Ixy = x+y+x'y' = 1
Базис Аристотеля-Жергонна.
Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y = xy+x'y'+iy
Exy(3) = Axy' = x'+y'
Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+i
Oxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = xy’+I = Ixy'(3)
Для синтеза силлогизмов в атомарном базисе пригодны все разработанные автором алгоритмы: «Осташ», «ИЭИ», «ТВАТ». Самым простым и надёжным является графический алгоритм «ТВАТ».
Пример 1.
Все люди(m) смертны (х)
Некоторые люди(m) неграмотны (у)
_______________________________
Найти f(x,y)
Решение.
В данном случае универсум – существа.
M = Amx(b)Imy(b) = x(m+y) = xm+xy
f(x,y) = xy+x = x = Ayx(b)
Число в скобках (индекс) указывает вариант базиса. Базис заключения может быть не только атомарным, но и смешанным (русский, общеразговорный, Аристотеля и т.д.). Базис посылок, как правило, должен быть атомарным. Рассмотрим синтез соритов, т.е. многопосылочных силлогизмов. Никаких проблем здесь не существует, если логик хорошо знает карту Карно или метод обобщенных кодов для минимизации логических функций[13,14]. При числе посылок более 10 разумнее использовать программы минимизации на основе метода обобщённых кодов Мавренкова для любого ПК.
Пример 2.
Пусть в атомарном базисе в варианте «a» задан сорит из 6 посылок:
M = AabAbcAcdAdeAexExy = (ab')'(bc')'(cd')'(de')'(ex')'(xy)'.Найти заключения для различных комбинаций аргументов.
Решение.
Перемножать все эти функторы слишком утомительно. Инженерная логика в таких ситуациях использует формулу Моргана и работает с M'.
M' = ab'+bc'+cd'+de'+ex'+xy.
Заполнив карту Карно на 7 переменных для М', сразу из нее получим выражение для М:
M = a'b'c'd'(e'x'+xy') + dexy'(a'b'+bc).
Отсюда можем получить заключение для любых аргументов. Вся операция занимает не более 5 мин при условии, что под рукой бланки карт Карно на 6-8 переменных. Однако не мешает проверить истинность полученного для М выражения. Делается это просто: нужно вывести из М все исходные посылки. Для чего нужно просто заменить на логическую единицу все «лишние» переменные. Например, для M(a,b) получим:
M(a,b) = a’b’+a’b’+b = a’+b = Aab, что точно соответствует первой посылке заданного сорита. Остальные посылки читатель может проверить самостоятельно.
Аналогично могут быть получены заключения(функции) для любых других аргументов. Это метод Порецкого и здесь он намного превзошёл Кэрролла, который из каждого сорита мог вывести лишь одно заключение.
М(a,y) = a’+a’y’+y’a’+y’ = a’+y’ = Eay
М(a,x) = a’x’+a’x+xa’+x = a’+x = Aax
М(b,d) = b’d’+db’+db = b’+d = Abd и т.д.
Все заключения получены в атомарном базисе (вариант «а»).
Пример 3.
Пусть первые 5 посылок сорита заданы в атомарном базисе, а шестая – в русском.
M = AabAbcAcdAdeAexIxy
Найти заключение f(a,y).
Решение.
Используя решение предыдущего примера для М(a,x),получим:
M = AabAbcAcdAdeAexIxy = AaxIxy = (a'+x)(x+y+ix'y') =x+a'y+ia'x'y'
M(a,y) = a’y+I = Ia’y(3).
Заключение получено в 3-м (Аристотелевом) базисе. Скалярные диаграммы подтверждают полученные результаты.
Пример 4.
Все добрые люди – честные
Все недобрые люди – агрессивные
Найти заключение f(x,y).
Решение.
Добрые люди – m.
Честные люди – x.
Агрессивные люди – y.
Люди – универсум U
По алгоритму «ИЭИ»
M = AmxAm’y = (m’+x)(m+y) = mx+m’y.
F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax’y = Ay’x.
F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax’y = Ay’x, т.е. результаты всех методов синтеза совпали.
Пример 5.
На конференциях, семинарах и лекциях я часто подбрасывал слушателям силлогизм:
Все люди(m) смертны(x).
Некоторые люди(m) неграмотны(y).
------------------------------------------
Некоторые смертные неграмотны.
Я заранее предупреждал испытуемых, что все их попытки решения задачи обречены на провал. "Корифеи" возмущались, но справиться с силлогизмом не смог никто. Это в принципе невозможно без знания Русской логики. Она дисциплинирует мышление, заставляет конкретизировать посылки, вкладывая строго определённый смысл в каждый термин, требует чёткого определения универсума. По канонам классической логики заключение должно выглядеть так: Некоторые смертные неграмотны". На самом деле здесь возможны несколько вариантов решения в зависимости от универсума и конкретного наполнения терминов, почему и не может решить силлогизм ни один академик. Одно из возможных заключений имеет вид:
Все неграмотные смертны.
Это вопиюще противоречит законам классической логики, но вполне согласуется со здравым смыслом, если мы в качестве универсума примем множество смертных и бессмертных существ и будем считать всех животных неграмотными, а богов - грамотными.
5.1. Практикум по силлогистике.
В своей книге “Логика для студентов” О. А. Солодухин приводит большое количество задач. Это первый гуманитарий, который пытается привлечь математику для анализа силлогизмов. Проверим эти задачи алгоритмами ИЭИ и ТВАТ.
В дальнейшем все примеры будут построены на базисе Васильева, поскольку именно он более всего отражает логику здравого смысла. Напомним, что этот базис имеет следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y
Exy = x'+y'
Ixy(8) = x+y+x'y' = 1, где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения, а апостроф означает отрицание.
Силлогизмы с четырьмя терминами .
Рассмотрим популярный пример силлогизма с четырьмя терминами и докажем его корректность.
Пример.
Сахар(m) сладкий(x).
Все дети(y) любят(z) сахар(m).
-------------------------------
Все дети любят сладкое.
Решение.
На основании алгоритма ИЭИ получим следующее выражение для полной единицы системы:
M = AmxAy(zm) = (m’+x)(y’+mz) = m’y’+xy’+mxz.
F(x,y,z) = M(x,y,z) = y’+xy’+xz = y’+xz = Ay(xz), т.е. «Все дети любят сладкое», ч.т.д. Однако ребёнок может любить сладкий сахар и не любить сладких конфет, так что заключение не бесспорно.
Мы убедились в том, что силлогизмы могут содержать более 3-х терминов, и нашли способ анализа таких силлогизмов.
Следующие задачи созданы Кэрроллом[11].
Задача 1[11]
Только философы эгоисты.
Нет циника, который не был бы эгоистом.
Следовательно, все циники – философы.
Решение.
Пусть x – философы, y – циники, m – эгоисты. Универсум – люди. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = AmxAym = (m’+x)(y’+m) = m’y’+xy’+mx
F(x,y) = y’+x = Ayx, т.е. наш результат подтвердил истинность заключения.
Проверим решение по алгоритму ТВАТ.
F(x,y) = y’+x = Ayx, т.е. результаты по алгоритмам ИЭИ и ТВАТ совпали.
Задача 2[11]
Лишь глупые люди верят в конец света.
Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.
Всегда найдётся глупец, который не верит в гармонию мира.
Решение.
Пусть х – глупые люди, m – верящие в конец света, у – верящие в гармонию мира. Универсум – люди.
M = AmxEym = (m’+x)(y’+m’) = m’+xy’
f(x,y) = xy’+i = Ixy’(3)
F(x,y) = xy’+i = Ixy’(3).
Если трактовать заключение как “Все глупцы не верят в гармонию мира”, то такой вывод ошибочен.
Задача 3[11]
Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.
Никто, ни один Человек не верит политикам.
Все, кто верит политикам, не верит в себя.
Решение.
Пусть х – кто верит в себя, m – Человек, у – кто верит политикам. Универсум – люди.
M = (x m)Emy = (xm+x’m’)(m’+y’) = x’m’+xmy’
f(x,y) = x’+y’ = Exy.
Задача 4[11,стр.151]
Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.
Только 12% членов парламента составляют юристы.
Не все, кто создают законы, являются юристами.
Решение.
Пусть x – законотворцы, m – члены парламента, y – юристы. Универсум – люди.
M = AmxImy(8) = (m’+x)&1 = m’+x
F(x,y) = x+i = Ixy(5).
