8 Кручение
8.1 Деформация и напряжение при кручении круглого стержня
На рисунке 10 изображен стержень, защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце парой сил P·a, действующей в плоскости поперечного сечения стержня.
Если рассечь стержень поперечной плоскостью n – n, на расстоянии «х» от места защемления, то для сохранения равновесия отсеченной части к ней надо приложить в плоскости сечения крутящий момент , равный по величине и обратный по знаку момент пары сил Р·а.
Так как это рассуждение справедливо для любого сечения рассматриваемого стержня, то, следовательно, по всей длине стержня действует один и тот же крутящий момент M . Такой случай деформации называется кручением.
При определении напряжений в стержне, испытывающем кручение, предполагают, что плоские поперечные сечения нагруженного круглого стержня остаются плоскими и перпендикулярными к его оси при
P
Рисунок 11 – Крутящие моменты и углы закручивания в стержне
деформации кручения, а радиусы, проведенные в этих сечениях, не искривляются. Предполагается, что деформации малы (т.е. находятся в пределах упругих деформаций) и напряжения сдвига пропорциональны деформациям.
Под действием момента пары сил (P·a) все сечения цилиндра, кроме защемленного, поворачиваются. Угол поворота свободного конца стержня называется абсолютным углом закручивания (рисунок 11).
Отношение угла закручивания к длине называется относительным углом закручивания и выражается формулой
θ = φ/ℓ.
Из рисунка 10 видно, что волокна стержня в результате деформации кручения смещаются на угол γ, называемый относительным сдвигом.
Связь угла φ с углом относительного сдвига γ выражается зависимостью
γ·ℓ = φ·r или γ = θ·r.
На рисунке 12 показана диаграмма напряжений, называемая эпюрой.
τ
τ
r
τ
τ
r
τ
τ
Рисунок 12 – Диаграмма напряжений при кручении
Величина сдвига волокон, отстоящих от центра сечения на расстоянии ρ, равна:
γ = θ·ρ .
Наибольший сдвиг имеют волокна, наиболее удаленные от центра сечения, т.е. периферийные волокна, для которых ρ = r. В центре сечения сдвиг равен нулю, так как для центрального волокна ρ = 0.
Из формулы закона Гука для сдвига видно, что касательные напряжения прямо пропорциональны деформации сдвига:
τ = G·γ .
Отсюда следует, что величина касательных напряжений при кручении изменяется от нуля в центре сечения до максимума на периферийных волокнах:
τ = G·γ = G·θ·r.
Из эпюры на рисунке 11 видно, что напряжения на произвольном расстоянии ρ от центра сечения равны:
τ = τ ·ρ/r.
Часть крутящего момента, уравновешенная напряжениями τ на узком кольце (рисунок 11), равна:
M = F ·τ ·ρ,
где F - площадь кольца.
Полный крутящий момент равен сумме моментов M , взятых по всей площади сечения:
M = ·τ ·ρ,
или после подстановки имеем:
M = ·τ ·ρІ/r = ·ρІ.
Вспомним, что ·ρІ называется полярным моментом инерции сечения I , тогда
M = τ · или τ ·M .
Вспомним также, что величина I /r называется полярным моментом сопротивления сечения и обозначается W . Размерность полярного момента сопротивления W - [длинаі]. Расчетные формулы на кручение обычно выражают через полярный момент сопротивления, т.е. условие прочности при кручении имеет вид:
или ,
где - допускаемое напряжение на кручение.
8.2 Построение эпюр крутящих моментов и углов закручивания
Нами установлена связь между относительным углом закручивания θ и напряжением τ посредством формулы τ = G·θ·r.
Произведя замену τ в выражении крутящего момента
M = τ·I /r ,
получим : M = G·I ·θ.
Отсюда величина относительного угла закручивания определяется зависимостью:
θ = M /G·I ,
где G – модуль упругости сдвига;
I - полярный момент инерции.
Произведение G·I называется жесткостью сечения при кручении.
Умножив обе части последнего равенства на длину стержня, получим :
θ·ℓ = M ·ℓ /G·I ,
но так как θ·ℓ есть абсолютный угол закручивания φ круглого стержня, то : φ = M ·ℓ / G·I .
Эта формула служит для определения абсолютного угла закручивания круглого стержня, имеющего длину ℓ и жесткость G·I , при нагружении его крутящим моментом M .
При определении угла закручивания φ или при расчете стержня на кручение необходимо знать, каким образом распределяется крутящий момент по длине стержня (вала).
Для получения представления о распределении на стержне крутящего момента или угла закручивания строят соответствующие эпюры.
По эпюре крутящего момента M можно определить величину момента кручения, действующего в любом сечении вала или стержня.
Р
Величина абсолютного угла закручивания для любого сечения вала определяется эпюрой углов закручивания φ.
ℓ
M = P·a
а
x
Эпюра M
Эпюра φ
0
0
Рисунок 13 – Эпюры крутящих моментов и углов закручивания
Эпюры строят, откладывая от нулевой линии, расположенной параллельно оси стержня, значения крутящих моментов М или углов закручивания φ. Величина крутящих моментов или углов закручивания откладывается в выбранном масштабе под соответствующим сечением стержня перпендикулярно к нулевой линии.
Положительное или отрицательное направление ординат выбирается условно. Вместе с тем, обычно используют правило знаков, при котором, если смотреть со стороны сечения, то внешний момент направленный против часовой стрелки считают положительным, а по часовой - отрицательным.
Для стержня, защемленного одним концом и нагруженного крутящим моментом на свободном конце, крутящий момент М в любом сечении стержня равен моменту Р·а, приложенному к свободному концу стержня. Поэтому эпюра крутящих моментов для этого случая имеет вид прямоугольника.
Эпюра абсолютных углов закручивания может быть построена с помощью формулы φ = M ·x /G·I ,
где x - текущая координата длины стержня, отcчитываемая от защемленного конца.
Для стержня, защемленного одним концом, при x = 0 угол φ = 0, а при x = ℓ угол φ = M ·ℓ/G·I . Эпюра угла закручивания φ имеет вид треугольника.
8.3 Расчет на прочность и жесткость круглых стержней
Расчет на прочность при кручении круглых стержней и валов производят по наибольшим касательным напряжениям τ , действующим в сечении, по формуле :
τ = M / W [τ] ,
где - крутящий момент, действующий в рассчитываемом сечении;
W - полярный момент сопротивления сечения вала;
[τ] - допускаемое напряжение, величина которого зависит от материала и условий работы рассчитываемой детали.
Вышеприведенной формулой пользуются для проверки прочности, при известном M и диаметре стержня d, путем сравнения действующих напряжений τ с допускаемыми - [τ].
Для определения размеров стержня круглого сечения по допускаемому напряжению, обеспечивающих его прочность, пользуются формулами:
W = π·dі/16 0,2dі и W = M /[τ],
откуда: .
Приведенные расчётные формулы в большинстве случаев рассматриваются как приближённые, так как обычно валы, помимо кручения, испытывают изгиб (расчёт на совместное действие кручения и изгиба рассмотрен ниже). Чтобы, несмотря на пренебрежение влияния изгиба, вал обладал достаточной прочностью принимают пониженное допускаемое напряжение.
При расчёте вала на жесткость ставится требование, чтобы относительный угол закручивания θ не превышал допускаемого
[θ] = (4 17)10 рад/м , в зависимости от условий работы.
Нужная жесткость при скручивании обеспечивается условием
θ = M /G·I ≤ [θ].
Из этой формулы
I = π·d /32 ≥ M /G·[θ] ,
откуда d ≥
Если [θ] задан в «рад/м», то M надо подставлять в «Н·м» , G – в «Н/мІ», а значение d получится в «м» .
|
