1 Нормативные документы для разработки ооп впо по направлению подготовки 010400 Прикладная математика и информатика

Типовые контрольные задания по дисциплине «Математическое моделирование в проблемах окружающей среды» для проверки освоения пройденного материала по темам

1. 
   На одну из сторон монеты нанесена цифра 1, а на другую – цифра 2. Монету повторно подбрасывают и записывают суммарный счет результатов. Определим как вероятность того, что суммарный счет принимает некоторое значение n. Докажите, . Полагая , получите значение .
   
2. 
   Согласно наблюдениям, скорость роста популяции бактерий в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции , поделенному на 5. Опишите этот процесс роста дифференциальным уравнением для . Каков порядок этого уравнения?
   

1. 
   При изучении голодания масса испытуемого за 30 дней уменьшилась со 140 до 110 фунтов. Установлено, что ежедневная потеря массы была пропорциональна массе испытуемого. Обозначим массу испытуемого после n дней голодания через . Какому разностному уравнению удовлетворяет ? Найдите массу испытуемого после 15 дней голодания.
   
2. 
   Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается со скоростью, равной половине массы в момент t (время выражается в часах). Опишите изменение массы дрожжей с помощью дифференциального уравнения. Каков порядок этого дифференциального уравнения?
   

1. 
   Радий распадается со скоростью 1% в каждые 25 лет. Рассмотрим образец, содержащий граммов радия. Определим как количество радия, оставшегося в образце после 25n . Составьте разностное уравнение для и найдите его решение. Сколько радия останется после 100 лет?
   
2. 
   Бактерии, служащие пищей для популяции простейших, поступающие в экспериментальную среду с постоянной скоростью . Установлено, что они потребляются со скоростью, пропорциональной квадрату их концентрации. Концентрация бактерий в среде в момент t удовлетворяет, таким образом, уравнению первого порядка , где r – положительная постоянная пропорциональности.
   

1. 
   Каждой весной зоолог выпускает в озеро 100 рыб определенного вида, и так продолжается в течении нескольких лет до тех пор, пока запас этой рыбы в озере не достигнет 2000. Определим как численность рыб после n-го выпуска. Если установлено, что , и если , то сколько лет будет длиться эта программа?
   
2. 
   У некоторых птиц общее время, затрачиваемое на питание, колеблется от минимального значения 2 ч. В день (летом) до максимального значения 8 ч. В день (зимой). Считая, что изменения затрат времени на питание описываются уравнением гармонического осциллятора, определите длительность суточных затрат на питание как функцию времени года.
   

1. 
   При построении математической модели популяции предполагалось, что пара родительских особей дает ровно n потомков с вероятностью , которая удовлетворяет уравнению . Выразите через . Найдите и используя соотношение .
   
2. 
   В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популяции I удельная скорость роста составляет 0,1 (время выражается в днях). Для популяции II аналогичная скорость составляет 0,08. Определим как суммарную численность популяций в момент t. Найдите дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет .
   

1. 
   Реакция организма на лекарства через n часов после инъекции выражается показателем , измеряемым в некоторых подходящих единицах. Допустим, что показатель удовлетворяет разностному уравнению . Найдите , если .
   
2. 
   Популяция бактерий возрастает от начального размера в 100 ед. до предельного (равновесного) размера в 100000 ед. Пусть в течение первого часа она увеличивается до 120 ед. Считая, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, найдите ее размер как функцию времени.
   

1. 
   Определим как вероятность того, что тяжелобольной проживет по крайней мере еще n дней. Найдите вероятность того, что больной проживет не менее 5 дней, если b . Чему равно математическое ожидание числа дней жизни больного?
   
2. 
   В популяцию большого размера занесено инфекционное заболевание. Доля людей перенесших заболевание, возрастает со временем, Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за t лет после ее возникновения в популяции, и пусть Найдите для всех моментов t>0, если . За сколько лет доля переболевших достигнет 90%?
   

1. 
   В эксперименте с голоданием масса у двух испытуемых за 30 дней убывала от 140 и 170 фунтов до 110 и 125 фунтов соответственно. Было установлено, что еженедельные потери массы каждого испытуемого пропорциональны его массе. Определим как суммарную массу обоих испытуемых после n дней голодания. Найдите разностное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет . Чему равна суммарная масса после 15 дней голодания?
   
2. 
   Допустим, что уравнение первого порядка отражает скорость роста популяции в момент времени t. Дайте биологическую интерпретацию каждому члену уравнения. Найдите размеры популяции в моменты t=0,1; t=0,2; t=0,5, если начальный размер составляет .
   

1. 
   Два сосуществующих вида дрозофилы выращивают в подходящей среде. В каждом поколении популяции вида I увеличивается на 60%, а популяция вида II – на 40%. Какова суммарная численность обеих популяций, если первоначально имелось по 1000 мух каждого вида? Для суммарной численности найдите разностное уравнение второго порядка.
   
2. 
   Согласно наблюдениям, скорость роста популяции бактерий в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции , поделенному на 5. Опишите этот процесс роста дифференциальным уравнением для . Каков порядок этого уравнения?
   

1. 
   С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в одной школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя n недель после вспышки удовлетворяет уравнению . Найдите , если и . После скольких недель вероятность нового случая кори становится меньше 10%?
   
2. 
   Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается со скоростью, равной половине массы в момент t (время выражается в часах). Опишите изменение массы дрожжей с помощью дифференциального уравнения. Каков порядок этого дифференциального уравнения?
   

1. 
   Выяснить при каких значениях параметра q величина :
   а) растет, не меняя знака;