F(x,y) = x+i = Ixy(5), т.е. алгоритмы ИЭИ и ТВАТ дали одинаковые результаты, формально не подтверждающие заключение Кэрролла, поскольку в нём не указан базис.
Задача 5[11]
Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.
Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
Некоторые юристы не опасаются инфляции.
Решение.
Пусть x – юристы, m – бизнесмены, y – не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум – люди.
M = IxmAmy = 1*(m’+y) = m’+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7).
Опять формальное несовпадение исходного заключения с полученными результатами, поскольку в заключении не указан базис. По умолчанию в классической логике используется базис Аристотеля, т.е. 3-й базис.
Задача 6[11]
Только политики верят в пользу насилия.
Не всякий любитель насилия любит собственных детей.
Некоторые политики не любят своих детей.
Решение.
Пусть x – политики, m – любители насилия, y – не любящие своих детей родители. Универсум – люди.
M = AmxImy(8) = (m’+x)&1 = m’+x
F(x,y) = x+i = Ixy(5)
Опять формальное несовпадение результатов с исходным заключением Кэрролла.
Задача 7[11]
Только в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.
Решение.
Пусть x – “родители истины”, m – спорщики, y – глупец или мошенник. Универсум – люди.
M = AxmAmy = (x’+m)(m’+y) = m’x’+x’y+my
F(x,y) = x’+y = Axy.
Задача 8[11,стр.151]
Боязливый к прекрасному полу – боязлив и в жизни.
Тот, кто знает логику, не боится женщин.
Трус не разбирается в логике.
Решение.
Пусть x – боязливый в жизни, m – боящийся женщин, y – знающий логику. Универсум – мужчины.
M = AmxEym = (m’+x)(y’+m’) = m’+xy’,
F(x,y) = xy’+i = Ixy’(3).
В данном случае исходное заключение кардинально ошибочно. Должно быть в 3-м базисе: «Некоторые трусы не разбираются в логике».
Задача 9[11]
Среди болтунов нет логиков.
Только болтун может стать политиком.
Ни один логик не станет политиком.
Решение.
Пусть x – логик, m – болтун, y – политик. Универсум – люди.
M = EmxAym = (m’+x’)(y’+m) = m’y’+x’y’+mx’
F(x,y) = x’+y’ = Exy.
Задача 10[11]
Иногда проходимец может оказаться ясновидцем.
Если ты ясновидец, то не должен лгать.
Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.
Решение.
Пусть x – проходимец, m – ясновидец, y – честный. Универсум – люди.
M = IxmAmy = 1&(m’+y) = m’+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7)
Опять Кэрролл получил заключение в 3-м базисе, а должно быть в 7-м.
Задача 11[1,стр.152]
Лишь двоечник по убеждению – лентяй.
Ни один студент не любит получать двойки.
Значит, среди студентов нет лентяев.
Решение.
Пусть x – лентяй, m – двоечник, y – студент. Универсум – учащиеся.
M = AxmEym = (x’+m)(y’+m’) = x’y’+my’+m’x’
F(x,y) = x’+y’ = Exy.
Задача 12[11]
Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.
Только демократическое государство может быть правовым.
Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.
Решение.
Пусть x – реализующее права граждан государство, m – правовое государство, y – демократическое государство. Универсум – государство.
M = AxmAmy = (x’+m)(m’+y) = m’x’+x’y+my = m’x’+my
F(x,y) = x’+y = Axy.
Особый класс рассуждений составляют логические конструкции, в которых вместо связки «есть» («суть») используется любой другой глагол. В книге Вагина В.Н. «Дедукция и обобщение в системах принятия решений» – М.: Наука, 1988 на стр.44 приводится пример 2.18:
Некоторые студенты(m) любят(z) всех преподавателей(x).
Ни один студент(m) не любит(z) ни одного невежду(y).
Следовательно, ни один преподаватель не является невеждой.
Этот силлогизм (?!) якобы анализируется с помощью “кванторного исчисления”, которое ничего кроме мнемоники собой не представляет. На двух страницах приводится “доказательство” истинности заключения. Однако 5 минут здравого размышления дают совершенно иной ответ. Поэтому проверим результат с позиций Русской логики.
Вариант 1.
Не очень обоснованно, но будем считать глагол “любить” эквивалентом обычной связки “есть”. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = ImxEmy = m’+y’.
F(x,y) = y’+i = Ixy’(7).
Поскольку обоснованность замены глагола “любить” связкой “есть” весьма сомнительна, то проверим заключение по варианту 2.
Вариант 2.
Учтём глагол «любить» как ещё одну логическую переменную z. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:
M = Im(zx)Em(zy) = m’+(zy)’ = m’+z’+y’.
F(x,y) = i+i+y’ = y’+i = Ixy’(7), т.е. “Некоторые преподаватели – не невежды”, что и требовалось доказать.
Задача 13
В книге Федора Сергеевича Сельского “Пять рассказов о философах” (Тюмень, 1998) пятый заключительный рассказ открывается личным воспоминанием автора о том, как им, первокурсникам философского отделения, молодой и талантливый преподаватель логики доказал, что без логики нет счастья, построив “немудрящий силлогизм”:
“Без знания нет счастья.
Логика дает знания.
Следовательно, без логики нет счастья.
Силлогизм нас сразил. Удивительно, но факт: я до сих пор нахожусь под обаянием этого простенького умозаключения и убежден, что логика необходима для счастья ” (с. 33), – признается Ф.С.Сельский. И напрасно. Это характеризует всеобщую логическую безграмотность и бестолковость.
Решение.
Пусть m – обладающий знанием, x – счастливый, y – знающий логику. Универсум – человечество. Поскольку в этом случае посылки трудно записать сразу в кванторной форме, то используем импликативное представление.
M = (m’ x’)(y m) = (x’+m)(y’+m) = AxmAym = m+x’y’.
В этом случае при определённых количественных характеристиках можно получить три варианта заключений: Axy, Exy, Ixy. Обобщённое заключение может выглядеть так: f(x,y) = M(x,y) = x’y’+i = Ix’y’ в третьем базисе, т.е. “Некоторые из тех, для кого недоступно счастье, не изучают логику”. Но такое интегрированное заключение никому не интересно: нужно знать все варианты заключений и их вероятности.
Силлогизм имел бы единственное заключение при следующих посылках:
Без знания(m) нет счастья(x).
Без логики(y) нет знания(m).
Следовательно, без логики нет счастья.
M = (m’ x’)(y’ m’) = (x’+m)(m’+y) = AxmAmy = m’x’+my.
F(x,y) = x’+y = Axy, т.е. «Все счастливые знают логику», или «Без логики нет счастья», или «Все, не знающие логику, несчастливы».
5.2. Практикум по решению соритов.
Сорит – это умозаключение, в котором из нескольких посылок выводится, как правило, одно заключение. Посылки в сорите, за редчайшим исключением, являются общеутвердительными или общеотрицательными. На самом деле реально посылки могут быть как общего, так и частного характера. Но самое главное, что заключений в сорите может быть огромное количество. Оно определяется как число сочетаний из числа посылок по 2, т.е.
K = С(n, 2) = n(n-1)/2, где
К – число заключений, n – число терминов в посылках. Количество абсолютно новых заключений меньше К на число исходных посылок. Если же рассматривать искомые заключения, как функции от трёх и более переменных, то К значительно возрастает. Однако при этом теряется прозрачность полученных результатов. Алгоритм «Осташков» для решения соритов достаточно прост. Он является следствием из алгоритмов «ИЭИ» (синтез силлогизмов) и «Селигер» (решение логических уравнений) [25]. Аббревиатуры СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) и МДНФ (минимальная дизъюнктивная нормальная форма) являются традиционными в классической логике, поэтому не требуют пояснений.
Алгоритм «Осташков» синтеза соритов.
1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы М.
3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы М.
4. Получить из М все заключения сорита как функции от двух заданных переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные.
5. Представить результаты в виде скалярных диаграмм.
Пример 1.
«Энциклопедия - Россия-Он-Лайн» излагает пример решения сорита классическим методом. Далее это решение приводится в виде текста, выделенного курсивом.
Алгебра множеств является подразделом булевых алгебр,
впервые возникших в трудах Дж. Буля (1815–1864). В аксиомах булевой алгебры
отражена аналогия между понятиями «множества», «событие» и «высказывания».
