4 Допускаемые напряжения и коэффициенты запаса прочности при растяжении (сжатии)
Напряжения, при которых материал разрушается или значительно деформируется при текучести, называют предельными.
В элементах конструкций напряжение не должно достигать предельного значения, а должно составлять только его некоторую часть. При расчетах на прочность сравнивают фактические рабочие напряжения не с предельными, а с допускаемыми напряжениями, которые значительно меньше предельных напряжений, то есть
σ [σ ],
где σ - рабочее (действующее) напряжение;
[σ ] - допускаемое напряжение при растяжении или сжатии.
При растяжении или сжатии стержня его прочность будет обеспечиваться при условии
σ = N/ F [σ ].
Допускаемое напряжение связано с предельным напряжением зависимостью
[σ] = σ / [n],
где σ - предельное напряжение;
[n] - допускаемый коэффициент запаса прочности.
Допускаемый (требуемый) коэффициент запаса прочности выбирается по нормам, которые устанавливаются по критериям безопасной эксплуатации проектируемой конструкции.
Действительный коэффициент запаса прочности (не путать с допускаемым) определяется отношением предельного напряжения к наибольшему рабочему (действующему) напряжению
n = σ / σ.
Взамен условия прочности σ [σ] можно пользоваться выражением
n = σ / σ [n].
Из формулы условия прочности легко получить наибольшую допускаемую величину продольной силы для растянутого стержня
[N] = F·[σ ].
Задавшись допускаемым напряжением [σ ], можно определить требуемую площадь сечения стержня
F N / [σ ].
При расчетах на смятие исходят из предпосылки, что силы взаимодействия между деталями равномерно распределены по всей контактной поверхности и перпендикулярны к ней.
σ = P/F [σ ],
где Р – сила взаимодействия между деталями;
F - расчётная площадь смятия;
[σ ] – допускаемое напряжение смятия.
[σ ] = (0,6 – 0,7)[σ ].
Явление, происходящие в сварных швах и заклепках, при резке или штамповке металла дают представление о деформации сдвига, а разрушение вызванное сдвигом называется срезом. При деформации сдвига поперечные сечения сдвигаются относительно друг друга. При этом возникают касательные (тангенциальные) напряжения.
Касательные напряжения, возникающие в плоскости среза
τ = P/S,
где Р – перерезывающее усилие;
S – плоскость среза.
Условия прочности при расчете на срез имеет вид
τ = P/S [τ ];
[τ ] = (0,5 – 0,8)[σ ].
Если деформация сдвига не выходит за пределы упругой, то касательные напряжения τ пропорциональны относительному углу сдвига , т.е. соблюдается закон Гука при сдвиге
τ = G· ,
где - относительная угловая деформация (угол сдвига);
G – модуль упругости при сдвиге
G = E/2(1+µ),
здесь Е – модуль упругости при растяжении;
µ - коэффициент Пуассона.
7 Геометрические характеристики плоских сечений
7.1 Осевые моменты инерции
При расчетах на растяжение (сжатие) роль геометрической характеристики прочности и жесткости бруса играет его площадь сечения. При расчетах на кручение, изгиб и сложное сопротивление прочность и жесткость зависит от других, более сложных, геометрических характеристик сечения.
Y
ΔF
x
ΔF
-x
y
ΔF
x
X
y
y
O
-y
ΔF
x
Рисунок 7 – Схема к понятию статического момента площади
Фигуру, изображенную на рисунке 7, разобьём на элементарные площадки ΔF. Умножим площади этих площадок ΔF на расстояния от их центров тяжести до осей координат и просуммируем эти произведения
S S
Эти величины называются статическими моментами площади относительно данной оси. Умножив площади этих площадок на квадраты расстояний до осей или , и затем, суммируя эти произведения в пределах площади, получим величины, которые называются осевыми моментами инерции относительно оси «у» или «x» и обозначается, соответственно: I или I .
I
I
В этих формулах:
I - осевой момент инерции относительно «у»;
I - осевой момент инерции относительно «х».
Размерность осевого момента [площадь ] или [длина ], т.е. она измеряется в м , см или мм (степень четная, значит величина осевого момента инерции всегда положительна.
7.2 Полярный момент инерции
Полярным моментом инерции называется сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний от центров тяжести до данной точки (полюса), взятой по всей площади сечения
I
o
x
Рисунок 8 – Схема к определению полярного момента инерции
Из рисунка 8 очевидно, что , следовательно
или
Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции плоской фигуры относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.
7.3 Момент сопротивления плоской фигуры
Отношение момента инерции плоской фигуры (сечения) относительно центральной (проходящей через центр тяжести) оси « » к наибольшему расстоянию « » крайних точек сечения от этой оси называется осевым моментом сопротивления сечения, относительно рассматриваемой оси и определяется
или относительно оси « », соответственно,
.
7.4 Моменты инерции и моменты сопротивления прямоугольника
Формулы для определения моментов инерции плоских фигур получают, используя методы высшей математики (интегрирование по заданной площади). Исходя из этого, осевые моменты инерции прямоугольника, изображенного на рисунке 9, относительно его осей, определяют по формулам:
Рисунок 9 – Моменты инерции и сопротивления прямоугольника
Для квадратного сечения а = b, поэтому I .
Момент сопротивления W прямоугольного сечения относительно центральной оси « » будет:
, т.е. и, соответственно, W .
Для квадратного сечения: .
Размерность момента сопротивления плоского сечения [длина ], т.е. м ,см , мм .
7.5 Моменты инерции и моменты сопротивления круглого сечения
Полярный момент инерции входит в формулы для расчетов на прочность и жесткость при кручении брусьев круглого или кольцевого сечений.
d
Рисунок 10 – Моменты инерции и сопротивления круглых сечений
Приведем без выводов соответствующие формулы:
для круга : ;
для кольца : ,
где - отношение диаметров.
Отношение полярного момента инерции круга или кольца к радиусу сечения r называется полярным моментом сопротивления :
=
для круга : ;
для кольца : .
Ввиду симметрии круга к любому диаметру можно записать равенство осевых моментов, т.е. ,
тогда , или ,
соответственно :
для круга : ;
для кольца : .
Разделив выражение для осевых моментов инерции на радиус (0,5d), получим осевые моменты сопротивления:
для круга : ;
для кольца : .
7.6 Главные центральные моменты инерции. Вычисление моментов инерции составных сечений.
Ось симметрии сечения и перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр тяжести, называются главными центральными осями.
Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции.
Из этих определений следует:
- для прямоугольника: оси симметрии являются главными центральными осями;
- для круга и кругового кольца : любой диаметр является осью симметрии, поэтому он является главной центральной осью, а все главные центральные моменты инерции равны между собой.
Для определения главных центральных моментов инерции составных сечений их разбивают на простые части, для которых могут быть вычислены площади, координаты центров тяжести, моменты инерции относительно собственных главных центральных осей.
Для профилей проката (уголков, швеллеров, двутавров и др.) эти величины берут из соответствующих стандартов, используя справочную литературу.
Далее определяются координаты центра тяжести всего составного сечения по формулам известным из теоретической механики
;
.
Определив положение центра тяжести составной фигуры, находят положение главных центральных осей всего сечения.
После этого определяют моменты инерции каждый из частей, на которые разбито сечение, относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям всего сечения.
Применяя правила параллельного переноса, находят моменты инерции каждой простой части относительно главных центральных осей всего сечения
,
где - момент инерции простой части относительно главной центральной оси составного сечения;
- момент инерции простой части относительно собственной главной оси;
е – расстояние между параллельными осями простой части и составной фигуры;
– площадь сечения простой части.
Суммируя эти величины, получают главные центральные моменты составного сечения
;
.
|
