Математические методы и модели

Скачать 1.09 Mb.

Название	Математические методы и модели
страница	5/8
Дата публикации	05.05.2015
Размер	1.09 Mb.
Тип	Задача

100-bal.ru > Математика > Задача

1 2 3 4 5 6 7 8

Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀: _m=0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для =0,05, =7 находим t_кр=2,365. Вычисляем t_набл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле t_набл(b_j)=b_j/S*_b_j:
t_набл(b₁)=b₁/S*_b₁=0,71892/0,05171=13,903

t_набл(b₂)=b₂/S*_b₂=1,51303/1,48818=1,01667.
Так как t_набл(b₁) > t_кр (13,903 > 2,365), t_набл(b₂) < t_кр(1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии ₁0, а коэффициент регрессии ₂=0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.
4. Пошаговый регрессионный анализ
Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’₀+b’₁x₁. Вектор оценок b’ определим по формуле b=(X^TX)^–1X^TY, где

	n	x_i1		10	75
X^TX =	x_i1	x²_i1	=	75	835

	y_i		61,4		b’₀		0,52534
X^TY =	x_iy_i	=	664,5	b =	b’₁	=	0,74861

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x₁.

Повторив далее вычисления по пп 2 и 3, определяем, что новая оценка уравнения регрессии и его коэффициент значимы при =0,05.
5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции

(на примере без исключения переменной)

а) находим вектор средних:

X_ср=(x₁_ср; x₂_ср; y_ср)=(7,5; 1,41; 6,14);

б) находим вектор среднеквадратических отклонений S=(s₁; s₂; s_y) по формуле s_j=([(x_ij- x_j_ср)²]/n)^0,5, i=1…n:

S=(5,22; 0,18; 3,91);

в) формируем корреляционную матрицу

	1	r₁₂	r_1y
R=	r₂₁	1	r_2y
	r_y1	r_y2	1

где r₁₂=r₂₁=[(x₁x₂)_ср-x_1срx_2ср]/(s₁s₂), r_yj=r_jy=[(x_jy)_ср-x_jсрy_ср]/(s_js_y):

	1	-0,565	0,997
R=	-0,565	1	-0,612
	0,997	-0,612	1

6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции
Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:
r_12/y=(r₁₂-r_1yr_2y)/[(1-r_1y²)(1-r_2y²)]^0,5=0,738;

r_1y/2=(r_1y-r₁₂r_y2)/[(1-r₁₂²)(1-r_y2²)]^0,5=0,998;

r_2y/1=(r_1y-r₁₂r_y2)/[(1-r₁₂²)(1-r_y2²)]^0,5=-0,762.
Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:

1	0,738	0,998
0,738	1	–0,762
0,998	–0,762	1

Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный – отличен от нуля.

В данном примере r_12/y=0,738, а r₁₂=-0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x₁) и себестоимостью товарной продукции (y): r_1y=0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.

7. Проверка значимости парных и частных

коэффициентов корреляции
Проверка осуществляется с помощью таблиц t-распределения Стьюдента.

Для r₁₂: t_набл=(10-2)^0,5(-0,565)/(1-(-0,565)²)^0,5=1,93683кр_(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: ₁₂=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (t_набл=1,93683>t_кр_(8;0,1)=1,86).

Для r_2y: t_набл=(10-2)^0,5(-0,612)/(1-(-0,612)²)^0,5=2,20621кр_(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: _2y=0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (t_набл=1,93683 > t_кр_(8;0,1)=1,86).

Для r_1y: t_набл=(10-2)^0,50,997/(1-0,997²)^0,5=36,43263>t_кр_(8;0,05)=2,306; гипотеза H₀: _1y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_12/y: t_набл=(n-3)^0,50,738/(1-0,738²)^0,5=2,893542>t_кр_(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _12/y=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_1y/2: t_набл=(n-3)^0,50,998/(1-0,998²)^0,5=41,77023>t_кр_(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _1y/2=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_2y/1: t_набл=(n-3)^0,5(-0,762)/(1-(-0,762)²)^0,5=3,11324>t_кр_(7;0,05)=2,365; гипотеза H₀: _2y/1=0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

8. Расчет оценок множественных коэффициентов

корреляции и детерминации
Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:

r_y/12= (r_y1²+ r_y2²+ 2r_y1r_y2r₁₂)/(1-r₁₂²)(1-r_y2²)]^0,5=0,999;

r_y/12²=0,999²=0,997.
9. Проверка значимости множественных коэффициентов

корреляции и детерминации
Проверим гипотезу H₀: ²_y/12=0 по F-критерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:

F_набл= [r²_y/12/(k-1)]/[(1-r_y/12)/(n-k)]=[0,997/(3-1)]/[(1-0,997)/(10-3)]=1163.

