Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

12 Устойчивость сжатых стержней

12.1 Понятие об устойчивости. Критическая сила

Если размеры сечения стержня многократно меньше его длины, то при некоторой величине сжимающей силы стержень, кроме сжатия, будет испытывать деформацию, называемую продольным изгибом, т.е. разрушение сжатых стержней может произойти не только из-за нарушения условия прочности, но и из-за потери устойчивости. Опыт показывает (рисунок 22), что при достижении осевой силой Р определённого значения (Р ), называемого критическим, прямолинейная форма равновесия станет неустойчивой и стержень изогнётся без воздействия на него поперечной

Р < Р

нагрузки.

Критическая сила (Р ) – это осевая сжимающая сила, до достижения которой прямолинейная форма равновесия стержня устойчива. Сжатый стержень рассчитывается так, чтобы допускаемая величина сжимающей силы была ниже критической.

Условие устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня определяется допускаемой сжимающей силой :



где - требуемый (допускаемый) коэффициент запаса

устойчивости, который берётся из справочной литературы для различных материалов и условий работы, например, для стальных ходовых винтов он принимается от 3,5 до 5.0.

Иногда принимают условие устойчивости в виде



где n - действующий коэффициент запаса устойчивости, который должен быть не меньше допускаемого для данного стержня.

12.2 Формула Эйлера и пределы её применимости
Рассмотрим стержень закреплённый шарнирно с двух сторон и сжатый осевой силой Р (рисунок 23).

При действии силы Р равной критической, стержень находится в положении безразличного равновесия. Если стержень, при действии этой силы увеличится на небольшую величину «у», он так и останется в таком положении.

Для данного стержня дифференциальное уравнение будет иметь вид :


или


x

Р= -Р

Обозначим , получим .

Решение этого уравнения в общем виде :



Постоянные С и С находятся из условий по концам стержня : 1) x = 0, y = 0; 2) x = ℓ, y = 0.

Из первого условия следует : С = 0 , следовательно :

y = C

Из второго условия : ℓ = 0 , но (иначе решение не имеет смысла) , поэтому :

sinkℓ = 0 , откуда : kℓ = 0; , т.е. .

Подставляя полученные значения k в приведенную выше формулу , получим : , откуда :



Очевидно, что минимальное значение будет при n = 1.

Конструкции закрепления концов сжатого стержня учитываются введением коэффициента приведения длины стержня (рисунок 24).

μ = 2

Р

Р

Р

Р

Рисунок 24 - Схемы закрепления концов стержней

Формула Эйлера для определения критического значения сжимающей силы будет иметь вид :

,

где - приведённая длина стержня.

Разделив правую и левую части этой формулы на площадь поперечного сечения стержня F, получим критическое напряжение , возникающее под действием критической силы :

,

здесь безразмерная величина , называется гибкостью стержня. Величина, стоящая в знаменателе этой формулы называется минимальным радиусом инерции поперечного сечения стержня, имеет размерность длины и обозначается , т.е.:

, следовательно получим .

Формула Эйлера для разных материалов имеет свои пределы применимости, которые определяются условием, что критическое напряжение , возникающее в стержне, должно быть меньше (или в крайнем случае равно) пределу пропорциональности его материала, т.е. : .

Условие применимости формулы Эйлера удобно выразить через гибкость стержня , откуда : .

Правую часть этого равенства обозначают и называют предельной гибкостью для стержня из данного материала, т.е. :

.

Таким образом, окончательно условие применимости формулы Эйлера можно представить так : , т.е. для возможности применения формулы Эйлера гибкость стержня должна быть не меньше предельной гибкости.

Например, для малоуглеродистой стали Ст3 : ≈ 200 МПа ,

Е = 2· МПа, следовательно:

≈ 100.

Выполняя расчёт устойчивости при , критическую силу определяют по формуле Эйлера.

При значениях 40 < < 100 - по формуле Ясинского : МПа.

При < 40 стержень скорее потечёт, чем потеряет устойчивость.

На практике, обычно, сжатые стержни рассчитываются по формуле : ,

где - коэффициент снижения допускаемых напряжений, зависящий от гибкости стержня, который берётся из справочника.

• 13 Динамическое действие нагрузки

Динамическую нагрузку можно представить как нагрузку быстро

меняющую своё значение или место приложения. Согласно принципу

Даламбера, движущееся тело можно рассматривать как находящееся в равновесии, если к нему приложить силы инерции.

Масса движущегося тела весом G выражается как : ,

где g – ускорение силы тяжести.

Силы инерции выступают как дополнительная внешняя нагрузка на упругую систему, поэтому динамическим называют расчёт с учётом сил инерции, возникающих при движении масс системы.



Частным случаем динамической нагрузки является ударная, которая наиболее опасна для прочности конструкции.

Рассмотрим вертикальный стержень, закреплённый верхним концом., а на нижнем конце имеющим головку. По стержню свободно скользит груз весом (силой тяжести) G (рисунок 25).

h

Рисунок 25 – Схема к расчету стержня на ударное растяжение

Поднимем груз, а затем отпустим его. Падая, он остановится головкой стержня и растянет стержень. При этом кинетическая энергия груза пойдёт на растяжение стержня . Оно определится из равенства работ силы тяжести падающего груза и сил упругости растягиваемого стержня. С учётом того, что для расчётной схемы , а S=h запишем:

,

или :

Поскольку , получаем квадратное уравнение:

, решив его, найдём



Знак «+» перед радикалом ставится, поскольку удлинение может быть только положительным. Величина, стоящая в скобках, называется

динамическим коэффициентом, или коэффициентом удара :

, следовательно :

Соответственно, согласно закону Гука, динамическое напряжение будет :

.

Допустим, что растягивающая сила тяжести приложена к концу стержня мгновенно, т.е. h=0. Тогда:

.

Поделив абсолютное удлинение стержня на его первоначальную длину, получим относительную продольную деформацию:

.

Помножив обе части уравнения модуль упругости Е, согласно закону Гука, получим:

,

т.е. при внезапном приложении нагрузки в стержне возникает напряжение в два раза большее, чем при статической нагрузке.

• 14 Расчёт стержней при переменных напряжениях. Усталость материалов

Изменение напряжений в сечениях стержней вызывает постепенное накапливание микротрещин и приводит к их разрушению. Разрушение в результате воздействия переменных, циклически изменяющихся, напряжений называются усталостным, а способность материала сопротивляться усталостному разрушению – выносливостью.

Циклическое изменение напряжений может возникнуть от действия постоянной силы, если сечение поворачивается относительно оси, перпендикулярно линии действия силы (валы), или от действия силы, периодически изменяющейся во времени.

Циклом называют совокупность значений напряжений за время одного периода. Различают симметричный (рисунок 26) и несимметричный (рисунок 27) циклы напряжений. Циклы характеризуются : максимальным и средним напряжениями, амплитудой напряжений, коэффициентом асимметрии, формой и частотой.

Среднее напряжение :

Амплитуда цикла :

T

t

Рисунок 26. Симметричный цикл





Рисунок 27. Несимметричный цикл

Коэффициентом асимметрии цикла называется отношение минимального напряжения цикла к максимальному : R =

Коэффициент асимметрии симметричного цикла (рисунок 26)

R = - 1, потому, что :

Циклы, у которых R = 0 или R = - ∞ называются пульсационными или отнулевыми ( потому, что у них или равны нулю).

Усталостные свойства материалов сравнивают по пределу выносливости – наибольшему максимальному напряжению симметричного цикла, при котором не происходит разрушение. Предел выносливости определяют экспериментально при чистом изгибе круглых полированных стержней диаметром 7,5мм на специальных установках. При испытаниях образцов сначала создают высокие напряжения, отмечают величину амплитуды цикла и число циклов N, при котором произошло разрушение образца. Затем напряжения снижают. При некотором значении напряжения образец не разрушается. Это напряжение называется пределом выносливости при симметричном цикле. По опытным данным строится кривая выносливости в координатах σ и N (рисунок 28).
Стержни из малоуглеродистой стали при нормальной температуре не разрушившиеся за N = циклов, не разрушаются и при большей длительности испытаний. Для высокопрочных сталей и сплавов число циклов задаётся равным N = .

Предел выносливости обозначается и зависит от предела прочности. Приближенно можно считать :

- для сталей ;

- для сплавов цветных металлов .

При кручении :

- для стали ;

- для цветных сплавов .

На сопротивление усталости влияют, также, некоторые конструктивные и технологические факторы присущие деталям механизмов и машин:

- влияние концентрации напряжений, которые образуются в местах резких изменений формы тела и представляют большую опасность для прочности;

- влияние средних напряжений, которые характеризуют влияние чувствительности образца или детали к асимметрии цикла нагрузок;

- влияние абсолютных размеров (масштабного фактора), зависящего от поперечных размеров деталей;

- влияние состояния поверхности, которое зависит от чистоты механической обработки и вида поверхностного упрочнения детали.

Помимо этих факторов на сопротивление усталости влияют и другие обстоятельства, например, температура или иные воздействия.

Список литературы

1. 
   Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов.- М.: Высшая школа, 1989.- 624 с.
   
2. 
   Стёпин П.Л. Сопротивление материалов.- М.: Интеграл- Пресс, 1997.- 320 с.
   
3. 
   Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 2004.- 535 с.
   
4. 
   Ракин А.С. Механика деформируемого твёрдого тела Сопротивление материалов - 1. Конспект лекций, часть 1.- Новосибирск: НГАВТ, 1999.- 98 с.
   
5. 
   Ракин А.С. Механика деформируемого твёрдого тела. Сопротивление материалов – 2. Конспект лекций, часть 2.- Новосибирск: НГАВТ, 1999.- 87 с.
   
6. 
   Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников всех специальностей технических высших учебных заведений, кроме строительных ./ Дарков А.В. – М.: Высшая школа, 1985.- 56 с.
   
7. 
   Методические указания и примеры решения задач по курсу «Сопротивление материалов» для студентов – заочников / Балобаев В.Н. – Новосибирск: НИИВТ, 1987.- 64 с.
   
8. 
   Атапин В.Г., Пель А.Н., Темников А.И. Сопротивление материалов.- Новосибирск: НГТУ, 2006,- 556 с.
   
9. 
   Агамиров Л.В. Краткий курс сопротивления материалов.- М.: Изд. АСТ, 2003, 256 с.
   
10. 
    Сёмин М.И. Основы сопротивления материалов. - М.: ВЛАДОС, 2004, 255 с.
    
11. 
    Копнов В.А. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач, выполнения лабораторных и расчётно-графических работ.- М.: Высшая школа, 2005, 351 с.