Критерий для проверки гипотезы о вероятности события.
Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р, и найдена относительная частота появлений А в этой серии испытаний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н0, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому значению р0.
Примем в качестве статистического критерия случайную величину
, (11.1)
имеющую нормальное распределение с параметрами M(U) = 0, σ(U) = 1 (то есть нормиро-ванную). Здесь q0 = 1 – p0. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадрати-ческим отклонением ).
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Если Н0: р = р0, а Н1: р ≠ р0, то критическую область нужно построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда критическая область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в каждый из которых равна . Поскольку U симметрична относительно оси Оу, вероятность ее попадания в интервалы (-∞; 0) и (0; +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область тоже должна быть симметрична относительно Оу. Поэтому икр определяется по таблице значений функции Лапласа из условия , а критическая область имеет вид .
Замечание. Предполагается, что используется таблица значений функции Лапласа, заданной в виде , где нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция Лапласа, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на 0,5 меньше, чем значения стандартной функции Ф(х) (см. лекцию 6).
Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:
. (11.2)
Если |Uнабл| < uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если |Uнабл| > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
2) Если конкурирующая гипотеза Н1: р > p0, то критическая область определяется неравенством U > uкр, то есть является правосторонней, причем р(U > uкр) = α. Тогда . Следовательно, икр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия, что . Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле (19.2).
Если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
3) Для конкурирующей гипотезы Н1: р < p0 критическая область является левосторонней и задается неравенством U <- uкр, где икр вычисляется так же, как в предыдущем случае.
Если Uнабл > - uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если Uнабл < - uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Н0: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,1. Найдем Критическая область является правосторонней, а икр нахо-дим из равенства Ф(икр) = Из таблицы значений функции Лапласа определяем икр = 2,33. Итак, Uнабл < uкр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.
Лекция 8.
Критерии согласия. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию Пирсона. Критерий Колмогорова.
Выше рассматривались гипотезы, в которых закон распределения генеральной совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известному закону. Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называются критериями согласия.
Критерий Пирсона.
Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.
1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различ-ных значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вари
ант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называе-мую сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….п1 п2 … пs ,
где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпи-рические частоты).
По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение σВ. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интер-вале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й интервал:
,
где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: пi =n‡pi. Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины
. (12.1)
Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупно-сти закон распределения случайной величины (20.1) при стремится к закону распределения (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием
(12.2)
где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - .
Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:
, (12.1`)
а по таблице критических точек распределения χ2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = s – 3. Если - нулевую гипотезу принимают, при ее отвергают.
Критерий Колмогорова.
Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н0 о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерыв-ную функцию распределения F(x).
Найдем функцию эмпирического распределения Fn(x) и будем искать границы двусторон-ней критической области, определяемой условием
. (12.3)
А.Н.Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н0 распределение статистики Dn не зависит от функции F(x), и при
где - (12.4)
- критерий Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах. Критическое значение критерия λп(α) вычисляется по заданному уровню значимости α как корень уравнения .
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий).
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей возможностью.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Статистической вероятностью события А наз. относительную частоту этого события .
Геометрические вероятности - вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.
События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.
Суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.
Произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.
Противоположным к событию А называется событие ,означающее,что событие А не происходит.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло
1
событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.
Числовыми характеристиками случайной величины называются величины , которые определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk. : Для дискретной случайной величины: . Для непрерывной случайной величины: .
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины :
Для дискретной случайной величины: .
Для непрерывной случайной величины: .
Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.
Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю :
Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
где - положительное число.
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.
,
т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую , чем утроенное среднее квадратическое отклонение практически равна нулю.
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.:
Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения :
Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей
Генеральная совокупность – совокупность всех подлежащих изучению объектов относительно некоторого признака (с.в.) Х.
Выборочная совокупность ( выборка ) – ограниченная совокупность объектов. отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Выборка наз. репрезентативной, если она достаточно хорошо представляет изучаемый признак Х объектов генеральной совокупности.
Объём генеральной или выборочной совокупности – число объектов (наблюдений) в соответствующей совокупности.
Варианты – значения изучаемого признака (с.в.) Х.
Ранжирование статистических данных – операция расположения вариант по неубыванию.
Вариационный ряд - последовательность вариант, записанных в неубывающем порядке.
