Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности 050102. 00 «Биология»
Скачать 1.56 Mb.
|
Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность собы-тия иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний: (1.2) где N – общее число опытов, М – число появлений события А. Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью рассматриваемого события. Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. Замечание 1. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности. Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:
Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов. Основные формулы комбинаторики. При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации. Определение 1.10. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп = п! (1.3) Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий? Решение. Р7 = 7! = 2‡3‡4‡5‡6‡7 = 5040. Определение 1.11. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений (1.4) Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек? Решение. Определение 1.12. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний (1.5) Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3: Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности. Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле: (2.1) где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L. Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s: (2.1`) где s – площадь части области, а S – площадь всей области. В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой: (2.1``) где v – объем части тела, а V – объем всего тела. Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него. Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника Следовательно, Теорема сложения вероятностей. Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ). (2.2) Доказательство. Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1): что и требовалось доказать. Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС) (2.3) и т.д. Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А + В) = р(А) + р(В). (2.4) Определение 2.1. Противоположными событиями называют два несовместных события, сумма которых есть достоверное событие. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать . Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло. Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р(А) + р( ) = 1. (2.5) Доказательство. Так как А и образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + является достоверным. Следовательно, Р( А + ) = 1. Но, так как А и несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + ) = р(А) + р( ). Значит, р(А) + р( ) = 1, что и требовалось доказать. Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5). Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлека-ются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов. Решение. Событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5): а множество исходов, благоприятных событию - это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных: Тогда а Теорема умножения вероятностей. Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло. Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В. Примеры:
Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р (АВ) = р (А) ‡ р (В/А). (2.6) Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно, откуда следует утверждение теоремы. Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами. Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2‡0,4 = 0,08. Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) ‡ р (А/В). Следовательно, р (А) ‡ р (В/А) = р (В) ‡ р (А/В). (2.7) Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) ‡ р (В) = р (В) ‡ р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид: р (АВ) = р (А) ‡ р (В) , (2.8) то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей. При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе. Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий: А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах; В – ровно одно попадание при двух выстрелах; С – два попадания; D – ни одного попадания. Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго. Тогда А = Н1 + Н2, В =Н1 События Н1 и Н2 совместны и независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения – в виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6‡0,7 = 0,42, р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88, р(B) = 0,6‡0,3 + 0,7‡0,4 = 0,46 (так как события и несовместны), р(D) = 0,4‡0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому р(А) = 1 – р(D). Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А1, А2,…, Ап равна р (А) = 1 – q1q2…qn , (2.9) где qi – вероятность события , противоположного событию Аi . Доказательство. Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, то события А и противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей равна 1. Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и , следовательно, р( ) = . Отсюда следует справедливость формулы (2.9). Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб? Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противопо-ложного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п . Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п > 0,9 следует, что п > log210 ≥ 4. . Формула полной вероятности и формулы Байеса. Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами. Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна: (3.1) где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности. Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что что и требовалось доказать. Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: Тогда |
Похожие:
 | Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Автор программы: Н. В. Василевская – доктор биологических наук, профессор кафедры биологии и химии мгпу | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 14 Биологическая химия... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины фтд основы фитодизайна основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины ен. Ф. 04. Общая химия основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 11, Сд. Ф. 11 Зоология... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины дс. 5 Экология почв основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 14, Сд. Ф. 14 Биологическая... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. Ф ботаника с основами... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Автор программы: доктор биологических наук, профессор кафедры биологии и химии мгпу н. В. Василевская | | Учебно-методический комплекс дисциплины гсэ. В устойчивое развитие... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Основное содержание профессиональной деятельности учителя составляет общение с учащимися. В процессе взаимодействия с воспитанниками... | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 8, Сд. Ф. 8 Анатомия... «Биология с дополнительной специальностью География» 050103. 00 «География с дополнительной специальностью Биология» |
| Учебно-методический комплекс дисциплины фтд. 4, Сд. В микология основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. В 2 анатомия и морфология... Рецензенты: д б н., профессор кафедры биологии и химии Н. В. Василевская, к б н., зав отделом морских млекопитающих и птиц ммби кнц... |
| Учебно-методический комплекс дисциплины нормативно-правовое обеспечение... Константинова Наталья Ивановна, к п н., доцент, директор филиала чоу впо биэпп в г. Мурманске | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 26 Тепличное растениеводство... Чтобы продлить жизнь растениям в зимнее время, сохранить декоративные растения тропиков и субтропиков, первые теплицы появились в... |
