Принятие решений в условиях риска
К задачам принятия решений в условиях риска, относятся задачи, в которых исходные данные можно описать с помощью вероятностных распределений. В подобных моделях термин риск имеет смысл наличия нескольких исходов, одни из которых рассматриваются более предпочтительным другим.
Если решение принимается в условиях риска, то стоимости альтернатив описываются вероятностными распределениями, т.е. прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением, является случайной величиной (вернут или вернут кредит: в одном случае мы получим прибыль, в другом — убытки). Поэтому в качестве критерия принятия решения в случае случайного события используется ожидаемое значение стоимости — математическое ожидание М. Все альтернативы сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат.
Решение простого дерева
Рассмотрим процесс решения задачи в условиях риска на примере.
Для финансирования проекта Предприятию нужно занять сроком на один год 15 млн. руб. Для этого начальник финансово-экономического отдела обращается в Банк. Банк может дать кредит Предприятию под 15% годовых или вложить те же деньги в другое дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. После анализа статистики прошлого опыта кредитования, кредитный специалист Банка определил, что 4% аналогичных клиентов кредит не возвращают.
Как должен поступить кредитный специалист Банка в сложившейся ситуации: кредитовать Предприятие или вложить средства в другое дело?
Построение дерева решений
Одним из методов решения задачи в условиях риска является использование деревьев решений. Деревья решений содержат в себе информацию о ходе принятия решений ЛПР и о случайных событиях, происходящих после принятия решений. Дерево, соответствующее представленной задаче, будет выглядеть так, как отображает Рис.4.1.
Рис.4.1.
На схеме дерева решений используются следующие обозначения узлов:
Узел дерева в форме квадрата () — принятие решения ЛПРом. Потомками узла принятия решения на дереве являются альтернативы;
Узел дерева в форме окружности () — это случайные события. Потомками случайных событий являются возможные исходы случайного события;
Узел дерева в форме ромба () — терминальный узел дерева, возможный конечный исход ситуации принятия решения. Данный узел не имеет потомков.
Численные значения конечных исходов просчитываются, начиная с терминальных узлов дерева по направлению к основному узлу так, как показано далее:
Результат А1 = 15000000 + 0,15 * 15000000 = 17250000
Результат A0 = 0
Результат Б1 = 15000000 + 0,09 * 15000000 = 16350000
|
Чистый доход, получаемый в случае выбора альтернативы А:
Mдавать_заем = (17250000 * 0,96 + 0 * 0,04) - 15000000 = 16560000 - 15000000 = 1560000
|
Выбор альтернативы Б дает:
Mне_давать_заем = (16350000 * 1,0 – 15000000) = 1350000
|
Поскольку ожидаемый чистый доход больше для альтернативы А, то требуется принять решение — выдать заем.
Анализ чувствительности решения
Решения, принимаемые в условиях риска, очевидно, зависят от значений вероятностей исходов. Чувствительность решения от вероятностей определяется величиной допустимого изменения вероятностей исходов событий, с которыми связано принимаемое решение. Знать, насколько решение чувствительно необходимо, чтобы понимать насколько можно полагаться на производимый выбор.
Проанализируем чувствительность в только что рассмотренном примере. Ожидаемые чистые доходы в узлах А и Б довольно близки: 1,56 и 1,35 млн. руб. Выбор решения зависит от значения вероятностей. Анализ чувствительности позволяет вычислить разброс вероятностей, в рамках которых не меняется выбор.
Обозначим вероятность невозврата займа через p. Тогда вариант А дает чистый доход:
17250000*(1-p) + 0*p – 15000000 = 2250000 – 17250000*p
|
Вариант Б приносит чистый доход 1350 000 руб.
Уравнивание чистого дохода А и Б позволяет определить, при какой вероятности p решения будут иметь равную полезность:
2250000 – 17250000*p = 1350000 => p = 900000/17250000 = 0,052
|
Результат p≈0,05 оказался близок к p≈0,04, что показывает сильную чувствительность результата выбора решения к расчетам величины вероятности.
Решение дерева в MS Excel
Рассмотрим решение более сложных задач принятия решений в условиях риска на новом примере. Для решения таких задач предлагается использовать MS Excel.
Небольшая овощная лавка еженедельно закупает и продаёт различные овощи и фрукты, в том числе помидоры. Стоимость закупки ящика помидоров составляет 1500 руб., прибыль от продажи ящика — 2400 руб. Статистика исследования спроса приведена в Табл. 4.1.
Таблица .1.
Недельный спрос ящиков, шт.
|
Вероятность
|
11
|
0,4
|
12
|
0,4
|
13
|
0,2
|
Если закупленный ящик остался непроданным, лавка несет убыток 1500 руб. Определить размер запаса, который целесообразно формировать в начале неделе лавке. Изменится ли решение, если неудовлетворенный спрос клиента будет оценен в 1350 руб.?
Дерево решений, соответствующее задаче представлено показывает Рис.4.2.
Рис.4.2.
Данное дерево можно решить, используя таблицы Excel. Итоговую таблицу решения задачи в Excel отображает Рис. 4.3.
Рис.4.3.
Ожидаемый чистый доход максимален при выборе альтернативы А — 9900 руб. С учетом штрафов за неудовлетворенный спрос максимальный чистый доход дает альтернатива Б — 9570 руб.
Деревья с несколькими точками принятия решения
Более сложные задачи принятия решений в условиях риска характерны большим количеством узлов принятия решения в дереве. Возьмём дополнительные условия к примеру 1, чтобы рассмотреть ход решения задач с несколькими узлами принятия решения.
В дополнение условий примера 1, банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента, перед тем, как выдавать ему заём. За проверку аудиторская фирма берет с банка 80000 руб. Т.о. перед банком встают две проблемы (две задачи принятия решения): первая — проводить проверку или нет, вторая — выдавать после проверки заём или нет.
Для решения первой проблемы, банк собирает дополнительные данные: проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены аудиторами и которым впоследствии выдавались ссуды. Рекомендации аудиторской фирмы и фактический результат возврата возврат ссуды содержит Таблица 4.2.
Таблица 4.2.
Рекомендации аудитора после проверки
|
Всего клиентов
|
Ссуда возвращена
|
Ссуда НЕ возвращена
|
Кол-во клиентов
|
%
|
Кол-во клиентов
|
%
|
Выдавать ссуду
|
750
|
735
|
98
|
15
|
2
|
Не выдавать ссуду
|
250
|
225
|
90
|
25
|
10
|
Итого:
|
1000
|
960
|
96
|
40
|
4
|
Решение задачи при наличии дополнительной информации сводится к построению дерева и его решению.
Построение дерева решений
Дерево решений для примера 3 приведено ниже (см. Рис.4.4).
Решение дерева
Справа налево проставим исходы каждого из узлов дерева в денежном эквиваленте. Любые встречающиеся расходы требуется вычесть из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитывается всё дерево. В узлах принятия решения выбирается ветвь, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу.
Сначала рассмотрим случайные события Б и В, являющиеся следствием принятия решения 2 (Выдавать ли заем клиенту?).
Доход, ожидаемый от исхода Б:
M(Б) = 17250000 * 0,98 + 0 * 0,02 = 16905000
|
Рис.4.4.
Чистый ожидаемый доход:
NM(Б) = 16905000 - 15000000 = 1905000
|
Доход, ожидаемый от исхода В:
M(В) = 16350000 * 1,0 = 16350000
|
Чистый ожидаемый доход:
NM (В) = 16350000 - 15000000 = 1350000
|
Исходя из последних расчётов, наиболее рационально при принятии решения 2 является альтернатива выдать заём с итоговым чистым ожидаемым доходом 1 905 000 руб., соответствующее значение чистого ожидаемого дохода принимает узел 2.
Аналогично рассчитываются случайные события Г и Д:
M(Г) = 15 525 000
NM(Г) = 525 000
M(Д) = 16 350 000
NМ(Д) = 1 350 000
|
При принятии решения в узле 3 наиболее рациональным решением будет не выдавать заём, соответственно узел принимает значение 1 350 000 руб.
Аналогично рассчитываются узлы Е, Ж и 4, принимающие значения 1 560 000, 1 350 000 и 1 560 000 руб. соответственно.
Теперь требуется вернуться к узлам А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы в узлах 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для случайного события А:
M(А) = (1905000 * 0,75) + (1350000 * 0,25) = 1766000
|
Так как аудиторская проверка стоит 80000 руб., ожидаемый чистый доход составит:
NM(А) = 1766000 - 80000 = 1686000
|
Теперь есть все необходимые данные, чтобы выявить наиболее рациональное решение в узле 1 (Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой?). В этом узле максимальное математическое ожидание — 1 686 000, поэтому должна быть выбрана ветвь с проверкой, а альтернативная ветвь перечёркивается.
Ниже приведено решённое дерево (см. Рис.4.5).
Рис.4.5.
Построение индивидуальной функции полезности
В предыдущих примерах платежи выражались в виде денег. Зачастую возникают ситуации, когда при анализе следует использовать полезность решения, а не величину реальных денежных платежей. Для примера предположим, что существует шанс 50 на 50, что инвестиция в 20 млн. руб. или принесет прибыль в 40 млн. руб., или будет полностью потеряна. Соответствующая этому условию ожидаемая прибыль равна:
40 * 0,5 – 20 * 0,5 = 10 млн. руб.
|
Хотя ожидается прибыль в виде чистого дохода, разные люди могут по-разному интерпретировать полученный результат. Инвестор, который идет на риск, может вложить деньги, чтобы с вероятностью 50 % получить прибыль в 40 млн. руб. Наоборот, осторожный инвестор может не захотеть рисковать потерей 20 млн. руб.
Определение полезности является субъективным. Оно зависит от индивидуального отношения к риску. Рассмотрим, как можно построить функцию полезности, отражающую собственное отношение к деньгам, например, к риску выиграть или проиграть определенную сумму.
В примере, приведенном выше, наилучший платеж равен 40 млн. руб., а наихудший — (–20) млн. руб. Установим шкалу полезности П, изменяющуюся от 0 до 1, где 0 соответствует полезности (–20), а 1 — 40, т.е. П(–20) = 0 и П(40) = 1. 0 и 1 как границы шкалы выбраны для удобства. Наиболее часто шкалу нормируют от 0 до 1 или от 0 до 100.
Если отношение ЛПР беспристрастно к риску, то график результирующей функции полезности является прямой линией, соединяющей точки (0; –20) и (1; 40). В этом случае график функции полезности совпадает с графиком денежной оценки результата.
В различных реальных ситуациях функция полезности может принимать совершенно разный вид. Ниже иллюстрируется вид функции полезности для трех индивидуумов X, Y и Z (см. Рис.4.6).
X осторожен и не склонен к риску, так как проявляет большую чувствительность к потере, чем к прибыли. Это следует из того, что для индивидуума X при изменении в 10 млн. руб. вправо и влево от точки, соответствующей 0 рублей, увеличение прибыли изменяет полезность на величину ab, которая меньше изменения полезности bс, обусловленной потерями такой же величины, т.е. ab < bс.
Z, наоборот, настроен на риск. Такие же изменения в ±10 млн. руб., обнаруживают противоположное поведение, здесь de > ef.
А индивидуум Y является нейтральным к риску, так как упомянутые изменения порождают одинаковые изменения полезности.
В общем случае индивидуум может быть, как не расположен к риску, так и настроен на риск, в зависимости от суммы риска. В этом случае соответствующая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S (логистической кривой).
Рис.4.6. График функции полезности
Определим теперь полезность, соответствующую промежуточным значениям платежей, например, –10, 0, 10, 20 или 30. Для определения полезности суммы реальных денег, будем использовать следующую формулу:
П(x) = p*П(-20) + (1-p)*П(40) = 100*(1-p), 0
|
Для определения значения П(x) просят ЛПР сообщить свое предпочтение между гарантированной наличной суммой х и возможностью сыграть в лотерею, в которой с вероятностью р реализуется проигрыш в сумме 20 млн. руб. и с вероятностью (1-р) имеет место выигрыш в 40 млн. руб. Под предпочтением понимается выбор значения «нейтральной» вероятности р, при котором с точки зрения ЛПР возможности сыграть в лотерею или получить гарантированную сумму х являются одинаково привлекательными. Например, если х = 10 млн. руб., ЛПР может заявить, что гарантированные 10 млн. руб. наличными и лотерея одинаково привлекательны при р = 0,3. В этом случае вычисляется полезность для х = 10 млн. руб. по следующей формуле:
П(10) = 100*(1 - 0,3) = 70 .
|
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено достаточное количество точек (х, П(х)) для определения формы функции полезности. Затем можно определить П(х) путем интерполяции между полученными точками.
|