Логические высказывания можно записать с помощью множеств и
проанализировать с помощью булевой алгебры.
Даже не вдаваясь в детальное изучение законов булевой алгебры, мы можем
получить представление о том, как она используется на примере одной из
логических задач Льюиса Кэрролла. Пусть у нас имеется некоторый набор
утверждений:
1. Не бывает котенка, который любит рыбу и которого нельзя научить всяким
забавным штукам;
2. Не бывает котенка без хвоста, который будет играть с гориллой;
3. Котята с усами всегда любят рыбу;
4. Не бывает котенка с зелеными глазами, которого можно научить забавным
штукам;
5. Не бывает котят с хвостами, но без усов.
Какое заключение можно вывести из этих утверждений?
Рассмотрим следующие множества (универсальное множество I включает в себя всех котят):
A – котята, любящие рыбу; B – котята, обучаемые забавным
штукам; D – котята с хвостами; E – котята, которые будут играть с
гориллой; F – котята с зелеными глазами и G – котята с усами. Первое
утверждение гласит, что множество котят, которые любят рыбу, и дополнение
множества котят, обучаемых забавным штукам, не имеют общих элементов.
Символически это записывается как
1. AC(B) = O.
Аналогичным образом остальные утверждения можно записать так:
2. C(D)E = O;
3. G М A;
4. BF = O;
5. D М G.
Принимая во внимание теоретико-множественный смысл символов (или
воспользовавшись законами булевой алгебры), мы можем переписать
утверждения 1, 2 и 4 в виде
1. A М B;
2. E М D;
4. B М C(F).
Таким образом, мы переформулировали исходные утверждения в следующие:
1. Котят, которые любят рыбу, можно обучить забавным штукам;
2. У котят, которые будут играть с гориллой, есть хвосты;
4. У котят, которых можно обучить забавным штукам, глаза не зеленые;
Теперь можно расположить символические записи утверждений в таком порядке,
чтобы последний символ предыдущего утверждения совпадал с первым символом
следующего (этому условию удовлетворяет расположение утверждений в порядке 2, 5, 3, 1, 4). Возникает цепочка включений E М D М G М A М B М C(F), из
которой можно сделать вывод, что E М C(F) или «Не бывает котенка с
зелеными глазами, который будет играть с гориллой». Такое заключение едва
ли очевидно, если рассматривать пять исходных утверждений в их словесной
формулировке.
Как несложно убедиться, классическая логика при синтезе соритов громоздка и однобока (даёт одно единственное заключение). Решим этот сорит в соответствии с алгоритмом «Осташков». Используем все обозначения и универсум из цитируемой энциклопедии.
Тогда наши посылки будут описаны с помощью силлогистических функторов следующим образом:
Aab.
Aed.
Aga.
Ebf.
Adg.
Для перевода мнемонических записей на язык математики воспользуемся Руской логикой[26]: Axy = x’+y; Exy = x’+y’; Ixy(8) = 1. Здесь и далее во всех аналитических выражениях апостроф представляет инверсию аргумента или функции. Переходим к выполнению алгоритма “Осташков”. Вначале находим полную единицу системы М как логическое произведение всех исходных посылок.
M = AabAedAgaEbfAdg = (a’+b)(e’+d)(g’+a)(b’+f’)(d’+g).
