Основное содержание по темам
|
Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
|
1
|
2
|
1. Действительные числа (15 ч)
|
Расширение множества натуральных чисел до множества целых, множества целых чисел до множества рациональных. Рациональное число как отношение m/n, где m - целое число, а n - натуральное число.
Степень с целым показателем.
Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа √2 и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел.
Множество действительных чисел; представление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сравнение действительных чисел.
Взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками координатной прямой. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч
|
Описывать множество целых чисел, множество рациональных чисел, соотношение между этими множествами.
Сравнивать и упорядочивать рациональные числа, выполнять вычисления с рациональными числами, вычислять значения степеней с целым показателем.
Формулировать определение квадратного корня из числа. Использовать график функции у = x2 для нахождения квадратных корней. Вычислять точные и приближенные значения корней, используя при необходимости калькулятор; проводить оценку квадратных корней.
Формулировать определение корня третьей степени; находить значения кубических корней, при необходимости используя калькулятор.
Исследовать свойства квадратного корня, кубического корня, проводя числовые эксперименты с использованием калькулятора, компьютера.
Приводить примеры иррациональных чисел; распознавать рациональные и иррациональные числа; изображать числа точками координатной прямой.
Находить десятичные приближения рациональных и иррациональных чисел; сравнивать и упорядочивать действительные числа.
Описывать множество действительных чисел.
Использовать в письменной математической речи обозначения и графические изображения числовых множеств, теоретико-множественную символику
|
2. Измерения, приближения, оценки (10 ч )
|
Приближенное значение величины, точность приближения, Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Выделение множителя - степени 10 в записи числа.
Прикидка и оценка результатов вычислений
|
Находить, анализировать, сопоставлять
характеристики объектов окружающего мира.
Использовать запись чисел в стандартном виде для выражения размеров объектов, длительности процессов в окружающем мире.
Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10.
Использовать разные формы записи приближенных значений; делать выводы о точности приближения по их записи.
Выполнять вычисления с реальными данными.
Выполнять прикидку и оценку результатов вычислений
|
З. Введение в алгебру (8 ч)
|
Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных.
Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество
|
Выполнять элементарные знаково-символические действия: применять буквы для обозначения чисел, для записи общих утверждений; составлять буквенные выражения по условиям, заданным словесно, рисунком или чертежом; преобразовывать алгебраические суммы и произведения (выполнять приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, упрощение произведений).
Вычиcлять числовое значение буквенного выражения: находить область допустимых значений переменных в выражении
|
4. Многoчлены (45 ч)
|
Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание. умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения.
Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители
|
Формулировать, записывать в символической форме и обосновывать свойства степени с натуральным показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений.
Выполнять действия с многочленами.
Доказывать формулы сокращенного умножения, применять их в преобразованиях выражений и вычислениях.
Выполнять разложение многочленов на множители.
Распознавать квадратный трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей.
Применять различные формы самоконтроля при выполнении преобразований
|
5. Aлrебраические дроби (22 ч)
|
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
Степень с целым показателем и ее свойства.
Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств
|
Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его для преобразования дробей.
Выполнять действия с алгебраическими дробями. Представлять целое выражение в виде многочлена, дробное - в виде отношения многочленов; доказывать тождества.
Формулировать определение степени с целым показателем. Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами свойства степени с целым показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений
|
6. Квадратные корни (12 ч)
|
Понятия квадратного корня, арифметического квадратного корня. Уравнение вида х2=a. Свойства арифметических квадратных корней: корень из произведения, частного, степени; тождества (√а)2 = a, где
a≥0, √а2= ꞋаꞋ. Применение свойств арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений и вычислений
|
Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выражений.
Вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни; выражать переменные из геометрических и физических формул.
Исcледовать уравнение вида х2 = а; находить точные и приближенные корни при а> О
|
7. Уравнения с одной переменной (38 ч)
|
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Биквадратное уравнение.
Примеры решения уравнений третьей и четвертой степеней разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим способом
|
Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня. Функциональные свойства выражений.
Распознавать линейные и квадратные уравнения, целые и дробные уравнения.
Peшaть линейные, квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения.
Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат
|
8. Системы уравнений (30 ч)
|
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Примеры решения уравнении в целых числах.
Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое второй степени. Примеры решения систем нелинейных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными.
График линейного уравнения с двумя переменными, угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых.
Графики простейших нелинейных уравнений (парабола, гипербола, окружность).
Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными
|
Определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя переменными; приводить примеры решения уравнений с двумя переменными.
Решать задачи, алгебраической моделью которых является уравнение с двумя переменными; находить целые решения путём перебора.
Решать системы двух уравнений с двумя переменными, указанные в содержании.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления системы уравнений; решать составленную систему уравнений; интерпретировать результат.
Строить графики уравнений с двумя переменными. Конструировать эквивалентные речевые высказывания
с использованием алгебраического и геометрического языков.
