Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л. Г. Петерсон «Учусь учиться»

самостоятельно записывают в тетради решение, а в это время один из тех учеников, кто с анализом задачи справляется недостаточно уверенно, еще раз проговаривает ход решения. В заключение учащиеся сопоставляют свои записи с образцом, который учитель заранее заготавливает на доске или демонстрирует с помощью презентации. 1) 45 + 85 = 130 (л) – было всего сока. 2) 18 · 2 = 36 (л) – израсходовали на обед. 3) 18 + 36 = 54 (л) – израсходовали на обед и завтрак. 4) 130 – 54 = 76 (л). Ответ: осталось 76 л сока. На уроке 5 закрепляется и систематизируется материал, изученный на предыдущих уроках (множество, элемент множества, различные способы задания и обозначения множеств, диаграмма Эйлера-Венна, равные множества, знаки  и ). Урок подготавливает учащихся к изучению понятий «подмножество» и «пересечение множеств». Также на данном уроке ученики повторяют алгоритм деления с остатком, составляют буквенные выражения к текстовым задачам, находят значения буквенных выражений, повторяют алгоритм действий с 0 и 1. На уроках 6 – 8 у учащихся формируется представление о подмножестве как части множества, они учатся утанавливать отношение включения множеств и использовать для записи этого отношения знаки  и . Также на этих уроках ученики знакомятся с решением задач на пропорциональные величины, отрабатывают приемы устных и письменных вычислений, повторяют зависимость между компонентами и результатами арифметических действий, решают уравнения. Множество А считается подмножеством множества В, если каждый элемент А является одновременно элементом В. Это записывают так: А ⊂ В. Из этого определения следует, что понятие подмножества для конечных множеств аналогично обычному понятию части, однако у них есть и некоторые отличия. Действительно, часть, вообще говоря, меньше целого. А любое множество является подмножеством самого себя: А ⊂ А, так как каждый элемент А является элементом А. Далее:  ⊂ A , так как пустое множество вообще не содержит элементов, и, значит, оно удовлетворяет определению подмножества. Чтобы уточнить различие, подмножеству не равному А или  (т. е. обычному понятию части) сопоставляется термин «правильная часть» (собственное подмножество). Учащиеся знакомятся с понятием подмножества на уроке 6. На этапе актуализации знаний необходимо повторить с учащимися различные способы задания множеств и их изображение с помощью диаграммы Эйлера–Венна. Затем можно предложить им на одной диаграмме построить, например, множество жителей Москвы (М) и множество жителей России (Р). Элементы этих множеств практически невозможно изобразить точками, поэтому, вероятно, возникнут разные варианты рисунков. Для разрешения проблемной ситуации можно предложить детям проанализировать диаграмму в № 1, стр. 16. Вопросы, приведенные в тексте задания, помогут выявить и осознать особенность взаимосвязи между множествами А и В: зайцы – часть множества животных, изображенных на рисунке, поэтому диаграмма множества А находится внутри диаграммы множества В. Но точно так же множество М является частью множества Р, значит, диаграмма множества М должна находиться внутри диаграммы множества Р: Учитель сообщает, что часть множества обычно называют подмножеством, и просит детей выразить смысл этого термина своими словами (одно множество является частью другого, включено в него, содержится в нем). Затем можно предложить учащимся придумать свой символ для обозначения данного отношения между множествами и, когда они предложат несколько своих вариантов, познакомить с общепринятым знаком включения и уточнить разные варианты чтения записи А ⊂ В. Аналогично запись А ⊄ В означает, что А не является подмножеством (частью) В, А не включено в В, А не содержится в В. После этого соотношение между множествами М и Р ученики могут записать и прочитать уже сами: М ⊂ Р. При введении знака включения ⊂ полезно сразу проговорить с обучающимися, чем он похож и чем отличается от знака принадлежности ∈ (нет черты посередине, ставится между двумя множествами, тогда как знак ∈ ставится между элементом и множеством и т. д.). В тетради в клетку