Раздел № 4
Системная динамика
Системный подход и основы системной динамики
Системный подход к принятию решений
Начиная со второй половины XIX века, инженерам и ученым все чаще приходится иметь дело с объектами, обладающими новыми свойствами. Такими свойствами явились, в частности, нелинейность и саморегуляция.
Известно, что одним из основных приемов познания является анализ, т. е. разделение изучаемого объекта на части. Это позволяет учёным исследовать полученные части по отдельности. Нелинейность характеристик объекта означает, в первую очередь, невозможность подобного разделения. Действительно, для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, т. е. если
 ,
|
|
где  — стимул,  — реакция, а  — коэффициент пропорциональности, и
 ,  ,
|
|
то для суммарного стимула  будет справедливо
 , ,
|
|
т. е. суммарная реакция  будет равна сумме реакций на отдельные стимулы.
Если же реакция на стимул нелинейна, например,
 ,
|
|
то принцип суперпозиции перестает выполняться и
 , ,
|
|
Таким образом, мы уже не можем заменить изучение реакции системы на сложный стимул  изучением ее реакций на более простые стимулы  и  .
Саморегуляция означает способность объекта сохранять постоянство своего состояния посредством скоординированных реакций на изменение этого состояния. Это означает, например, способность объекта сохранять заданное направление или закон движения, а также способность поддерживать постоянство своей внутренней среды или даже способность воспроизводить себя. Первые два примера характерны, в первую очередь, для техники (разнообразные системы стабилизации). Вторые — для биологии (гомеостаз — способность организма поддерживать постоянство своей внутренней среды). Для нас важно то, что саморегулирующийся объект перестает быть пассивным, и его реакция на внешнее воздействие не может быть описана только законами физики.
Кроме того, появились новые задачи, связанные с этими новыми объектами и свойствами. В частности, задачи стабилизации и управления движением (а позже и — задачи самовоспроизведения и самоорганизации автоматов).
Оказалось, что закономерности поведения этих новых объектов исследований имеют много общего, хотя сами объекты относятся к разным областям науки. Дело в том, что такие объекты, как правило, состоят из множества частей, сложным образом взаимосвязанных между собой и их поведение зависит, главным образом, от этой взаимосвязи, а не конкретного вида самих частей. Поэтому возможно, опираясь на одни и те же принципы, понять поведение самых разных систем.
Все это вызвало к жизни многочисленные междисциплинарные научные подходы, в названии которых, как правило, фигурировало слово «система»: теория систем, системный анализ, наконец, системный подход.
Дадим определение понятию «система».
Система есть сущность, которая в результате взаимодействия ее частей может поддерживать свое существование и функционировать как единое целое.
Системное мышление означает, что внимание исследователя сосредоточено на свойствах системы как целого.
То, что системы функционируют как целое, означает, что у них есть свойства, отличающиеся от свойств составляющих их частей. Эти свойства систем известны как эмерджентные, или возникающие — они «возникают», когда система работает.
Благодаря тому, что мы имеем пару глаз, мы не просто расширяем поле зрения, но и воспринимаем мир объемно. Благодаря паре ушей наш слух не становится вдвое лучше, но мы слышим стереозвучание. Никакое знание о водороде и кислороде по отдельности не сможет подготовить вас к тому, что вода мокрая, и уж тем более — к появлению водоворотов.
Система обеспечивает свою целостность благодаря взаимодействию частей. Эти взаимосвязи между частями, а значит, и сама система могут быть простыми или сложными.
Сложность может проявляться двумя различными путями. Называя что-либо сложным, мы, как правило, представляем себе очень много различных частей. Это сложность, вызванная детализацией, количеством рассматриваемых элементов.
Сложность другого типа — динамическая. Она возникает в тех случаях, когда элементы могут вступать между собой в самые разнообразные отношения. Поскольку каждый из них способен пребывать во множестве различных состояний, то даже при небольшом числе элементов они могут быть соединены бессчетным множеством способов. Нельзя судить о сложности, руководствуясь количеством элементов, а не возможными способами их соединения.
