Раздел № 3
Методы планирования и прогнозирования
Методы сетевого планирования
Информационные технологии сетевого планирования в управлении
В практике управления сложными системами широко применяются методы сетевого планирования и управления (СПУ). Эти методы включают несколько разновидностей, наиболее широко используемыми из которых являются PERT (Program Evaluation and Review Technique — метод оценки и обзора программ) и СРМ (Critical Path Method — метод критического пути).
Метод РЕRТ применяется в планировании научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок, для которых характерна неопределенность в оценке затрат времени, необходимого для выполнения отдельных операций (работ). Метод СРМ применяется тогда, когда оценки времени операций являются детерминированными. В данном пособии мы ограничимся рассмотрением метода CPM.
Методы СПУ используются при планировании сложных комплексных проектов, таких как
Строительство и реконструкция каких-либо объектов;
Выполнение научно-исследовательских и конструкторных работ;
Подготовка производства к выпуску продукции;
Развертывание системы медицинских или профилактических мероприятий;
Перевооружение армии и т.п.
Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Работы обуславливают друг друга так, что выполнение некоторых из них не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие. Например, укладка фундамента не может быть начата раньше, чем будут доставлены необходимые материалы; эти материалы не могут быть доставлены раньше, чем будут построены подъездные пути; любой этап строительства не может быть начат без составления соответствующей технической документации и т.д.
СПУ состоит из трех основных этапов:
Структурное планирование;
Календарное планирование;
Оперативное управление.
Структурное планирование начинается с разбиения проекта на четко определенные операции, для которых определяется продолжительность. Затем строится сетевой график, который представляет взаимосвязи работ проекта. Это позволяет детально анализировать все работы и вносить улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации.
Календарное планирование предусматривает построение календарного графика, определяющего моменты начала и окончания каждой работы и другие временные характеристики сетевого графика. Это позволяет, в частности, выявлять критические операции, которым необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в директивный срок. Во время календарного планирования определяются временные характеристики всех работ с целью оптимизации сетевой модели, которая улучшает эффективность использования какого-либо ресурса.
В ходе оперативного управления используются сетевой и календарный графики для составления периодических отчетов о ходе выполнения проекта. При этом сетевая модель может подвергаться оперативной корректировке, вследствие чего будет разрабатываться новый календарный план остальной части проекта.
Построение сетевых графиков
Основой метода СПУ является сетевой график (сетевая модель), определяющий логическую взаимосвязь и взаимообусловленность входящих в него элементарных операций (работ).
Сетевые графики представляют собой ориентированные графы, дугам или вершинам которых приписаны некоторые числовые значения.
Как правило, вершины, называемые событиями, соответствуют моментам времени начала или окончания одной или нескольких операций, а дуги — операциям.
Различают три вида событий: исходное, завершающее и промежуточное. Исходное — это такое событие, с которого начинается выполнение комплекса операций. Завершающее соответствует достижению конечной цели, т. е. завершению комплекса операций. Сетевые графики с несколькими завершающими событиями называются многоцелевыми. К промежуточным относятся все прочие события.
События, как правило, обозначаются кружками. Предполагается, что события не имеют продолжительности во времени.
Моментом свершения события считается момент окончания выполнения всех входящих в это событие операций. Пока не выполнены все входящие в событие операции, не может свершиться само событие, и, соответственно, не может быть начата ни одна из непосредственно следующих за ним операций.
Различают три вида операций:
действительная операция ( ) — процесс, требующий затрат времени и ресурсов (разработка проекта, подвоз материалов, выполнение монтажных работ и т. д.);
операция-ожидание () — процесс, требующий только затрат времени (затвердение бетона, естественная сушка штукатурки перед началом малярных работ, рост растений и т. д.);
фиктивная операция (), или логическая зависимость, отражает технологическую или ресурсную зависимость в выполнении некоторых операций.
При построении сетевых графиков необходимо соблюдать определенные правила:
в сети не должно быть событий (кроме исходного), в которые не входит ни одна дуга;
не должно быть событий (кроме завершающего), из которых не выходит ни одной дуги;
сеть не должна содержать контуров;
любая пара событий сетевого графика может быть соединена не более чем одной дугой. Если изобразить одновременно выполняемые три различные операции b, c, d с общими начальным и конечным событиями (Рис. 6.1), то возникает путаница из-за того, что различные операции имеют одно и то же обозначение (2,5). В этом случае рекомендуется ввести дополнительные события и соединить их с последующими фиктивными операциями (Рис. 6.2);
номер начального события любой операции должен быть меньше номера ее конечного события.
Рис. 6.1
Для отражения технологической или ресурсной зависимости в выполнении операций применяют фиктивные операции. Предположим, что операция c может выполняться после завершения операций a и b, а операция d — только после завершения операции b.
Рис. 6.2
Эта зависимость представлена на Рис. 6.3, из которого видно, что операция c следует за операцией a и фиктивной операцией (2,З).
Рис. 6.3
В свою очередь, операция (2,3) следует за операцией b. Тогда в силу транзитивности выполнение операции b предшествует выполнению операции c.
Построение сетевого графика начинается с составления списка операций (работ), подлежащих выполнению. Последовательность операций в списке является произвольной. Порядок нумерации операций осуществляется в соответствии с последовательностью их записи в списке. Перечень операций в зависимости от конкретных условий детализируется. Операции, включенные в список, характеризуются определенной продолжительностью, которая устанавливается на основе действующих нормативов или по аналогии с ранее выполнявшимися операциями. Такие временные оценки называются детерминированными. В случае отсутствия нормативных временных оценок определяются вероятностные оценки.
После составления списка операций приступают к процедуре построения сети.
Приведем пример построения простого сетевого графика. Рассмотрим проект, представленный с помощью следующей таблицы:
Таблица 6.1. Описание составных работ проекта
Работа
|
Непосредственно предшествующие работы
|
Время выполнения
|
A
|
—
|
|
B
|
—
|
|
C
|
B
|
|
D
|
A, C
|
|
E
|
C
|
|
F
|
C
|
|
G
|
D, E, F
|
|
Анализ данных, приведенных в этой таблице, — более конкретно — последовательности и взаимозависимости работ, позволяет построить сетевой график вида
Рис. 6.4. Пример сетевого графика простого проекта
В данном сетевом графике помимо работ, указанных в таблице, использованы две фиктивные работы (3,4) и (5,6), обозначенные штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами.
Расчет временных параметров сетевого графика
Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени. Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.
Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная — с завершающим.
Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.
Следующий за событием путь — путь от данного события до завершающего.
Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.
Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.
Пусть продолжительности выполнения операций  известны (Рис. 6.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).
Рис. 6.5
Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий  сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно,  . Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно,  . Событию (3) предшествуют два пути:  и  . Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как  . Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.  . Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то
В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)
Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения  приписаны соответствующим событиям.
Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:
где  — подмножество дуг сети, входящих в событие (j).
Ожидаемый срок свершения события  совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),  определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени  . Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как  . В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) — операция (1,2). Эти операции на рис. 8.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь  . Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций. Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритически операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.
Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через  . Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события (n) совпадают  тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле
где — подмножество дуг сети, входящих в событие (i).
В нашем примере  . Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно,  . Аналогично  . Из события (4) исходят три операции, поэтому
 =
|
|
Аналогично  (на Рис. 6.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.
Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени  события (i) равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:
Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции (i, j) равен ожидаемому сроку свершения (i)-го события  поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события  поздний срок начала операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью  ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности 
Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами:  . Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.
