Реферат Авторы: ученики 8 класса
Скачать 195.8 Kb.
|
Муниципальное общеобразовательное учреждение Леботерская основная общеобразовательная школа РЕФЕРАТ   Авторы: ученики 8 класса Пчелкина Ирина Макарова Надежда Руководитель: учитель математики Стасенко Валентина Кузьминична с. Леботер 2009г. Оглавление Введение…………………………………..……………………………………31. Из биографии Пифагора …………………………………………… 42. Пифагор и пифагорийцы …………………………………………………63. Из истории создания теоремы ………………………………………….84. Шесть доказательств теоремы …………………………………………124.1. Древнекитайское доказательство ……………………………………4.2. Доказательство Дж. Гардфилда ………………………………4.3 Доказательство старейшее ……………………………………13.4.4. Доказательство простейшее …………………………………4.5 Доказательство древних …………………………………………144.6. Доказательство Евклида ……………………………………… 15.5. Применение теоремы Пифагора …………………………………… 165.1. Задачи теоретические …………………………………………5.2. Задачи практические (старинные) …………………………Заключение ………………………………………………………………… 18Список литературы …………………………………………………… 19ВВЕДЕНИЕ В этом учебном году мы познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах». Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора. Мы заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора. Целью нашего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, мы решили выяснить:
.   Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если вас попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовут Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. Про жизнь Пифагора почти ничего не известно, с его именем связано большое количество легенд. Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось. Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) (интернет2) Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.(интернет1) В  550 году до н. э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки и он возмужалый Эллин с черной курчавой бородой. Но в отличие от своих меньших сотоварищей уши бородатого Эллина были не на спине, да и голова стояла на месте. Очень скоро Пифагор далеко обогнал своих однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к тайному знанию. После одиннадцати лет обучения в Египте, Пифагор отправляется на Родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомиться с вавилонской наукой, которая была более развита, чем Египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Бежав из плена, он не смог долго оставаться на Родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии). Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. [6]   Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апеннинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который в последствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезным, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению. Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:
Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков. Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении Пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. [3] Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой. Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй". Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением". [6] В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, практически не возможно определить, что сделал Пифагор, а что его ученики. Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако, общего мнения нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями, например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; 2 огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.  Но главным пифагорейским символом - символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. [4] Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции. В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты. О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.    В  настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:[9]Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвопринашенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя ,вслед. Они не в силах свету помешать , А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".  Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39. В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.[9]
В заключении приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".  Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе): «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол» В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе): “Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу” В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».[4]  Древнекитайское доказательство 1. [4] На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе   a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab a2 +b2 = c2 Доказательство 2. (Дж. Гардфилд 1882 г.) [4] Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.  Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высотуS =  C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников: S =  Приравнивая данные выражения, получаем:  или с2 = a2 + b2Старейшее доказательство 3. (содержится в одном из произведений Бхаскары). [4]  Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b); Пусть СК  ВЕ = а, DLCK, AMDL  ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD, значит KL = LM = ME = EK = a-b.    .Доказательство 4 (простейшее) [9]
содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана. Доказательство 5. [2] а) б)  Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри! Доказательство 6. [1, 8] В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала». Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Ч  ертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.  Задачи теоретические современные 1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба. 2. Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна   см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.3. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем S1-S2=112 см2, а S3=400 см2. Найдите периметр треугольника. 4. Дан треугольник АВС, угол С=900, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ. [4]Задачи практические старинные 5. Задача индийского математика XII века Бхаскары [7] «  На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» 6. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?  7. Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого [7]  "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать." 8. Задача из китайской "Математики в девяти книгах" [7]  "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?" Заключение Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств. Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2. Поэтому для её доказательства часто используют наглядность. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков. Литература:
Список используемой литературы:
12. А. И. Щетников “ Пифагорейское учение о числе и величине “. Новосибирск 1997. 13. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. Томск – 1997. 14. М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: Просвещение, 1991
7. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html 8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора 9. http://th-pif.narod.ru/history.htm ОТЗЫВ на реферат по теме «Пифагор и его теорема» Авторы: Макарова Надежда и Пчелкина Ирина, ученицы 8 класса МОУ Леботерская ООШ с. Леботер, Томской области, Чаинского района. Руководитель: учитель математики Муниципального общеобразовательного учреждения Леботерской основной общеобразовательной школы Стасенко Валентина Кузьминична. Реферат выполнен в рамках предметной области «Математика» по курсу «Геометрия: 8 класс» в разделе «Теорема Пифагора».Тема реферата выбрана учащимися в процессе изучения выше указанного раздела. Материал для данной творческой работы подобран и систематизирован авторами на основе рекомендаций руководителя. При написании реферата использован план, составленный учащимися совместно с руководителем. Работа состоит из 5 глав. Общий объем реферата составляет 16 страниц. Ученицы - авторы реферата, на основании рекомендаций руководителя, грамотно структурировали собранную информацию и изложили в логической последовательности. В реферат включен интересный материал о жизни Пифагора, об истории открытия теоремы, носящей его имя, о школе, которую создал древнегреческий ученый. Кроме этого в реферате рассмотрено несколько доказательств теоремы Пифагора и подобраны интересные теоретические и практические, в том числе старинные, задачи на применение теоремы. Достоинства реферата состоят в последовательном изложении материала, подборе интересных фактов из жизни Пифагора, использовании богатого иллюстративного материала, представленного в использованных статьях из Интернет-ресурсов, указанных в списке литературы. Авторы реферата проработали материал 4-6 литературных источников каждая, среди которых учебные пособия, научно-популярные издания, курсовая работа, периодические издания и материалы Интернет-ресурсов. Приложением к реферату является презентация, созданная в среде POWER POINT и состоящая из 26 слайдов. В процессе работы над рефератом у авторов можно отметить положительные тенденции в изменении личностных качеств, влияющих на познавательную деятельность. Среди интеллектуальных личностных качеств у обучающихся заметен рост самостоятельности, восприимчивости к новому. Состоявшаяся защита реферата перед аудиторией способствовала развитию речевых способностей: авторы научились правильной выразительной речи научного содержания, логическому изложению материала, их речь отличалась точностью формулировок и ответов на задаваемые вопросы. Из психосоциальных личностных качеств можно отметить изменения в поведенческой сфере: научились более уверенно ориентироваться в аудитории и владеть собой, появилось умение слышать и слушать в процессе защиты реферата. В процессе подготовки реферата авторы проявили целеустремленность, ответственность, а также творческие – исследовательские способности. В ходе работы авторов над рефератом руководителем данной работы проводились консультации, на которых давались рекомендации по оформлению и содержанию работы, были рекомендованы литературные источники, производилась «вычитка» отдельных глав реферата. Наибольшую проблему в написании реферата вызвали вводная и заключительная части. Признано целесообразным проводить отдельные консультации по обучению определения актуальности, целей, задач и выводов о проделанной работе. Среди собственных достижений обучающиеся отметили приобретение умения ориентироваться в аудитории, а также создание собственного авторского продукта в виде презентации в среде POWER POINT. Стасенко В.К., учитель математики МОУ Леботёрская ООШ |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | «Как стать великим художником ?» Практико-ориентированный проект Авторы проекта ученики 2 класса Авторы проекта ученики 2 класса: Базулев Тимофей, Вялько Тамара, Добров Никита, Жедрин Иван, Карпушенко Елизавета, Керимли Мадина... |  | Проект «День правовых знаний» Авторы: ученики 11а класса мбоу «сош №10» Старшеклассники разрабатывают и проводят уроки, мастер-классы и внеклассные мероприятия в 1-7 классах, учащиеся 8-9 классов участвуют... |
| Реферат по предмету «Окружающий мир» на тему: «Знакомые незнакомцы» Актуальность: в новгородском крае, рядом с нами, живут всем знакомые животные. Ученики 1 класса могут назвать обитателей леса, но... | | Реферат Тема: История реки Енисей Выполнили авторы : Клейн Ольга, Солдатова Яна- учащиеся 6 «а» класса мбоу сош №16 |
| Реферат по теме «Пифагор и его теорема» Авторы: ученицы 8 класса моу леботерская оош с. Леботер, Томской области, Чаинского района Макарова Надежда и Пчелкина Ирина | | Реферат по теме «Роль Православной Церкви в формировании Нижегородского ополчения» Авторы: обучающиеся 9 «В» класса моу сош №23 г. Дзержинска Нижегородской области Молькова Мария, Парфенова Наталья |
| Реферат. Рекомендации по написанию реферата: (соответствуют последовательности... Авторы: Авторы (фамилии и инициалы) указываются в последовательности, соответствующей заявлению (форма рп и формы рп/доп в соответствии... | | Габбасов нуржан Работу выполнили ученики 8 класса междугореой основной общеобразовательной школы |
| Проекта Проект внутренний, средней продолжительности (2010-2014 гг), групповой (ученики 1-го класса и их родители, классный | | Вопросы, направляющие проект Авторы проекта: классный руководитель 4-а класса, учащиеся 4-а класса гоу сош №1222 города Москвы, родители учеников |
| Реферат Предмет География Ученики, получившие определенные экологические представления, будут бережнее относиться к природе. В будущем это может повлиять на... | | Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Авторы: С. Г.... Информационный блок имеет целью помочь учащимся 8-ого класса подготовиться успешно к экзамену по русскому языку |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выявлены победители. Ученики 4а класса приняли участие в районной олимпиаде. Учащиеся 2-4 классов в районной нпк. Победителем районной... | | Рабочая программа по технологии для 3 класса Уровень изучения предмета базовый Федерального государственного стандарта начального общего образования второго поколения и рабочей программы «Технология» 1-4 классы,... |
| Учебного курса по математике для 8-го класса Рабочая программа ориентирована на использование учебников: «Алгебра 8» авторы Ю. Н. Макарычев и др и «Геометрия 7-9» авторы Л. С.... | | Учебник для 2 класса. Авторы: М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова. Тема Математика. Учебник для 2 класса. Авторы: М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова |
