10 Сложное напряженное состояние
10.1 Обобщённый закон Гука
Пусть на призматический элемент действуют растягивающие напряжения σ ,σ , σ (рисунок 19). Касательные напряжения на рисунке 19 не показаны, поскольку они не изменяют длину сторон элемента. Материал элемента принимаем изотропным, поэтому линейные и угловые деформации рассматриваем как независимые.
ℓ
x
Рисунок 19 - Трёхосное растяжение элемента
Рассмотрим линейные деформации по оси х, созданные нормальными напряжениями с учетом того, что результат действия группы сил равен сумме действия каждой силы в отдельности.
Деформация в направлении оси х от действия напряжения σ
будет
ε =
Деформации по оси х от действия напряжений σ и σ
соответственно равны
ε = - ε = - .
Здесь напряжения принимаются минусовыми, так как они вызывают в направлении оси х поперечные деформации, уменьшающие размеры элемента.
Складывая деформации, вызванные напряжениями σ , σ и σ ,
получим аналитическое выражение закона Гука для линейных деформаций в направлении осей x, y, z :
Растягивающие напряжения в эти формулы ставятся со знаком « + », а сжимающие - со знаком « – ».
10.2 Теории прочности
Для получения расчетных формул того или иного вида нагружений выдвигаются некоторые гипотезы. Области использования расчетных формул определяются по их соответствию опытным данным. В настоящее время применяются несколько теорий (гипотез) прочности.
По теории максимальных нормальных напряжений преобладающим является влияние на прочность максимальных нормальных напряжений, при которых происходит разрушение материала. Условие прочности будет иметь вид:
По теории наибольших относительных деформаций предполагается, что разрушение происходит, когда максимальная деформация достигает предельной для данного материала величины, при этом условие прочности запишется:
По теории наибольших касательных напряжений разрушение происходит, когда максимальное касательное напряжение достигает предельной для данного материала величины. Условие прочности по этой теории:
По энергетической теории прочности разрушение происходит, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельной для материала величины. Здесь условие прочности:
Сложным сопротивлением принято считать нагружения, при которых в поперечных сечениях балки действуют два и более силовых фактора.
11.1 Косой изгиб
Косым называется такой изгиб, при котором плоскость его действия не проходит через главные оси инерции сечения. Его рассматривают как одновременное действие двух изгибающих моментов относительно осей х и у (рисунок 20).
M
Условие прочности будет иметь вид
Рисунок 20 – Расчетная схема косого изгиба
В этой формуле условия прочности при косом изгибе «х» и «у» – координаты точки наиболее удалённой от нейтральной оси.
На нейтральной оси σ = 0, следовательно:
Уравнение нейтральной линии будет иметь вид:
11.2 Внецентренное растяжение или сжатие
O
O
A
x
y
Внецентренным называется такое растяжение или сжатие, при котором линия действия внешней силы не проходит через ось бруса (рисунок 21).
Рисунок 21 – Схема внецентренного растяжения
x
yo
Такое нагружение рассматривают как одновременное действие центральной силы и двух изгибающих моментов относительно осей «х» и «у», которые определяются как
Условие прочности при внецентренном растяжении или сжатии
где и - координаты следа линии действия внешней силы;
х и у - координаты точки наиболее удалённой от нейтральной линии;
F - площадь сечения бруса.
На нейтральной линии σ = 0, следовательно
.
Уравнение нейтральной линии в отрезках на осях координат:
11.3 Прямой изгиб с растяжением (сжатием)
Для определения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса, применим принцип независимости действия сил, т.е. найдём напряжение в произвольной точке опасного сечения как алгебраическую сумму напряжений от растягивающей силой N и изгибающего момента
Используя известные из деформаций растяжения и изгиба формулы, получим условие прочности при их совместном действии
11.4 Изгиб с кручением
Одновременному изгибу и кручению подвергаются валы различных механических передач (зубчатых, ременных и др.).
По критерию наибольших касательных напряжений
По энергетическому критерию
.
Заметим, что величина эквивалентного напряжения по первой из этих формул несколько больше, чем по второй, поэтому при проектировочном расчёте диаметра вала обычно пользуются теорией наибольших касательных напряжений.
Максимальные нормальные и касательные напряжения возникают на поверхности стержня, поэтому для круглых сечений
Для круглых сечений полярный момент инерции равен
Полярный момент сопротивления, соответственно, будет равен удвоенному осевому моменту сопротивления: ,
тогда:
Обозначим .
Условие прочности при изгибе с кручением будет иметь вид
Для сплошного круглого сечения вала осевой момент
сопротивления изгибу: ,
следовательно, проектный диаметр вала определится по формуле:
.
|