Полный резерв времени операции  показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле
Свободный резерв времени операции  показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции (i, j) , при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:
Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 6.5):
Оптимизация комплекса операций Оптимизация комплекса операций по времени
Оптимизация комплекса операций по времени сводится к сокращению продолжительности критического пути. Необходимость проведения оптимизации сетевого графика по времени возникает тогда, когда критическое время выполнения комплекса операций превосходит срок  , на котором настаивает ЛПР. Очевидно, подобная задача требует проведения определенных мероприятий и (или) вложения дополнительных средств.
Иногда оптимизация достигается за счет перепланировки сетевого проекта (изменения топологии сети). Например, одновременно выполняемые операции, имеющие резервы времени и не лежащие на критическом пути могут выполняться последовательно (если это допускается технологией). Освободившиеся при этом ресурсы можно использовать на критических операциях, что ускорит их выполнение. Сокращение времени выполнения операций возможно также за счет автоматизации производственных процессов, улучшения организации работ, использования передовых технологий и т.д.
Оптимизация комплекса операций по времени может проводиться с привлечением дополнительных средств и с использованием внутренних резервов.
Приведем математическую формулировку процесса оптимизации по времени.
Пусть задан сетевой график выполнения комплекса операций. Время выполнения каждой операции равно . Пусть также вложение  Дополнительных средств в операцию (i,j) сокращает время выполнения с до  . Естественно, для каждой операции существует минимально возможное время ее выполнения, равное  . Требуется определить время начала  и окончания  выполнения операций, а также величину дополнительных средств , которые необходимо вложить в каждую из операций (i,j) , чтобы общее время выполнения комплекса операций было минимальным. При этом сумма вложенных дополнительных средств не должна превышать заданной величины C, а время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимально возможного времени .
Математически условия задачи можно записать следующим образом:
|
(6.1)
|
|
(6.2)
|
|
(6.3)
|
|
(6.4)
|
|
(6.5)
|
|
(6.6)
|
Добавив при необходимости фиктивную операцию, выходящую из последнего события, целевую функцию любого графика можно записать в виде выражения (6.1).
Ограничения-равенства (6.4) показывают зависимость продолжительности выполнения операций от вложенных средств. Ограничения (6.5) обеспечивают выполнение условий предшествования операций в соответствии с топологией сети (время начала выполнения каждой операции должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции).
Критический путь  в данной задаче является функцией от объемов дополнительно вкладываемых средств .
Сформулированная задача относится к классу оптимизационных задач и может быть решена методами линейной или нелинейной оптимизации в зависимости от вида функций  .
Приведем пример решения задачи оптимизации комплекса операций по времени путем затрат дополнительных средств.
Пример.
Комплекс операций представлен сетевым графиком (рис. 6.6). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продолжительность и минимально возможное время выполнения операций (в днях).
Рис. 6.6
Продолжительность выполнения операций зависит линейно от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением
где  ,  ,  ,  ,  ,  .
Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. определить время выполнения каждой операции сетевого графика таким образом, чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным, а сумма вложенных средств С не превышала 15 единиц.
Решение.
Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишем целевую функцию в виде:
Запишем ограничения задачи:
сумма вложенных средств не должна превышать наличного их количества:
время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимально возможного времени:
зависимость продолжительностей операций от вложенных средств дает ограничения-равенства:
время начала выполнения каждой операции должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции (моменты времени  ):
условие неотрицательности неизвестных:
Создадим на рабочем листе Excel форму для ввода данных, необходимых для решения задачи (Рис. 6.7).