Новые связи между образующими систему частями увеличивают сложность, а появление еще одного элемента может привести к созданию множества дополнительных связей. При этом их количество увеличивается не на единицу. Число возможных связей может вырасти экспоненциально — иными словами, добавление каждого последующего элемента увеличивает количество связей в большей степени, чем добавление предыдущего. Например, представьте, что мы начинаем всего с двух элементов, А и В. Здесь возможны только две связи и два направления влияния: А на В и В на А. Добавим еще один элемент. Теперь в системе три элемента: А, В и С. Число возможных связей, однако, выросло до 6 и даже до 12, если мы сочтем возможным, что два элемента вступают в союз и совместно влияют на третий (скажем, А и В влияют на С). Таким образом, для создания динамически сложной системы нужно не так уж много элементов, даже если каждый может пребывать только в одном состоянии.
Петли обратной связи. Привычное мышление склонно везде усматривать действие простых, локализованных в пространстве и во времени причинно-следственных связей. Однако когда речь идет о системах, вопросы, вроде: «кто в этом виноват?» зачастую не имеют прямого ответа. Поскольку все части системы связаны прямо или косвенно, то изменение в одной части порождает волны изменений, которые доходят до всех остальных частей. Значит, они тоже изменятся, а волны от этого процесса, в конце концов, достигнут той части, в которой началось изменение, т. е. возникнет обратная связь. В технике обратная связь означает, что на вход системы подаётся сигнал, пропорциональный её выходному сигналу.
На Рис. 8.1 показан общий вид замкнутой системы управления. Входом системы является эталонный сигнал; обычно мы хотим, чтобы выход системы был равен этому входному сигналу. Например, если речь идет о системе управления температурой в помещении, то таким входом может быть заданное пользователем значение температуры. Выход системы измеряется датчиком, и измеренное значение температуры сравнивается со входом (вычитается из него). Если выход равен входу, то разность между ними (ошибка) равна нулю, на объект не поступает никакой сигнал и выход объекта сохраняет текущее значение. Если ошибка не равна нулю, то корректирующее устройство заставляет объект реагировать таким образом, чтобы уменьшить величину ошибки.
Рис. 8.1
Итак, обратная связь предполагает, что часть выхода из системы снова подается на ее вход или система использует информацию о выходе на предшествующем шаге, чтобы внести изменения в то, что она делает на следующем. Самой важной концепцией в установлении структуры системы является идея, что все изменения обусловливаются «петлями обратных связей».
Наш опыт складывается в результате действий подобных петель обратной связи, хотя нам привычнее представлять себе одностороннее влияние. Проделайте следующий эксперимент. Попробуйте кончиком указательного пальца накрыть точку в конце этого предложения. Вы только что продемонстрировали действие петли обратной связи. Сомневаетесь? Попробуйте еще раз, только на этот раз с закрытыми глазами. Ну, как результат? Чтобы накрыть цель, глаза должны постоянно снабжать вас информацией о положении кончика указательного пальца относительно точки в конце предложения. Пока палец движется к цели, вы непрерывно корректируете его движение. Проделав то же самое с закрытыми глазами, вы доказываете, что палец нельзя уподобить стреле, сорвавшейся с тетивы лука и дальше летящей свободно по направлению к выбранной цели. На самом деле ваши глаза постоянно измеряют отклонение пальца от цели, а мышцы действуют так, чтобы уменьшить его.
Наличие обратных связей — неотъемлемая характеристика систем: нет обратных связей, нет и систем. Существует два основных типа обратной связи:
Уравновешивающая (отрицательная) обратная связь — когда изменение состояния системы служит сигналом к началу движения в противоположном направлении, чтобы восстановить утраченное равновесие (любая система стабилизации, например, регулятор сливного бачка; система «хищник-жертва»).
Усиливающая (положительная) обратная связь — когда изменение состояния системы служит сигналом к усилению первоначального изменения. Иными словами, система удаляется от первоначального состояния со всевозрастающей скоростью. Представьте себе снежный ком, скатывающийся по склону холма. С каждым оборотом на него налипает все больше снега, и он становится все больше, пока не превратится в снежную лавину. Другой пример: рост капитала в соответствии с формулой сложного процента.
Моделирование систем. Системная динамика Происхождение системной динамики
Большинство систем, которые в настоящее время привлекают внимание ученых, достаточно сложны. Как поведет себя глобальная экономика под влиянием кризиса, в каком направлении нужно развивать реформу здравоохранения, как может измениться экологическая обстановка в регионе при строительстве того или иного предприятия — все эти вопросы представляют собой проблемы, состоящие из большого числа взаимодействующих друг с другом элементов, т. е. системные вопросы. Такие вопросы характеризуются нелинейностью, задержками во времени, обратными связями и многими другими сложными для понимания явлениями.
В результате модели подобных систем также становятся очень сложными, и их создание требует значительной математической подготовки. Для специалистов из многих отраслей это является серьезной проблемой. Получается, что математические модели способны создавать лишь немногие избранные, в то время как остальным отводится роль пользователей или, в лучшем случае, консультантов.
С этой проблемой столкнулся Джей Форрестер во время преподавания в Слоановской бизнес-школе при МТИ. Результатом его работ конца 1950-х гг. стала системная динамика — новый «язык», описывающий поведение сложных систем, в зависимости от их структуры и взаимодействий (обратных связей, задержек реакции, влияния среды и др.). Системная динамика позволяла разрабатывать не только «формульное», но и визуальное представление системы, схему ее устройства.
Особое внимание при этом уделялось компьютерному моделированию подобных систем. В настоящее время для этого используются пакеты AnyLogic, PowerSim, Vensim, STELLA и iThink. Последний используется нами далее для иллюстрации концепций системной динамики. Рассмотрим подробнее нотацию системной динамики.
Основы системного моделирования в iThink
Одними из основных понятий в нотации моделирования являются понятия резервуара (stock) и потока (flow). Далее будет показано, как используя эти понятия создавать модели систем и исследовать их поведение с помощью iThink.
Резервуары отражают существующие в системе накопления (количество товаров на складе, денег в банке). Представьте себе бассейн. Как и бассейн, резервуар может быть полон, частично заполнен или вообще пуст. В системной динамике (и в пакете iThink) резервуары представляются прямоугольниками. Резервуары могут накапливать все что угодно — воду, деньги, людей, мотивацию, раздражение — как материальные, так и нематериальные объекты.
Потоки позволяют добавлять или отнимать что-либо из резервуаров. Это как труба, через которую вода вливается в бассейн или вытекает наружу. Кроме того, мы можем регулировать интенсивность потоков, также как регулируем количество воды при помощи крана.
В примере ниже (Рис. 8.2) резервуар Population (Население) представляет собой количество населения и пополняется за счет потока births (рождение) — т.е. за счет рождения людей.
Рис. 8.2
«Облака», из которых начинаются и которыми заканчиваются потоки, представляют собой бесконечные источники (стоки) — источники, находящиеся за пределами системы.
Чтобы задать изменение потока birth можно, например, ввести значение интенсивности этого потока (birth rate) и связать его с birth специальным элементом — соединителем (англ. — connector, красные стрелки на рисунках ниже). Если люди рожаются с постоянной интенсивностью, то население в Population будет расти линейно (Рис. 8.3 и Рис. 8.4).
Рис. 8.3
Рис. 8.4
Аналогично, поток deaths (смертность) моделирует убыль населения. Если смертность постоянна, то население убывает с постоянной скоростью (Рис 8.5.).
Рис. 8.5
Связи указывают на взаимодействие между частями системы. В модели ниже (Рис. 8.6 и Рис. 8.7) рождаемость (поток births) зависит от коэффициента рождаемости birth rate и от количества населения (Population).
Рис. 8.6
Кружок, представляющий коэффициент рождаемости birth rate называется конвертером (converter). Конвертеры могут содержать константы или выражения и используются для модификации остальных частей модели.
Рис. 8.7
Поток births flow определяется как Population*birth rate. Задавая конкретное значение — сделать это можно двойным щелчком мыши на соответствующем элементе — коэффициента рождаемости в birth rate, получаем график изменения численности населения.
Здесь мы видим пример положительной обратной связи: количество населения увеличивается и это, в свою очередь, увеличивает прирост населения.
Составим математическую модель нашей системы. Обозначим количество населения через  (для краткости, хотя можно было бы продолжать использовать Population). Тогда прирост населения, т.е. поток births представляет собой производную от по времени и равен
где — коэффициент рождаемости (birth rate).
Решение этого уравнения запишется в виде
где  — начальная численность населения.
Заметим, что население в нашей модели растет экспоненциально с течением времени. iThink позволяет построить эти уравнения автоматически, по созданной нами схеме модели. Сгенерированные уравнения находятся на вкладке Equation (Рис. 8.8).
Рис. 8.8
Эта закономерность была впервые обнаружена англичанином Томасом Робертом Мальтусом на рубеже XVIII-XIX веков и стала обоснованием идеи о том, что «пряников сладких всегда не хватает на всех». По мнению Мальтуса бедность была вызвана исключительно перенаселённостью, а справиться с перенаселенностью «помогают» войны, голод, болезни.
Эта точка зрения («мальтузианство») вызвала масштабную критику. В частности, К. Маркс справедливо указывал, что есть, как минимум, еще один путь решения проблемы — изменение общественного устройства. Еще один вариант решения отмеченной Мальтусом проблемы появился в 1830-х гг. в работах бельгийца Пьера Франсуа Ферхюльста.
Вернемся к модели на Рис. 8.6. В ней нет каких-либо средств, ограничивающих рост населения. Добавим в нее фрагмент, отражающий смертность населения (deaths). Смертность зависит от коэффициента смертности (death rate) и от численности населения (Population).
Таким образом, в системе появляется отрицательная обратная связь (больше население → больше смертей → быстрее убыль населения), отвечающая за стабилизацию поведения системы (Рис. 8.9).
Рис. 8.9
Заметим, что коэффициент смертности death rate, в свою очередь, зависит от численности населения: если плотность населения становится слишком велика, смертность увеличивается.
Математически эта модель записывается так
где  — ёмкость среды, т. е., максимально возможная численность населения.
Перепишем уравнение следующим образом
где  — коэффициент смертности.
Для моделирования влияния численности населения на коэффициент смертности в модели Ферхюльста, как видно, используется простейшая линейная зависимость
Уравнение Ферхюльста также имеет аналитическое решение
которому соответствует логистическая зависимость (рис. 8.10).
Рис. 8.10
iThink в этом случае «конструирует» такую систему уравнений:
Литература
Системный анализ и принятие решений. Словарь-справочник; под ред. В. Н. Волковой, В. Н. Козлова .— М.: Высшая школа, 2004 .— 614 с.: ил.
Алексинская Т. В. Учебное пособие по решению задач по курсу экономико-математические методы и модели. — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. — 153 с.
Вентцель Е.С. Популярные лекции по математике. Элементы теории игр (Выпуск 32). — М.: Физматгиз, 1961. — 72 с.
Грешилов А. А. Математические методы принятия решений — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006 .— 583, [1] с.: ил.
Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. — М.: Высшая школа, 1983. — 383 с.
Емельянов А.А. Имитационное моделирование в экономических информационных системах./ А.А. Емельянов, Е.А. Власова - М.: Изд-во МЭСИ, 1998.-108 с.
Коломоец, Ф. Г. Основы системного анализа и теории принятия решений — M.: Тесей, 2006 .— 318, [2] с.: ил.
Кузнецов Ю. А., Перова В. И Применение пакетов имитационного моделирования для анализа математических моделей экономических систем. — Нижний Новгород: ННГУ, 2007. — 98 с.
Минько А.А. Принятие решений с помощью Excel. — М.: Эксмо, 2007. — 240 с. , [1] с.: ил.
Мур Дж., Уэдерфорд Л. и др. Экономическое моделирование в MS Excel. — М.: Вильямс, 2004. — 1024 с.
Петровский А. Б. Теория принятия решений — М.: Издательский центр «Академия», 2009 .— 398, [1] с.: ил.
Сидоренко В.Н. Системная динамика. - М.: ТЕИС, 1998. – 205 с.
Таха Х. Введение в исследование операций. — М.: Вильямс, 2005. — 912 с.
Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. — М.: Дело, 2000. — 431 с.
Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. — М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. — 590 с.
|