Поскольку перемножать 5 двучленов утомительно, то переходим к M’ с помощью правила Де Моргана:
M’ = ab’+d’e+a’g+bf+dg’
2 и 3. После заполнения карты Карно и проведения минимизации[13] получим:
M = a’b’d’e’g’+bd’e’f’g’+abd’e’f’+abdf’g
4. Перебирая все комбинации из шести переменных по 2 получим 15 заключений:
f1(a,b) = a’b’+b+ab+ab = a’+b = Aab;(Все котята-“рыболюбы” обучаются забавным штукам)
f2(a,d) = a’d’+d’+ad’+ad = a+d’ = Ada;(Все котята с хвостами любят рыбу)
f3(a,e) = a’e’+e’+ae’+a = a+e’ = Aea;(Все играющие с гориллой любят рыбу)
f4(a,f) = a’+f’+af’+af’ = a’+f’ = Eaf;(Все зеленоглазые не любят рыбу)
f5(a,g) = a’g’+g’+a+ag = a+g’ = Aga;(Все усатые любят рыбу)
f6(b,d) = b+d’ = Adb;(Все хвостатые обучаются забавным штукам)
f7(b,e) = b+e’ = Aeb;(Все играющие с гориллой обучаются забавным штукам)
f8(b,f) = b’+f’ = Ebf;(Зеленоглазые не обучаются забавным штукам)
f9(b,g) = b+g’ = Agb;(Все усатые обучаются забавным штукам)
f10(d,e) = e’+d = Aed;(Все играющие с гориллой имеют хвосты)
f11(d,f) = d’+f’ = Edf;(Все зеленоглазые – бесхвостые)
f12(d,g) = d’+g = Adg;(Все хвостатые – с усами)
f13(e,f) = e’+f’ = Eef;(Зеленоглазые не будут играть с гориллой)
f14(e,g) = e’+g = Aeg;(Все играющие с гориллой имеют усы)
f15(f,g) = g’+f’ = Efg.(Зеленоглазые – без усов).
Поскольку универсум – котята, то во всех заключениях речь идёт только о них.
Отобразим исходные посылки на скалярных диаграммах в таком порядке: AabAgaAdgAedEbf. Из диаграмм легко получаются все 15 заключений.
Для разнообразия построим ещё одно заключение в виде функции от трёх переменных.
f16(a,b,d) = a’b’d’+bd’+abd’+abd = a’d’+ab =(a+d)’+ab = A(a+d)(ab), т.е. “Все рыболюбы или обучаемые забавным штукам суть хвостатые рыболюбы”. Такое заключение подтверждается и скалярными диаграммами. Кстати, диаграммы дают более разнообразные заключения. Кроме полученного из М аналитически f16(a,b,d) из диаграмм можно вывести заключение f17(a,b,d) = A(ad)b и т.д.
Из анализа результатов можно сделать следующие выводы:
Полученные функции f1(a, b),f5(a, g),f8(b, f),f10(d, e),f12(d, g) соответствуют исходным посылкам 1,3,4,2,5, что подтверждает правильность результатов синтеза.
Даже все синтезированные заключения не дают наглядного представления о взаимном соотношении множеств a,b,d,e,f,g. С этой задачей могут справиться лишь скалярные диаграммы.
Рассмотренный пример чрезвычайно прост. Такой примитивностью грешат все сориты (по определению), поскольку они представляют «цепочки» вложенных друг в друга посылок, когда из одной посылки легко выводится другая.
Попробуем решить более сложную задачу, когда посылки не укладываются в прокрустово ложе традиционного сорита.
Пример 2.
Пусть заданы 4 суждения: Aa’c, Aa’d, Ab’c, Ab’d. Если исходные посылки из предыдущего примера можно было сразу представить в виде скалярных диаграмм и тем самым получить готовое решение сорита, то в данном примере так не получится. Решение по алгоритму «Осташков» выглядит следующим образом.
M = Aa’c Aa’d Ab’c Ab’d = (a+c)(a+d)(b+c)(b+d).
M’ = a’c’+a’d’+b’c’+b’d’.
После занесения в карту Карно и минимизации получим:
M = ab+cd.
f1(a,b) = ab+1 = 1 = Iab(8);
f2(a,c) = a+c = Aa’c;
f3(a,d) = a+d = Aa’d;
f4(b,c) = b+c = Ab’c;
f5(b,d) = b+d = Ab’d;
f6(c,d) = 1+cd = 1 = Icd(8).
Полученные функции f2 – f5 совпали с исходными посылками, что подтвердило корректность синтеза, но впредь лишнюю работу делать не обязательно: можно было построить лишь f1, f6. Пример 2 впервые показывает, что заключение сорита может быть частноутвердительным. По результатам синтеза построим скалярные диаграммы. Поскольку такой процесс эвристического построения несколько затруднителен, то предлагается использовать с этой целью сокращённую таблицу истинности для М и формализовать синтез скалярных диаграмм.
Как несложно догадаться, скалярные диаграммы представляют собой двоичные коды рабочих наборов полной единицы системы М.
