Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности 050102. 00 «Биология»
Скачать 1.56 Mb.
|
Равномерный закон распределения. Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. В прошлой лекции были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон. Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b. Найдем значение, которое принимает f(x) при Из условия нормировки следует, что откуда . Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал равна при этом Вид функции распределения для нормального закона: Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут. Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда Показательное распределение. Определение 5.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью (5.2.) В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько. Найдем функцию распределения показательного закона: Следовательно, (5.3.) Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b): . (5.4.) Значения функции е-х можно найти из таблиц. Функция надежности. Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F(t) = p(T < t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна R(t) = p(T > t) = 1 – F(t). (5.5.) Эта функция называется функцией надежности. Показательный закон надежности. Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть F(t) = 1 – e-λt . Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид: R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt . Определение 5.4. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством R(t) = e-λt , (5.6.) где λ – интенсивность отказов. Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e-0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов. Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e-0,1‡10 = e-1 = 0,368. Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид: (6.1) Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).
Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1. х Рис.1. Найдем вид функции распределения для нормального закона: (6.2) Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1. Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения - (6.3)
Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда . Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал: (6.4) Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8). Решение. Правило «трех сигм». Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ): Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ). Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ. Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-ния от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел. Лекция 3. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Дискретный вариационный ряд, статистическое распределение выборки. Интервальный вариационный ряд. Полигоны частот и гистограммы. Выборочная функция распределения и её свойства. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода и медиана. Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются: - определение способов сбора и группировки этих статистических данных; - разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся: а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.; б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения. Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов. Определим основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности. Виды выборки: Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность; Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведе-нии интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова. Первичная обработка результатов. Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хк – пк раз, причем где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2,…, хк называют вариантами, а п1, п2,…, пк – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют дискретным вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом или статистическим распределением выборки: xi x1 x2 … xk ni n1 n2 … nk wi w1 w2 … wk Пример. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид: xi 0 1 2 3 4 5 ni 3 6 5 3 2 1 wi 0,15 0,3 0,25 0,15 0,1 0,05 Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим рядом или интервальным вариационным рядом: Номера интервалов 1 2 … kГраницы интервалов (a, a + h) (a + h, a + 2h) … (b – h, b)Сумма частот вариант, попав- ших в интервал n1 n2 … nk Полигоны частот. Выборочная функция распределения и гистограммы. Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1). Рис. 1. По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x. Определение 8.1. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом, , (8.1) где пх – число вариант, меньших х, п – объем выборки. Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x). Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:
Для непрерывного признака графической иллюстрацией служат гистограммы, то есть ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице (рис.2). Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной величины или признака. Определение 8.2. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке: , (8.2.) где xi – варианты, ni - частоты. Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая оценка. Определение 8.3. Выборочной дисперсией называется а выборочным средним квадратическим отклонением – (8.3.) Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии: . (8.4.) Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом xi 2 5 7 8 ni 3 8 7 2 Другими характеристиками вариационного ряда являются: - мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М0 = 5 ). - медиана те - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно ( n = 2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n =2k . В частности, в примере 1 Лекция 4 и 5. Точечные статистические оценки и их виды. Оценки основных параметров генеральной совокупности с помощью выборочных характеристик. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения. Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной величины или признака. Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выбороч-ную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближе-нием соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться. Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и вычислим для каждой из них оценку параметра Θ: Тогда оценку Θ* можно рассматривать как случайную величину, принимающую возможные значения Если математическое ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М( Θ*) >Θ, и с недостатком, если М(Θ*) < Θ). Следовательно, необходимым условием отсутствия систе-матических ошибок является требование М(Θ*) = Θ. Определение 9.1. Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математичес-кое ожидание равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки: М(Θ*) = Θ. (9.1.) |
Похожие:
 | Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Автор программы: Н. В. Василевская – доктор биологических наук, профессор кафедры биологии и химии мгпу | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 14 Биологическая химия... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины фтд основы фитодизайна основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины ен. Ф. 04. Общая химия основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 11, Сд. Ф. 11 Зоология... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины дс. 5 Экология почв основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 14, Сд. Ф. 14 Биологическая... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. Ф ботаника с основами... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Автор программы: доктор биологических наук, профессор кафедры биологии и химии мгпу н. В. Василевская | | Учебно-методический комплекс дисциплины гсэ. В устойчивое развитие... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) |
| Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности... Основное содержание профессиональной деятельности учителя составляет общение с учащимися. В процессе взаимодействия с воспитанниками... | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 8, Сд. Ф. 8 Анатомия... «Биология с дополнительной специальностью География» 050103. 00 «География с дополнительной специальностью Биология» |
| Учебно-методический комплекс дисциплины фтд. 4, Сд. В микология основная... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям) | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. В 2 анатомия и морфология... Рецензенты: д б н., профессор кафедры биологии и химии Н. В. Василевская, к б н., зав отделом морских млекопитающих и птиц ммби кнц... |
| Учебно-методический комплекс дисциплины нормативно-правовое обеспечение... Константинова Наталья Ивановна, к п н., доцент, директор филиала чоу впо биэпп в г. Мурманске | | Учебно-методический комплекс дисциплины сд. 26 Тепличное растениеводство... Чтобы продлить жизнь растениям в зимнее время, сохранить декоративные растения тропиков и субтропиков, первые теплицы появились в... |