Решать и исследовать уравнения и системы уравнений на основе функционально-графических представлений
|
9. Неравенства (20 ч)
|
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства
Системы линейных неравенств с одной переменной
|
Формулировать свойства числовых неравeнств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически; применять свойства неравенств в ходе решения задач.
Распознавать линейные и квадратные неравенства. Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств. Решать квадратные неравенства на основе графических представлений
|
10. Зависимости между величинами (15 ч)
|
Зависимость между величинами.
Представление зависимостей между величинами в виде формул. Вычисления по формулам.
Прямая пропорциональная зависимость: задание формулой, коэффициент пропорциональности; свойства. Примеры прямо пропорциональных зависимостей.
Обратная пропорциональная зависимость: задание формулой, коэффициент обратной пропорциональности; свойства. Примеры обратных пропорциональных зависимостей.
Решение задач на прямую пропорциональную и обратную пропорциональную зависимости
|
Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами, вычислять по формулам.
Распознавать прямую и обратную пропорциональные зависимости. Решать текстовые задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости (в том числе с контекстом из смежных дисциплин, из реальной жизни)
|
11. Числовые функции (35 ч)
|
Понятие функции. Область определения и множе ство значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функции, их отображение на графике: возрастание и убывание функции, нули функции, сохранение знака. Чтение и построение гра фиков функций.
Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики.
Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства.
Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства. Графики функций у =√х. у =3√x, у = Ꞌ х Ꞌ
|
Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости использовать калькулятор); со ставлять таблицы значений функций.
Строить по точкам графики функций. Описывать свойства функции на основе её графического представ ления.
Моделировать реальные зависимости помощью формул и графиков. Интерпретировать графики реальных зависимостей.
Использовать функциональную символику для запи си разнообразных фактов, связанных с рассматриваемы ми функциями, обогащая опыт выполнения знаково-сим волических действий. Строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.
Использовать компьютерные программы для по строения графиков функций, для исследования положе ния на координатной плоскости графиков функций в за висимости от значений коэффициентов, входящих в формулу.
Распознавать виды изучаемых функций. Показывать схематически положение на координатной плоскости графиков функций вида у = kx, у = kx + Ь, у=к/х, у=ах2, у = ах2 + с, у = ах2 + Ьх + с в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулы.
Строить графики изучаемых функций; описывать их свойства
|
12. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии (15 ч)
|
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты
|
Применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности.
Вычислять члены последовательностей, заданных формулой n-го члена или рекуррентной формулой. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если известны первые несколько ее членов.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания. Выводить на основе доказательных рассуждений формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий; решать задачи с использованием этих формул.
Рассматривать примеры из реальной жизни, иллюстрирующие изменение в арифметической прогрессии, в геометрической прогрессии; изображать соответствующие зависимости графически.
Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики (с использованием калькулятора)
|
13. Описательная статистика (10 ч)
|
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Представление о выборочном исследовании (Репрезентативные и не репрезентативные выборки)
|
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным. Определять по диаграммам наибольшие наименьшие данные, сравнивать величины.
Представлять информацию в виде таблиц, столбчатых и круговых диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.
Приводить примеры числовых данных (цена, рост, время на дорогу и т. д.), находить среднее арифметическое. Размах, дисперсию числовых наборов.
Приводить содержательные примеры использования средних и дисперсии для описания данных (уровень воды в водоеме, спортивные показатели, определение границ климатических зон)
|
14. Случайные события и вероятность (15 ч)
|
Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события Достоверные и недостоверные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности
|
Проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты. Вычислять частоту случайного события; оценивать вероятность с помощью частоты, полученной опытным путем.
Приводить примеры достоверных и невозможных событий. Объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий.
Решать задачи на нахождение вероятностей событий.
Использовать при решении зада свойство вероятностей противоположных событий.
|
15. Элементы комбинаторики (10 ч)
|
Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факт ориал
|
Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций.
Применять правило комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа объектов или комбинаций (диагонали многоугольника, рукопожатия, число кодов, шрифтов, паролей и т.п.)
Распознавать задачи на определение числа перестановок и выполнять соответствующие вычисления.
Решать задачи на вычисление вероятности с применением комбинаторики
|
16. Множества. Элементы логики (7 ч)
|
Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера - Венна.
Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. оказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример.
Понятия о равносильности, следовании, употребление логических связок если ... , то ... , в том и только том случае. Логические связки и, или
|
Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить объединение и пересечение множеств. Приводить примеры несложных классификаций.
Использовать теоретико-множественную символику и язык при решении задач в ходе изучения различных разделов курса.
Воспроизводить формулировки определений; конструировать несложные определения самостоятельно. Воспроизводить формулировки и доказательства изученных теорем, проводить несложные доказательства самостоятельно, ссылаться в ходе обоснований на определения, теоремы, аксиомы
Иллюстрировать математические понятия и утверждения примерами. Использовать примеры и контрпримеры в аргументации.
Конструировать математические предложения с помощью связок если …, то …, в том и только том случае, логических связок и, или
|
Резерв времени 10 ч
|