под диктовку можно предложить учащимся сделать несколько записей на использование знаков ⊂, ⊄, ∈, ∉, например: 1) множество N является подмножеством множества К; 2) множество D не является подмножеством множества Е; 3) число 5 принадлежит множеству С; 4) число 7 не принадлежит множеству С. Сделанные записи ученики должны прочитать разными способами и объяснить их смысл. Понятие подмножества отрабатывается в № 2–6, стр. 16–17 и № 4–6, стр. 19–20. В задании № 6, стр. 20 еще раз подчеркивается различие между знаками принадлежности (∈) и включения (⊂): знак ∈ ставится между элементом и множеством, а знак ⊂ – между двумя множествами. Например, элемент m принадлежит множеству D (m ∈ D), но множество М включено в множество D (M ⊂ D). B № 6, стр. 20 надо найти верные записи, а остальные зачеркнуть: Учащиеся должны обосновать свои выводы, например: – Неверно, что А включено в В, так как А не является частью В (в А есть элементы, которых нет в В). – Верно, что А не является подмножеством В, так как в А есть элементы, которых нет в В. – Запись «А не принадлежит В» неверна, так как знак  не может стоять между множествами. И т. д. На уроке 6 можно предложить учащимся опорный конспект (1), а после урока 7 – опорный конспект (2): На уроке 7 рассматриваются задачи нового типа – задачи, в которых изменение одной величины в несколько раз приводит к изменению соответствующей величины во столько же раз (с пропорциональными величинами). На этапе актуализации знаний следует вспомнить с учащимися смысл умножения и деления, а затем предложить им самостоятельно решить задачу нового типа, например: «В 2 одинаковых банках 6 кг варенья. Сколько килограммов варенья войдет в 7 таких банок?» Обучающиеся под руководством учителя сами составляют схему к задаче проводят анализ ее решения: – Чтобы узнать, сколько варенья войдет в 7 банок, можно массу варенья в одной банке умножить на 7. Известно, что в 2 одинаковых банках уместилось 6 кг варенья. Значит, в каждой банке 6 : 2 = 3 кг варенья, а в 7 таких банках – 3 · 7 = 21 кг. Существенным в алгоритме решения этой задачи является то, что вначале ищется масса варенья в одной банке, а затем – ответ на вопрос задачи. Другими словами, на первом шаге значение искомой величины приводится к единице. Чтобы фиксировать внимание учащихся на первом шаге, вначале решение задачи записывают по действиям и лишь после этого переходят к составлению выражений: (6 : 2) · 7 = 21 (кг). Затем учитель может показать обучающимся запись условия таких задач с помощью таблицы и предложить сравнить ее со схемой (схема нагляднее, но рисовать ее менее удобно): 2 б. – 6 кг 7 б. – ? кг 1 б. – ? кг Задания учебника № 1–3, стр. 19 и дополнительное задание № 10, стр. 21 можно использовать на этапах первичного закрепления и самостоятельной работы с самопроверкой в классе, при этом задания № 1, 2 (а) выполняются на печатной основе, а задания № 2 (б), 3, 10 – в тетради в клетку. Для домашней работы целесообразно предложить учащимся составить и решить аналогичную задачу, иллюстрируя ее с помощью таблицы и схемы. В менее подготовленных классах можно дать готовое выражение к задаче, например: (16 : 8) · 6. На последующих уроках решение задач этого типа отрабатывается и закрепляется в № 9, стр. 24, № 9 (б), стр. 27, № 7, стр. 29. Необходимо также использовать наиболее удачные задачи, составленные учениками. В задании № 10, стр. 18 отрабатываются понятия числового луча, делителя и кратного, приемы внетабличного умножения, деления с остатком. Вначале учащиеся отмечают на числовом луче двузначные числа, кратные 12, а затем используют чертеж для деления с остатком на 12. Чтобы зафиксировать в памяти учащихся кратные 12, можно предложить им опорный конспект или игровую ситуацию, в которой эти числа должны быстро воспроизводиться. На уроке 8 закрепляется решение задач на приведение к единице. В № 1, стр. 22 учащиеся вспоминают алгоритм решения этих задач. При этом внимание учеников обращается на возможность решения задачи двумя способами. а) I способ 3 мин – 240 м 6 мин – ? м 1 мин – ? м 1) 240 : 3 = 80 (м) – проходит в 1 минуту 2) 80 · 6 = 480 (м) (240 : 3) · 6 = 480 (м) II способ Заметим, что 6 мин в 2 раза больше 3 мин. Поскольку скорость Антона не менялась, он за 6 мин пройдет расстояние в 2 раза большее. 