Рис. 6.7. Форма для ввода данных примера
Введем обозначения для переменных согласно Рис. 6.7, и отведем под расчетные значения X1-X20 диапазон ячеек A8:T8. Далее, введем формулы для расчета функций-ограничений в соответствии с приводимой ниже таблицей
Ячейка
|
Формула
|
Ячейка
|
Формула
|
C9
|
=D8-C8
|
K13
|
=A8+0,1*O8
|
E9
|
=F8-E8
|
K14
|
=B8+0,4*P8
|
G9
|
=H8-G8
|
K15
|
=D8-C8+0,6*Q8
|
I9
|
=J8-I8
|
K16
|
=F8-E8+0,42*R8
|
K9
|
=L8-K8
|
K17
|
=J8-I8+0,64*S8
|
M9
|
=N8-M8
|
K18
|
=L8-K8+0,12*T8
|
C13
|
=C8-A8
|
|
|
C14
|
=E8-A8
|
G22
|
=O8+P8+Q8+R8+S8+T8
|
C15
|
=I8-B8
|
|
|
C16
|
=I8-D8
|
O14
|
=N8
|
C17
|
=G8-B8
|
|
|
C18
|
=G8-D8
|
|
|
C19
|
=K8-F8
|
|
|
C20
|
=K8-H8
|
|
|
C21
|
=M8-J8
|
|
|
C21
|
=M8-L8
|
|
|
Целевой ячейкой является O14.
Вызываем Поиск решения и вводим все необходимые ограничения.
Ответ:
 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  .
|
|
Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 29,65 дней, необходимо вложить в операцию (1,3) 0,88 д.е., в операцию (2,3) 3,92 д.е., в (2,4) 0,83 д.е., и в операцию (3,5) - 9,38 д.е..
Оптимизация комплекса операций по стоимости при фиксированном сроке выполнения проекта
Рассмотрим частный случай оптимизации комплекса операций по стоимости (затратам). Будем предполагать, что затраты на выполнение отдельных операций находятся в обратной зависимости от продолжительности их выполнения. Коэффициент дополнительных затрат (КДЗ)  этой зависимости для операции (i,j) вычисляется по формуле
|
(6.7),
|
где  — срочный режим выполнения операции (наименьшая продолжительность), которому соответствуют наибольшие затраты  ;  — нормальный режим выполнения операции (наибольшая продолжительность), которому соответствуют минимальные затраты  .
Коэффициент дополнительных затрат показывает, насколько увеличится стоимость операции при уменьшении продолжительности на единицу времени.
Отличительная особенность оптимизации при фиксированном сроке выполнения комплекса операций заключается в том, что в исходном варианте сети оценки для каждой операции установлены на уровне минимальных продолжительностей и максимальных затрат . Следовательно, стоимость выполнения всего комплекса операций является максимальной. Предполагается, что увеличение продолжительности операции (i,j) на 1 ед. вызывает уменьшение стоимости на величину . Таким образом, ставится задача: при фиксированном сроке завершения  минимизировать стоимость выполнения комплекса операций, используя резервы времени. Критическое время может быть меньше заданного срока или равно ему. Если  , то оптимизация возможна за счет увеличения времени выполнения некритических операций; если  , то оптимизировать можно за счет всех операций комплекса.
Рассмотрим более общий случай, когда .
Обозначим стоимость выполнения операции (i,j) через . Исходя из условия задачи, стоимость каждой операции (i,j) за время ее выполнения определим по формуле
|
(6.8),
|
где  . Учитывая, что величины  известны, раскроем скобки в правой части (6.8) и обозначим через  сумму  . В результате получим  . Здесь время выполнения операции (i,j) равно разности между временем ее окончания ( ) и временем начала ( ).
Математическая модель задачи может быть сформулирована следующим образом: найти такое время начала и окончания каждой операции сетевого графика, при котором стоимость выполнения комплекса операций будет минимальной:
На неизвестные величины задачи налагаются следующие ограничения:
продолжительность выполнения каждой операции должна быть не меньше и не больше  :
 ;
|
|
время окончания любой операции сетевого графика должно быть не больше времени начала непосредственно следующей за ней операции, т.е. для любых смежных операций сети (i,j) и (j,r) должно выполняться условие:
 ;
|
|
выполнение комплекса операций должно быть завершено не позже директивного срока :
 , где n — номер завершающего события;
|
|
переменные должны быть неотрицательными:
 .
|
|
|
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
;