Частота варианты - число , показывающее, сколько раз встречается эта варианта в ряде наблюдений.
Относительная частота варианты - отношение частоты варианты к объёму выборки.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Эмпирической ( выборочной ) функцией распределения называется функция ,
определяемая соотношением
W(X
Полигон частот - ломаная с вершинами в точках ( , ).
Полигон относительных частот - ломаная с вершинами в точках ( . ).
Гистограмма частот (относительных частот) - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты равны плотностям частот ( плотностям относительных частот ). Выборочная средняя - среднее арифметическое всех вариант выборки.
Выборочная дисперсия среднее арифметическое квадратов отклонений всех вариант от выборочной средней.
Выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) есть квадратный корень из выборочной дисперсии.
Исправленная выборочная дисперсия. определяется соотношением
Исправленное выборочное с.к.о. S есть квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии.
Размах вариации R - разность между наибольшей и наименьшей вариантами
Мода вариационного ряда - варианта, имеющая наибольшую частоту.
Медиана - варианта, стоящая в середине вариационного ряда.
Статистикой называют всякую функцию результатов наблюдений, т.е. любую функцию выборки
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения изучаемого признака Х называется статистика , которая в определённом смысле близка к истинному значению .
Точечная статистическая оценка (т.с.о.) есть стат. оценка , определяемая одним числом.
Т.с.о. называется несмещённой т.с.о. параметра , если .
В противном случае, т.с.о. называется смещённой т.с.о. параметра .
Т.с.о. параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру.
Т.с.о. параметра называется эффективной, если её дисперсия минимальна.
Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она
Определяется двумя числами - концами интервала, в котором находится .
Интервал ( , ), покрывающий с заданной вероятностью истинное
значение параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность - надёжностью оценки или доверительной вероятностью.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если изменение любой из них не влечёт изменение распределения другой.
Если изменение хотя бы одной из случайных величин X или Y влечёт изменение распределения другой, то зависимость между Х и Y называется статистической.
Статистическая зависимость, при которой изменение одной с.в. влечёт изменение среднего значения другой с.в., наз. корреляционной.
Условным средним наз. среднее арифметическое значений с.в. Y, соответствующих значению с.в. Х: Х=х
Корреляционной зависимостью с. в. Y от с. в. Х наз. функциональную
зависимость условной средней от х: = f(x).
Соотношение = f(x) наз. уравнением регрессии с.в. Y на с.в. X.
Функцию f(x) наз. функцией регрессии с.в. Y на с.в. X.
График Функции f(x) наз. линией регрессии с.в. Y на с.в. X.
Аналогично определяются: уравнение регрессии с.в. X на с.в. Y,
функция g(y) регрессии с.в.. X на с.в. Y, линия регрессии с.в. X на с.в. Y.
Если обе функции регрессии f(x) и g(y) - линейны, то корреляцию наз.
линейной корреляцией; в противном случае – нелинейной корреляцией.
Уравнения линий регрессии, найденные по результатам выборки, наз.
выборочными уравнениями регрессии.
Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется всякое предположение о виде распределения изучаемого признака или о неизвестных параметрах известного распределения изучаемого признака.
Выдвинутую гипотезу называют нулевой или основной
Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу , которая противоречит основной гипотезе.
Гипотезу, содержащую только одно предположение, называют простой,
в противном случае - сложной.
При стат. проверке стат. гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов:
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом деле верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза, когда она на самом деле верна.
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается через .
Специально подобранная случайная величина K , которая служит для проверки нулевой гипотезы,
наз. статистическим критерием или просто критерием.
Наблюдаемое значение статистического критерия - это значение стат. критерия, вычисленное по произведённой выборке.
Критическая область - это множество возможных значений стат. критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.
Область принятия гипотезы – это множество возможных значений стат. критерия , при которых нулевая гипотеза принимается.
Критические точки , или квантили - это точки, которые разграничивают критическую область и область принятия гипотезы.
Правосторонняя критическая область определяется неравенством K> >0 .
Левосторонняя критическая область определяется неравенством K< <0 .
Двусторонняя критическая область определяется совокупностью указанных выше неравенств.
Критерием согласия наз. стат. критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения изучаемого признака генеральной совокупности.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач по |