По таблице F-распределения для =0,05, ₁=k-1=2, ₂=n-k=7 находим F_кр=4,74. Так как F_набл>F_кр, то гипотеза о равенстве ²_y/12=0 отвергается.

Аналогично осуществляется проверка гипотезы _y/12=0 (в данном примере опущено).

Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x₁ и x₂, т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.

Литература к задаче 1

Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.–М.:Финансы и статистика, 1985
Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.–М.:Финансы и статистика, 1983
Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.–М.:Высш.шк., 1988.
Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.–М.:Высшая школа, 1980.

Задача 2

Динамическое программирование
Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование i-тым предприятием x_i млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции f_i(x_i).

Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.

Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Исходные данные

Объем кап.вложений x_i, млн.руб.	Прирост выпуска продукции f_i(x_i), млн.руб.
	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
0	0	0	0
100	а	50	40
200	50	80	d
300	b	90	110
400	110	150	120
500	170	с	180
600	180	210	220
700	210	220	240

Таблица 6

Варианты исходных данных

Вариант	a	b	c	d
1	30	90	190	50
2	20	80	160	70
3	35	100	190	60
4	40	110	180	90
5	30	100	190	60

Окончание табл. 6

Вариант	a	b	c	d
6	35	80	160	70
7	40	80	160	70
8	40	100	190	60
9	30	110	160	90
10	40	110	190	90
11	20	100	190	60
12	20	80	180	60
13	35	110	190	50
14	40	90	160	50
15	30	90	190	90
16	35	90	160	70
17	40	90	190	50
18	20	90	150	90
19	20	80	190	60
20	20	110	160	70
21	40	90	190	60
22	30	110	190	55
23	35	90	180	70
24	45	85	170	90
25	40	85	170	50

В задаче необходимо:

1. Составить рекуррентное соотношение Беллмана в виде функциональных уравнений.

2. Используя рекуррентные соотношения и исходные данные определить сначала условно оптимальные, а затем оптимальные распределения капиталовложений между предприятиями.

Методические указания к решению задачи 2

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выйгрыш на данном шаге плюс оптимальный выйгрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Общая последовательность решения задач динамического программирования следующая.

Выбрать способ описания процесса, т.е. параметры, характеризующие состояние системы, фазовое пространство и способ членения операции на шаги.
Записать выигрыш w_i на i-том шаге в зависимости от состояния системы S в начале этого шага и управления U_i:

w_i= w_i(S, U_i)

Записать для i-того шага функцию выражающую изменение состояния системы от S к S’ под влиянием управления U_i:

S’=(S, U_i).

Записать основное функциональное уравнение, выражающее функцию W_i(S) через W_i+1(S):

W_i(S)=max_U_i{w_i(S, U_i)+W_i+1(_i(S, U_i))}

Найти функцию W_m(S)=max_U_m{w_m(S, U_m)} – условный оптимальный выйгрыш для последнего шага (максимум берется только по тем направлениям, которые приводят систему в заданную область конечных состояний S*_w ) и соответствующее ей условное оптимальное управление на последнем шаге U_m(S).
Зная W_m(S) и пользуясь уравнением из п.4, при конкретном виде функций w_i(S, U_i), _i(S, U_i), найти одну за другой функции:

W_m-1(S), W_m-2(S), … , W₁(S)

и соответствующие им условные оптимальные управления:

U_m-1(S), U_m-2(S), … , U₁(S).

Если начальное состояние системы S₀ задано, то найти оптимаьный выйгрыш W_max(S₀), и далее безусловные оптимальные управления (и, при необходимости, конечное состояние системы) по цепочке:

S₀U₁(S₀)S*₁ U₂(S*₁)S*₂ U₃(S*₂)…S*_m-1 U_m(S*_m-1)S*_m.

Если начальное состояние S₀ не задано, а ограничено условием S₀S₀, тонайти оптимальное начальное состояние, при котором выйгрыш достигнет максимума и далее по цепочке, безусловные оптимальные управления.