Иногда возникает задача восстановить по известной полной единице системы М исходные посылки. Алгоритм разложения логического уравнения на исходные посылки прост.
Алгоритм графического нахождения исходных посылок.
1. Построить сокращённую таблицу истинности для М.
2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы.
3. Из скалярных диаграмм выбрать C(N,2) логических функций от двух переменных, где N – число аргументов, а C(N,2) – число сочетаний из N по 2.
Пример 3.
В задаче Порецкого о птицах получена полная единица системы:
M = sy+gx’. Найти минимальное количество возможных посылок.
Построим сокращённую таблицу истинности для М.
По полученной таблице истинности нарисуем скалярные диаграммы.
По скалярным диаграммам выберем наиболее простые логические функции от двух переменных:
f1(g,s) = g+s = Ag’s;
f2(g,y) = g+y = Ag’y;
f3(s,x) = s+x’ = Axs;
f4(y,x) = x’+y = Axy.
После перемножения полученных посылок определим M:
M = (g+s)(g+y)(x’+s)(x’+y) = (g+sy)(x’+sy) = sy+gx’, что совпадает с исходными данными. Кстати, у Порецкого вместо 4-х посылок использованы 5. Т.е. для описания логической системы от n переменных достаточно n двухаргументных посылок. Однако это одно из возможных решений задачи: в результате мы можем получить f5(g,x) = Egx. Поэтому правильным решением будет полный перебор всех двухаргументных посылок. Из М следует, что f5(g,x) = 1 = Ixy(8), но никак не Egx.
Алгоритм аналитического отыскания исходных посылок.
По заданной полной единице системы построить C(N,2) посылок сорита как функций от двух переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные. Здесь N – число аргументов.
Проверить полученные результаты логическим перемножением посылок и сравнением
с заданной полной единицей системы.
Пример 4.
Пусть задано M = m’+xy. Найти исходные посылки.
f1(m, x) = m’+x = Amx;
f2(m, y) = m’+y = Amy.
M = (m’+x)(m’+y) = m’+xy, что и требовалось доказать. Однако данный пример не так прост, как кажется на первый взгляд. Здесь кроется подвох, связанный с отысканием f3(x,y). Поэтому из М находим третью посылку f3(x,y) = 1 = Ixy(8). Именно эти три посылки однозначно определяют всю систему М.
При графическом методе по заданной М нужно построить таблицу истинности, а по ней нарисовать скалярные диаграммы.
Из скалярной диаграммы видно, что на самом деле M = AmxAmyIxy(8). Если не использовать графический алгоритм поиска посылок, то можно было бы получить f3(x,y) = Axy, f4(x,y) = Ayx и т.д.
Пример 5
Если Бог существует, то он всемогущ и всеблаг. Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его (зло существует на Земле). Если Бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если Бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Вывести все возможные заключения.
Решение.
X – Бог всемогущ,
Y – Бог всеблаг,
Z – Бог существует,
U – зло существует,
V – Бог бессилен против зла,
W – Бог желает предотвратить зло.
Рассматривая эту задачу в разделе «Логика суждений», мы пришли к выводу о невозможности существования Бога (при условии, что все посылки корректны). Однако, этот вывод далеко не единственный из заданных посылок. Чтобы найти все 15 двухаргументных заключения, необходимо вначале получить полную единицу системы:
M = (z xy)u(u (v+w’))(x v’)(y w) =
= (z’+xy)u(u’+v+w’)(x’+v’)(y’+w).
Чтобы не перемножать все посылки, воспользуемся формулой де Моргана.
M’ = z(x’+y’)+u’+uv’w+xv+yw’.
После занесения нулей в карту Карно в соответствии с M’ и заполнения оставшихся пустыми клеток карты Карно единицами получим в результате минимизации:
M = x’y’z’uv + y’z’uv’w’ + x’z’uvw.