1) 6 : 3 = 2 (раза) 2) 240 · 2 = 480 (м) 240 · (6 : 3) = 480 (м) Ответ: за 6 минут Антон пройдет 480 метров. На уроках 9 – 11 учащиеся знакомятся с операцией пересечения множеств, ее записью с помощью знака ∩ и ее основными свойствами (переместительным, сочетательным). Также у учащихся формируется умение решать новый тип задач на пропорциональные величины, закрепляются вычислительные навыки, они повторяют переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, правило порядка действий в выражениях, решают уравнения, повторяют алгоритм деления с остатком, понятия множества и подмножества. Из нескольких данных множеств можно получать новые множества, применяя операции их объединения и пересечения. На уроках 9 – 11 рассматривается операция пересечения множеств. Пересечением множеств А и В называют их общую часть, т. е. множество всех элементов, которые принадлежат одновременно как А, так и В. Например, пересечением множества самолетов и множества средств пассажирского транспорта является множество пассажирских самолетов. Пересечение множеств А и В обозначают: А ∩ В. Диаграмма пересечения множеств закрашена на рисунке: С операцией пересечения множеств учащиеся знакомятся на 9 м уроке, однако подготовительная работа была проведена в № 7, стр. 11, № 3, стр. 13, № 3, стр. 22, № 8, стр. 23. На этапе актуализации знаний в № 1, стр. 24 учащимся предлагается найти общую часть областей А и В и обвести ее границу красной линией. В № 2, стр. 24 рассматривается конкретный пример пересечения множеств К и Т: По рисунку ясно видно, что общими элементами данных множеств являются Надя и Петя. Учащиеся подчеркивают эти имена в записи множеств К и Т и обозначают пересечение множеств на диаграмме цветным карандашом. Затем понятие пересечения множеств формулируется в обобщенном виде и рассматривается отвлеченный пример. Выясняется, что для нахождения пересечения множеств надо найти в этих множествах общие элементы (их удобно обозначать подчеркиванием). В заданиях № 3–8, стр. 24–25 закрепляется понятие пересечения множеств и алгоритм его нахождения. При выполнении задания № 8, стр. 25 необходимо учесть, что на предыдущем уроке в № 7, стр. 23 учащиеся находили пересечение треугольников по готовым рисункам и с помощью моделей. Теперь им предлагается самостоятельно построить в тетради или на отдельном листке треугольники, пересечением которых являются заданные фигуры (шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник, треугольник, отрезок, точка), и непересекающиеся треугольники. На уроке 10 рассматриваются свойства пересечения множеств: 1) А ∩ В = В ∩ А – переместительное, 2) (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) – сочетательное. Целью этой работы является, с одной стороны, повторение свойств сложения и умножения чисел, а с другой – закрепление понятия пересечения множеств, изученного на предыдущем уроке. Предлагаемый материал не является обязательным для усвоения всеми учащимися и носит дополнительный характер. Он имеет высокую дидактическую ценность при условии организации поисковой, исследовательской деятельности обучающихся, так как в этом случае не только способствует закреплению материала прошлого урока, но и развивает мышление учеников, учит их переносу знаний (в данном случае фундаментальных законов арифметических операций). Вместе с тем в дальнейшем свойства пересечения множеств используются лишь в дополнительных заданиях, поэтому их формальное заучивание в готовом виде и без осознания взаимосвязей со свойствами операций над числами является дидактически нецелесообразным. На этапе актуализации знаний в устную фронтальную работу включаются упражнения на использование свойств сложения и умножения, например: 75 + 198 + 2 + 125, 9 · 2 · 7 · 5. Обсуждается наиболее рациональный способ их решения. Затем учитель спрашивает у обучающихся, какие свойства сложения и умножения помогли решить эти примеры, и просит написать и проговорить эти свойства в обобщенном виде: Затем учитель предлагает учащимся установить, выполняются ли переместительное и сочетательное свойства для других арифметических операций: вычитания и деления. Выясняется, что нет: 7 – 3 3 – 7, 16 : 2 2 : 16 и т. д. Таким образом, не все известные нам операции обладают указанными свойствами. На предыдущем уроке изучена новая операция над множествами – пересечение. Ставится проблема: установить, обладает ли пересечение множеств переместительным и сочетательным свойствами. В завершение беседы следует предложить учащимся попытаться самостоятельно записать и выразить в речи соответствующие равенства: Далее учащиеся проводят исследование, в котором устанавливается истинность записанных равенств. К уроку надо подготовить для каждого ребенка по 3 разноцветных овала, вырезанных из пленки. Аналогичное пособие, но большего размера предназначено для фронтальной работы. Учитель прикрепляет 2 овала, изображающих множества А и В, на доске (они хорошо держатся, если смочить их водой) и просит кого либо из учеников показать сначала множество А ∩ В, а потом множество В ∩ А. Выясняется, что в обоих случаях это одно и то же множество – общая часть множеств А и В. То же самое делают учащиеся у себя за столом. В итоге формулируется переместительное свойство пересечения множеств. Затем по учебнику решается № 2, стр. 27 c проговариванием в громкой речи: Аналогично сочетательное свойство сложения сначала моделируется с помощью цветной пленки, а затем в № 3, стр. 27 строится его графическая модель. Это задание также выполняется с комментированием. Перед его выполнением надо еще раз сопоставить с учащимися выражения (А ∩ В) ∩ С и А ∩ (В ∩ С) и проговорить, чем они отличаются. В первом случае находится сначала пересечение множеств А и В, а затем – его пересечение с множеством С. Во втором случае, наоборот, сначала вычисляется В ∩ С и только потом – его пересечение с множеством А. Выполнив эти операции с помощью раскрашивания, учащиеся находят результат пересечения на диаграммах и обводят красным карандашом. Они должны заметить, что в обоих случаях получаются одинаковые результаты – общая часть диаграмм множеств А, В и С. Значит, (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С). Во всей этой работе над свойствами пересечения множеств важно, чтобы учащиеся учились размышлять, ориентироваться в нестандартной ситуации, осуществлять перенос знаний, обосновывать полученные выводы. Подчеркнем еще раз, что речь здесь идет не об изучении теории множеств и запоминании формальных правил, а об «открытиях» учеников, наблюдении ими красоты и силы математических понятий, позволяющих выявлять общие закономерности в совершенно различных на первый взгляд явлениях. На уроках 9–11 повторяются и закрепляются теоретико множественные понятия, изученные на предыдущих уроках: множество и его элементы, подмножество, пересечение множеств. В заданиях № 1–3, стр. 30 вводятся задачи на пропорциональные величины нового вида. Вначале в № 1, стр. 30 они сопоставляются с аналогичными заданиями, изученными ранее. Учащимся предлагается решить задачу: «Три одинаковых торта весят 12 кг. Чему равна масса 5 таких же тортов?» Пользуясь таблицей, они составляют выражение, проговаривая каждый шаг решения, а затем находят значение полученного выражения: 3 т. – 12 кг 5 т. – ? кг 1 т. – ? кг (12 : 3) · 5 = 20 (кг) Затем рассматриваются все возможные варианты обратных задач и их решение: 3 т. – ? кг 3 т. – 12 кг ? т. – 12 кг 5 т. – 20 кг ? т. – 20 кг 5 т. – 20 кг 1 т. – ? кг 1 т. – ? кг 1 т. – ? кг (20 : 5) · 3 = 12 (кг) 20 : (12 : 3) = 5 (т.) 12 : (20 : 5) = 3 (т.) Общее во всех задачах – то, что для их решения в первом действии надо узнать массу одного торта, поэтому эти задачи называются задачами «на приведение к единице». А отличаются по тому, какое действие выполняется последним. В данной задаче и первой обратной задаче – умножение, так как по массе одного торта ищется масса нескольких тортов. А в последних двух задачах – деление, так как по массе одного торта и массе нескольких тортов ищется их количество. На основе выведенного алгоритма задачи № 2 (а), стр. 30 и № 3 (а), стр. 30 можно использовать на этапе первичного закрепления, причем решение задачи № 2 (а) записывается на печатной основе, а № 3 (а) – в тетради в клетку. С целью подготовки уроков по теме «Как люди научились считать?» уже на данном этапе обучения заранее целесообразно предложить учащимся в качестве задания по внеклассному чтению прочитать дома стр. 46–58 учебника в течение следующих 8–10 дней. На уроках 12 – 14 формируется представление об объединении множеств, учащиеся знакомятся с основными свойствами этой операции (переместительным, сочетательным) и ее записью с помощью знака ∪. Также обучающиеся знакомятся с записью в столбик умножения двузначного числа на однозначное и сводящихся к нему случаев умножения круглых чисел. В ходе данных уроков учащиеся закрепляют вычислительные навыки, повторяют переместительное и сочетательное свойства изученных операций, правило порядка действий в выражениях, частные случаи действий с 0 и 1, правило умножения круглых чисел, алгоритм деления с остатком, пересечение множеств, решают уравнения и текстовые задачи. Все элементы множества А и все элементы множества В, вместе взятые, образуют новое множество, называемое объединением множеств А и В. Объединение множеств А и В обозначается символом: А ∪ В. Диаграмма объединения этих множеств закрашена на рисунке: С понятием объединения множеств учащиеся знакомятся на уроке 12. На этапе актуализации знаний следует повторить с учащимися уже изученную операцию пересечения множеств – ее определение и алгоритм выполнения. На этапе постановки проблемы можно использовать задание № 1, стр. 33. В нем учащимся предлагается закрасить цветными карандашами области А и В и обвести красным карандашом всю закрашенную область. Затем учитель может спросить, является ли выполненная операция пересечением множеств? В чем ее отличие от операции пересечения? Как можно было бы назвать выполненную операцию? Как ее можно определить? Выслушав мнения и предложения учеников, учитель знакомит их с общепринятым названием и обозначением рассматриваемой операции: А ∪ В. Затем он предлагает учащимся вывести алгоритм выполнения операции пересечения множеств, рассмотрев конкретный пример в № 2, стр. 33. С помощью подводящего диалога учащиеся должны установить, что для нахождения всех победителей шахматно шашечного турнира надо к победителям шахматного турнира добавить Сашу и Диму – тех победителей шашечного турнира, кто не вошел в первую группу. Значит, для того чтобы найти объединение множеств А и В, можно взять все элементы множества А и добавить к ним те элементы множества В, которые не входят в А. После этого понятие объединения множеств рассматривается на отвлеченном примере, а в № 3–8, стр. 33–34 оно закрепляется и сопоставляется с понятием пересечения. Задания № 3, 4 и 6 используются на этапе первичного закрепления с проговариванием в громкой речи, № 5 – на этапе самостоятельной работы с самопроверкой в классе, а № 7, 8 являются дополнительными. В задании № 3, стр. 33 ученики должны сделать следующие выводы: А ∩ В – множество людей, которые умеют плавать и играть на скрипке. А ∪ В – множество людей, которые умеют плавать или играть на скрипке. При решении данной задачи следует обратить внимание обучающихся на то, что при использовании в речи союза «и» предполагается одновременное выполнение всех указанных свойств, связанных этим союзом, а при использовании союза «или» речь идет о выполнении хотя бы одного из указанных свойств. На уроках 13–14 теоретико множественный материал, изученный на предыдущих уроках, закрепляется в № 4–8, стр. 36–37 и № 7–8, стр. 40. В задании № 4, стр. 36 повторяются различные способы задания множеств. Учащиеся должны перечислить элементы множеств, заданных свойством, и записать эти элементы в фигурных скобках: а) {10, 11, 12, 13}; б) {999}; в) {158, 185, 518, 581, 815, 851}. При выполнении последнего задания следует обратить внимание на упорядоченный перебор цифр в записи числа: первая цифра поочередно фиксируется, а две остальные переставляются. При выполнении задания № 6, стр. 37 внимание учеников обращается на фиксацию алгоритмов нахождения пересечения и объединения множеств: • Чтобы найти пересечение множеств, надо взять их общие элементы. • Чтобы найти объединение множеств, надо взять элементы одного множества и добавить недостающие элементы второго множества. На диаграмме выделяется цветным карандашом множество C ∩ D. Свойства объединения множеств рассматриваются на уроке 14 аналогично тому, как рассматривались свойства пересечения множеств на уроке10. Вначале в № 1, стр. 39 учащиеся вспоминают переместительное и сочетательное свойства изученных операций (сложения и умножения чисел, пересечения множеств), обсуждают, где используются эти свойства. Затем ставится проблема: выполняются ли эти свойства для объединения множеств? Учащиеся должны сами сформулировать и записать переместительное и сочетательное свойства для нового действия: Исследование этих свойств на этапе «открытия» нового знания проводится с помощью предметных моделей, сделанных из цветной пленки. Здесь же формулируются и записываются соответствующие выводы. Затем в № 2–3, стр. 39 на этапе первичного закрепления эти выводы проговариваются в громкой речи. Задание № 4, стр. 40 можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы с самопроверкой в классе. В этом задании они уже сами должны дописать равенства, выражающие свойства объединения множеств: D ∪ M = M ∪ D (D ∪ M) ∪ B = D ∪ (M ∪ B) На 13 м уроке учащиеся знакомятся с записью в столбик произведения двузначного числа на однозначное. Целью этой работы является, с одной стороны, закрепление навыков табличного умножения чисел, а с другой – опережающая подготовка к изучению умножения многозначного числа на однозначное. На этапе актуализации знаний надо повторить сложение и вычитание чисел в столбик, нахождение площади прямоугольника по известным его сторонам и графическую модель распределительного свойства умножения: Далее можно предложить учащимся объяснить прием умножения двузначного числа на однозначное, используя распределительное свойство умножения, например: 24 · 8 = (20 + 4) · 8 = 20 · 8 + 4 · 8 = 160 + 32 = 192 Для постановки проблемы можно обратить их внимание на то, что запись решения получается громоздкая, неудобная. Ставится цель – придумать более компактную, удобную запись по аналогии с записью сложения и вычитания в столбик. Логика рассуждений в подводящем диалоге может быть примерно такой: 20 · 8 = 160 4 · 8 = 32 – Произведение 24 и 8 равно площади прямоугольника со сторонами 24 ед. и 8 ед. Разбив большую сторону на части 20 ед. и 4 ед., видим, что вся площадь равна сумме площадей получившихся прямоугольников: 32 и 160 кв. ед. Записав сумму в столбик, приходим к более удобной записи умножения: Она означает, что для вычисления произведения надо умножить на 8 сначала 4 единицы, затем 2 десятка и сложить полученные произведения. Однако эту запись можно еще упростить, вычисляя число десятков «в уме». Тогда число десятков первого произведения удобно писать для памяти над числом десятков первого множителя: Решение примеров комментируется так: Умножаю единицы: 8 · 4 = 32 ед., 2 единицы пишу под единицами, а 3 десятка запоминаю. Умножаю десятки: 8 · 2 = 16 дес. К 16 дес. добавляю 3 дес.: 16 + 3 = 19. Пишу 9 в разряде десятков, а 1 – в разряде сотен. Ответ: 192. Для этапов первичного закрепления и самостоятельной работы с самопроверкой в классе предназначены примеры № 2–3, стр. 36, а дома можно предложить учащимся составить и решить свои аналогичные примеры. На уроке 14 эта работа продолжается в № 5–6, стр. 40. В этих заданиях учащиеся знакомятся с записью умножения круглых чисел в столбик. Вначале они самостоятельно составляют таблицу, в которой систематизируются свойства сложения и умножения. Затем им предлагается, пользуясь свойствами умножения, обосновать прием умножения круглых чисел. Поскольку вначале они перемножаются, «не глядя на нули», а потом нули лишь приписываются, то при записи умножения круглых чисел в столбик нули удобно смещать вправо. Примеры на умножение в столбик двузначного числа на однозначное и сводящееся к нему умножение круглых чисел затем систематически включаются в уроки (№ 8, стр. 61; № 11, стр. 76; № 3, стр. 86; № 5, стр. 89; № 12, стр. 94; № 7, стр. 99 и др.) и создают прочную основу изучения умножения многозначного числа на однозначное. В заданиях № 9–10, стр. 35 и № 