В данной задаче вместо того, чтобы рассматривать допустимые варианты распределения капиталовложений между n предприятиями и оценивать их эффективность, необходимо исследовать эффективность вложения средств на одном предприятии, на двух предприятиях и т.д., наконец, на n предприятиях. Таким образом получим n этапов, на каждом из которых состояние системы (3 предприятия) описывается объемом средств, подлежащих освоению k предприятиями (k=1n). Управлениями будут являться решения об объемах капиталовложений, выделяемых k-тому предприятию.
Литература к задаче 2

Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.– М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988.
Вентцель Е.С. Основы исследования операций.– М.: Советское радио, 1972.
Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования.– Минск:Изд-во БГУ,1975.
Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов по экон. специальностям / Под ред. Н.Ш.Кремера.– М.: Банки и биржи,1997.
Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах.– М.: Высшая школа,1979.

Задача 3

Марковские случайные процессы
Исходные данные задачи.

Р

азмеченный граф состояний системы представлен на рис. 1.
Заданы следующие состояния системы.

S1 – исправна, функционирует (загружена).
S2 – исправна, не функционирует (не загружена).
S3 – неисправна, факт неисправности устанавливается.
S4 – факт неисправности установлен, ведется поиск неисправности.
S5 – ремонтируется.
S6 – ведется профилактический осмотр.
S7 – ведется профилактический ремонт.

Обозначение исходных данных для расчета интенсивностей потоков событий приведено в таблице 7.

Таблица 7

Обозначение исходных данных

Наименование	Обозначение	Размерность
Среднее время наработки на отказ	T1	сутки
Среднее время функционирования системы	T2	часы
Среднее время простоя исправной системы	T3	часы
Среднее время установление факта неисправности	T4	часы
Среднее время поиска неисправности	T5	часы
Среднее время устранения неисправности (ремонта)	T6	часы
Периодичность профилактического осмотра	Один раз в T7 дней	сутки
Средняя продолжительность проф. осмотра	T8	часы
Средняя продолжительность проф. ремонта	T9	часы

В задаче требуется определить следующее. Окупит ли себя увеличение дохода, связанное с уменьшением T_i в n_j раз (n₁=2; n₂=3), если при этом возникают дополнительные затраты в размере 0,5n₁D_i, и 0,75n₂D_i, где D_i – убыток, приносимый системой в соответствующем времени T_i состоянии.

Варианты исходных данных приведены в табл. 8.
Таблица 8

Варианты исходных данных

№	Значения T_i									Доход D_i в единицу времени в зависимости от состояния системы (руб.)
вар.	Т₁	Т₂	Т₃	Т₄	Т₅	Т₆	Т₇	Т₈	Т₉	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	Т_i
1	20	6	0,3	0,4	0,9	1,3	22	0,6	6	207	-23	-5	-4	-23	-8	-9	3
2	23	4	0,4	0,2	0,6	1,7	38	0,9	6	229	-24	-6	-3	-15	-11	-11	7
3	24	8	0,3	0,4	0,9	1	22	0,9	7	207	-21	-5	-2	-23	-7	-9	7
4	20	4	0,3	0,3	0,6	1,3	35	1	7	247	-20	-4	-7	-22	-7	-8	3
5	20	4	0,1	0,6	0,9	2,1	32	0,6	6	208	-20	-6	-6	-17	-11	-8	3
6	21	4	0,4	0,5	0,7	1,2	44	0,8	6	297	-22	-2	-6	-10	-7	-9	3
7	20	4	0,3	0,5	0,6	2	23	0,5	5	228	-19	-3	-4	-21	-7	-8	7
8	18	4	0,4	0,2	0,6	0,9	24	0,9	6	214	-24	-2	-7	-25	-9	-9	7
9	19	5	0,1	0,3	0,7	1	42	0,9	5	280	-21	-6	-7	-15	-9	-9	7
10	21	8	0,1	0,6	0,5	1,5	40	1	7	226	-20	-6	-3	-18	-9	-11	3
11	18	8	0,2	0,6	1	0,8	48	0,8	6	214	-20	-6	-7	-16	-8	-8	7
12	21	4	0,2	0,6	1	0,9	32	0,8	5	277	-23	-5	-4	-13	-7	-10	3
13	21	4	0,4	0,5	0,6	2,2	46	0,7	6	295	-23	-4	-2	-11	-10	-10	7
14	18	4	0,1	0,3	0,8	0,8	20	0,6	5	264	-22	-6	-4	-24	-8	-8	7