Из М выведем все двухаргументные заключения:
F1(x,y) = x’y’+y’+x’ = x’+y’ = Exy;
F2(x,z) = x’z’+z’ = z’;
F3((x,u) = x’u+u = u;
F4(x,v) = x’v+v’ = x’+v’ = Exv;
F5(x,w) = x’+w+x’w = x’+w’ = Exw;
F6(y,z) = z’;
F7(y,u) = y’u+u = u;
F8(y,v) = y’v+y’v’+v = y’+v = Ayv;
F9(y,w) = y’+y’w’+w y’+w Ayw;
F10(z,u) = z’u = (Auz)’, т.е. «Неверно, что всё зло от Бога»;
F11(z,v) = z’v+z’v’+z’v = z’;
F12(z,w) = z’+z’w’+z’w = z’;
F13(u,v) = uv+uv’+uv = u;
F14(u,w) = u+uw’+uw = u;
F15(v,w) = v+v’w’+vw = v+w’ = Awv.
Пример 6.
Дано: M = A(a+b)c & A(c+d)e.
Найти все незаданные логические функции от двух переменных.
Решение.
M = A(a+b)c & A(c+d)e = (a’b’+c)(c’d’+e) = a’b’c’d’+a’b’e+ce.
Отсюда легко могут быть получены все функции от двух переменных (см. алгоритм «Осташков» и работу Порецкого [45]). Однако в таком решении нет наглядности, оно непрозрачно. Поэтому построим таблицу истинности, а по ней –скалярные диаграммы Лобанова.
Из диаграмм видны все соотношения между множествами (логическими переменными a – e). Но для восстановления полной единицы системы достаточно 5 посылок: M = (a’+c)(b’+c)(c’+e)(d’+e)(a’+e) = a’b’c’d’+a’b’e+ce.
Пример 7.
Это задача Акимова О.Е. [1, №24, с.58]. Вот её текст.
Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объёма. Увеличение объёма приводит к росту скорости потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов рассудил так: «Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объём и температуру».
Автор утверждает, что истинным утверждением является такое: «Уменьшение температуры и увеличение давления ведут к уменьшению объёма».
Решение.
Введём обозначения:
a – уменьшение температуры.
b – снижение давления.
c – уменьшение объёма.
d – снижение скорости.
e – падение уровня.
По алгоритму «Импульс» получим следующее решение.
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (a’c’→b’d) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a+ c + b’d = c’d’+a+c+b’d ≠ 1, т.е. технолог Иванов ошибается.
Чтобы проверить Акимова О.Е. [1,с.64], заменим правую часть нашего выражения:
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (a’b→c) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a+b’+ +c = c’d’+a+b’+c ≠ 1, т.е. автор примера не прав. Однако, это, скорее всего опечатка Акимова, поскольку словесная формулировка заключения переводится на язык логики иначе: (ab’→c).
В этом случае заключение по алгоритму «Импульс» получается достоверным:
(a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) → (ab’→c) = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d+a’+b+ +c = 1.
Но не будем торопиться с выводами. Проверим решение задачи с помощью алгоритма «Осташков». Полная единица системы выглядит так:
M = (a→bc)(c’→d’)(b’a→e)(d→(b+a’)) = (a’+bc)(c+d’)(b+a’+e)(d’+b+a’).
Перемножать все эти выражения в скобках утомительно – воспользуемся формулой де Моргана:
M’ = a(b’+c’)+c’d+ab’e’+ab’d = ab’+ac’+c’d.
Занесём M’ нулями в карту Карно – получим в результате:
M = a’(c+d’)+bc.
Найдём заключение в виде f(a,b,c) = M(a,b,c) = a’c+a’+bc = a’+bc = a→bc. Для проверки этого абсолютно правильного и единственного заключения представим полную единицу системы в графическом виде.
Посмотрим, возможно ли заключение Акимова в виде (ab’→c), что эквивалентно A(ab’)c. Из диаграмм Лобанова видно, что пересечение множеств ab’ пусто, т.е. исходная посылка ложна. А из ложной посылки можно вывести всё, что угодно. Следовательно, решение Акимова безграмотно. Работа [1] насыщена примерами и задачами, что говорит о высоком профессионализме автора и его любви к математике. Однако, в области математической логики – дремучее невежество и вопиющая безграмотность. Это общая беда всех матлогиков и тем более логиков-гуманитариев.
Какие ещё выводы можно было бы сделать из диаграмм? Ну, например, A(ac)b = ac→b. Как это понимать? Заключение a→bc не единственное? Нет, единственное: просто заключение ac→b вторично, является производным из исходного a→bc. Дело в том, что здесь проявляются импликативные законы.
|