9, стр. 37 повторяется решение задач на приведение к единице. В № 9, стр. 35 целесообразно предложить учащимся составить задачи, обратные данным, чтобы сопоставить оба типа задач. В № 9, стр. 37 дети должны сравнить две «похожие» задачи – с одинаковыми числами, но разным математическим содержанием, – объяснить, чем они похожи и чем отличаются, а затем решить. Дома можно предложить им самим составить и решить подобные задачи. На уроке 15 формируется представление о непересекающихся подмножествах одного множества, о свойствах числа их элементов, проводится аналогия со свойствами чисел. У учащихся формируется представление о разбиении множества на части (классификации) на основании некоторого признака. Также закрепляются вычислительные навыки, повторяются свойства множеств, решение уравнений и текстовых задач. На 15 уроке вводится понятие непересекающихся множеств, разбиения множества на непересекающиеся подмножества на основании некоторого признака. Учащиеся знакомятся с понятием классификации. Под классификацией в науке понимают результат разбиения всего множества на непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение производится на основании некоторого признака (основания классификации), позволяющего однозначно отнести каждый элемент множества к определенному подмножеству, при этом должны выполняться следующие условия: 1) все полученные подмножества попарно не пересекаются. 2) объединение всех подмножеств составляет исходное множество. Классификацию можно выполнить путем указания признака. Например, множество многоугольников можно разбить на части «треугольники» и «не треугольники». Классификация используется во всех областях знания для выявления закономерностей изучаемых явлений (классификация организмов в биологии, классификация химических элементов в периодической системе элементов Д.И.Менделеева, классификация книг в библиотеке, классификация языков в языкознании, классификация запасов полезных ископаемых, классификация наук и т. д.). Поэтому формирование представления о классификации – одно из важных условий подготовки школьников к сознательному усвоению ими новых понятий по всем учебным дисциплинам. Кроме того, включение операции классификации в процесс обучения наряду с другими приемами умственных действий (анализ и синтез, сравнение, обобщение, аналогия) оказывает самое положительное влияние на развитие мышления учащихся. Умение выполнять классификацию формируется на конкретных примерах. Уже в 1 классе учащиеся выполняли задания на классификацию группы предметов по различным признакам (цвету, форме, размеру, назначению и т. д.). Этот материал целесообразно включить в урок на этапе актуализации знаний. Сначала можно спросить учащихся, приходилось ли им когда нибудь наводить порядок. И выслушать 2–3 ответа (уборка игрушек, комнаты, размещение марок в альбоме и т. д.). Затем предложить им «навести порядок» в множестве фигур – разбить их на части по цвету: Затем ученикам можно сказать, что разбиение множества предметов на части по некоторому свойству – это своеобразное «наведение порядка» в множестве, в математике его называют классификацией. Подобно тому, как наводится порядок в вещах, все элементы множества как бы «раскладываются по полочкам». Ни один предмет не может находиться одновременно на двух полках – он должен лежать на вполне определенном месте (иначе не будет порядка). Кроме того, порядок наведен лишь тогда, когда все предметы убраны. Точно так же и о множестве говорят, что оно разбито на части, если каждый его элемент попал только в одну часть. В № 1, стр. 42 учащиеся рассматривают два случая разбиения конечных множеств: на непересекающиеся и пересекающиеся подмножества. В обоих случаях множество А является объединением двух других множеств: а) В ∪ С = А; б) В ∪ D = A. Однако в № 1(а) множества непересекающиеся, поэтому число элементов А равно сумме чисел элементов В и С (4 + 2 = 6). Множества В и D имеют общий элемент – большой треугольник, значит, сумма чисел элементов В и D не равна числу элементов множества А (4 +3  6). В № 2, стр. 42 учащиеся делят все элементы множеств А и В на две части: съедобные и несъедобные предметы. Выясняется, что каждый предмет либо съедобный, либо несъедобный, и, значит, он попадает только в одну часть. Поэтому о множествах А и В можно сказать, что они разбиты на части по признаку съедобные – несъедобные. В то же время множество А нельзя разбить на части несъедобные предметы – грибы, так как мухомор попадает в обе части, а множество В нельзя разбить на части съедобные предметы и овощи, потому что бабочка и стрекоза не попадут ни в одну из этих частей, а огурец и помидор попадут в обе. В обоих случах «порядок не наведен». Отсюда вывод: множество разбито на части (в нем «наведен порядок», проведена классификация), если каждый его элемент попал только в одну часть. Признак, по которому множество разбивается на части (в примерах А и В – съедобные или несъедобные предметы), называется основанием классификации. В № 3, стр. 43 «порядок наведен» в множествах А и X – в них каждый элемент попал в одну часть. О них можно сказать: они разбиты на части, в них проведена классификация. Множество А разбито на части замкнутые и незамкнутые линии, а множество X – на части параллелепипеды и цилиндры. В множестве T «порядок не наведен», так как серый круг принадлежит одновременно обеим частям М и К. В множестве D также «порядок не наведен», поскольку некоторые фигуры не попали ни в одну из выделенных частей E и F. В дальнейшем можно рассматривать классификацию множеств выражений, уравнений, задач, слов, предложений по самым разнообразным признакам. Подобные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся и способствуют более глубокому и осознанному усвоению ими новых понятий. Поэтому подобные задания следует по возможности чаще включать в устную фронтальную работу.

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л. Г. Петерсон «Учусь учиться»		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л. Г. Петерсон «Учусь учиться»
	Уроки 18 27. «Математика это классификация и изучение всех возможных... Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л. Г. Петерсон «Учусь учиться»		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...
	Рабочая программа по математике к учебнику Л. Г петерсон для 3-а класса «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...		Рабочая учебная программа по курсу «математика» для четырёхлетней начальной школы «Учусь учиться» Л. Г. Петерсон, разработанную на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего...
	Стихотворение Державина «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...		Методические рекомендации Кемеровский район 2010 Автор З. М. Волкова,... Методические рекомендации предназначены для учителей математики, которые могут быть применены на уроках и групповых занятиях. В рекомендациях...
	Протокол №1 от18 октября 2010 г «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...		Рабочая программа по математике для 3-б класса 4 часа в неделю (всего... «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...
	Методическая разработка урока по литературному чтению во 2 классе... «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...		Методические рекомендации по организации самостоятельной учебной,... Методические рекомендации для учителей и школьников по работе с современными социальными веб-сервисами для включения информационных...
	«мир деятельности» 1 класс методические рекомендации для учителей Под ред. Л. Г. Петерсон В условиях решения стратегических задач развития России «важнейшими качествами личности становятся инициативность, способность творчески...		Методические рекомендации по курсу для студентов отделения социологии Екатеринбург 2004 Бухарцева Н. Г., Забара Л. И. Методические рекомендации и планы семинарских занятий по курсу истории философии для студентов отделения...
	Методические рекомендации к выполнению домашних письменных работ Методические указания предназначены для организации семинарских занятий по курсу «Психология делового общения» для факультетов технических...		Методические рекомендации к выполнению домашних письменных работ Методические указания предназначены для организации семинарских занятий по курсу «Психология делового общения» для факультетов технических...