Окончание табл. 8

№	Значения T_i									Доход D_i в единицу времени в зависимости от состояния системы (руб.)
вар.	Т₁	Т₂	Т₃	Т₄	Т₅	Т₆	Т₇	Т₈	Т₉	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	Т_i
15	19	6	0,4	0,3	0,9	2,1	29	0,9	7	208	-20	-5	-3	-17	-10	-10	7
16	22	4	0,3	0,2	0,5	0,9	35	0,8	5	255	-24	-4	-7	-22	-8	-9	3
17	18	8	0,4	0,5	1	0,8	33	0,5	7	207	-21	-2	-4	-15	-10	-11	3
18	20	5	0,4	0,5	1	1,9	22	0,6	5	207	-21	-5	-4	-25	-8	-9	7
19	21	5	0,1	0,6	0,9	1,3	40	0,9	5	235	-18	-2	-3	-11	-10	-11	3
20	18	5	0,2	0,3	0,8	1,2	43	0,5	6	293	-23	-2	-5	-21	-7	-11	7
21	25	4	0,2	0,2	0,6	1,2	45	0,7	7	277	-19	-5	-4	-13	-11	-10	3
22	18	5	0,2	0,5	0,8	1	34	0,8	6	210	-21	-6	-5	-20	-9	-11	3
23	19	8	0,3	0,6	0,8	2	33	1	6	232	-25	-2	-3	-14	-11	-12	7
24	22	8	0,1	0,3	1	1,9	29	0,9	7	238	-24	-2	-2	-21	-10	-10	3
25	24	5	0,1	0,6	0,5	0,8	41	1	7	266	-22	-5	-4	-15	-11	-12	7

Методические указания к решению задачи 3

Расчитываются интенсивности потоков событий.
Составляются уравнения Колмогорова.
Находится решение уравнений Колмогорова (вручную и численно).
Вычисляются финальные вероятности состояний системы.
Используя значения финальных вероятностей состояний определяется доход, приносимый системой в единицу времени.
Определяется изменение дохода при уменьшении T_i. Для этого пересчитывается интенсивность соответствующенго потока событий, находится новое решение уравнений Колмогорова и новые финальные вероятности. После этого определяется новое значение дохода, определяется его разница с предыдущим и результат сопоставляется с произведенными дополнительными затратами.

Численное решение уравнений Колмогорова производится в среде MS EXCEL. Текст программы на языке VB для EXCEL приведен в приложении 2. Оформление рабочего листа – в приложении 3.
Литература к задаче 3

Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.–М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988.
Вентцель Е.С. Основы исследования операций.– М.: Советское радио, 1972.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.– М.: Наука, 1991.
Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов.-М.:Радио и связь, 1993.

Задача 4

1 2 3 4 5 6 7 8

	Васильев е. П. Экономико математические методы и модели часть I Лукинова С. Г., Шатохина Л. В., Васильев Е. П. Экономико-математические методы и модели Часть I. Учебно-методический комплекс. –...		Горюшкин А. А., Хуторецкий А. Б. Математические модели и методы исследования... Горюшкин А. А., Хуторецкий А. Б. Математические модели и методы исследования операций: курс лекций: Учеб пос. Новосиб национ иссл...
	Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономико-математические... Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономико-математические методы и модели»		План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы» Раздел №2 Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели
	Тема: «Математические расчеты семейного бюджета» Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов...		Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...
	Программа дисциплины «Экономико-математические методы и модели в... ...		Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Курса «Математические методы в психологии» Выписка из образовательного стандарта по дисциплине «Математические методы в психологии»		Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей... ...
	Дисциплины «математические методы в инженерных задачах» Кафедра математики Направление Математические методы в инженерных задачах – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются, способствующая развитию...		Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов по дисципли... Содержание внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математические методы в психологии» включает в себя различные...
	Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется... Эконометрика, Математический анализ, Микроэкономика, Макроэкономика, Дифференциальные и разностные уравнения, Дискретные математические...		Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математические методы в исторических исследованиях» Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 030600. 62 «История», изучающих...

Математические методы и модели

XTX =

=

XTY =

=

b =

Таблица 5

Методические указания к решению задачи 2

Таблица 7

T1

сутки

Похожие:

X^TX =

X^TY =