Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 содержание

Понятие кольца.

Простейшие свойства элементов кольца

Все множества с внутренними бинарными операциями разбиваются на два класса. Именно:

1. 
   Класс множеств с одной алгебраической операцией. К этому классу относятся группы.
   
2. 
   Класс множеств с двумя алгебраическими операциями. К этому классу относятся кольца и поля, к изучению которых мы приступаем. При этом одну из двух рассматриваемых операций принято называть сложением, а вторую – умножением. Напомним, что нейтральный элемент по сложению называют нулём, а нейтральный элемент по умножению называют единицей.
   

3.3.1Определение кольца. Виды колец

Определение. Непустое множество M называют кольцом, если оно удовлетворяет следующим требованиям:

1. 
   Для элементов этого множества введено отношение равенства.
   
2. 
   На этом множестве определена внутренняя бинарная операция, называемая сложением, обладающая следующими свойствами:
   

1. 
   сложение – операция алгебраическая,
   
2. 
   сложение – операция коммутативная,
   
3. 
   сложение – операция ассоциативная,
   
4. 
   относительно неё в множестве M существует нейтральный элемент – «нуль», обозначенный символом Ō,
   
5. 
   сложение – операция симметризуемая.
   

3. 
   На этом множестве определена внутренняя бинарная операция, называемая умножением, обладающая следующими свойствами:
   

1. 
   умножение – операция алгебраическая,
   
2. 
   умножение – операция ассоциативная,
   
3. 
   умножение двояко дистрибутивно относительно сложения.
   

Замечание. В целом умножение в кольце не обязано быть ассоциативным. Т.к. мы изучаем в общем курсе математики только кольца с ассоциативным умножением, то требование ассоциативности умножения принято включать в состав аксиом кольца.

Определение. Кольцо называется коммутативным, если умножение в нём коммутативно. Кольцо называется некоммутативным, если умножение в нём некоммутативно.

Не всякое кольцо содержит нейтральный элемент (единицу) по умножению.

Кольцо называется кольцом с единицей, если относительно умножения в нём существует нейтральный элемент (единица). Если же в кольце нейтрального элемента по умножению нет, то кольцо называется кольцом без единицы.

Примеры колец.

1. 
   Существует кольцо, содержащее лишь один элемент, который неизбежно должен быть нулём. Такое кольцо называется нулевым кольцом. Это коммутативное кольцо с единицей, роль которой играет ноль.
   
2. 
   Множество Z всех целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения есть коммутативное кольцо с единицей, роль которой играет целая рациональная единица.
   
3. 
   Множество 2Z всех чётных целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения есть коммутативное кольцо без единицы.
   
4. 
   Множество всех квадратных матриц вида с вещественными элементами относительно обычных операций сложения и умножения матриц есть некоммутативное кольцо без единицы. Это кольцо содержит бесконечно много левых единиц, которыми являются матрицы вида , где x и y – любые вещественные числа, но не имеет правой единицы.
   
5. 
   Множество всех квадратных матриц вида с вещественными элементами относительно обычных операций есть некоммутативное кольцо без единицы. Это кольцо содержит бесконечно много правых единиц, которыми являются матрицы вида, где x и y – любые вещественные числа, но не имеют левой единицы.
   

3.3.2Основные следствия, вытекающие из определения кольца

Пользуясь теорией групп, мы получаем ряд следствий, вытекающих из определения кольца.

Следствие 1. Все элементы кольца образуют группу по сложению.

Следствие 2. В кольце существует только один ноль.

Следствие 3. Для любого элемента кольца существует только один противоположный элемент.

Следствие 4. При любых a и b из кольца всегда разрешимо и при том однозначно уравнение a + x = b

Корень этого уравнения c = b + (-a)

Следствие 5. Всякое числовое кольцо, содержащее элемент, отличный от нуля, есть кольцо бесконечное.

Следствие 6. Для любого элемента кольца в данном кольце существует последовательность всех натуральных степеней этого элемента.

Следствие 7. Для любых двух элементов a и b коммутативного кольца с единицей в данном кольце существует любая натуральная степень суммы этих элементов, которая развёртывается в биноминальную сумму по форме Ньютона

.

Замечание. Следует заметить, что целую рациональную кратность ma элемента а кольца, вообще говоря, нельзя рассматривать как произведение числа m на число a, так как целое число m может и не быть элементом того кольца, которому принадлежит элемент a.

Например, в кольце 2Z всех четных целых чисел выражение 5·2 нельзя рассматривать как произведение элементов этого кольца, т.к число 5 не входит в кольцо 2Z. В этом примере выражение 5·2 следует рассматривать как краткую запись суммы . В общем для элемента кольца M выражение ma определяется следующим образом:

3.3.3Простейшие свойства элементов кольца

Пусть мы имеем кольцо М с нулём , обозначенное символом 0. Для элементов кольца справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. 0a = a0 при любом aM.

Докажем, что 0a = 0.

Действительно, a0 = (0 + 0) a = 0a + 0a = 0a + 0 по свойству нейтрального элемента относительно сложения.

Обозначим элемент 0·a через α. Тогда мы имеем: a + a = a + 0

Т.к. все элементы кольца по сложению - группа, то отсюда следует, что a = 0, т.е. 0a = 0.

Аналогично можно доказать, что a0 = 0.

Утверждение 2. Для любых элементов a и b кольца М (– a)b = a (– b) = – (ab)

Читаем: произведение элемента, противоположного а, и элемента b равно произведению элемента a на элемент противоположный b, равно элементу противоположному к произведению элементов a и b.

Докажем, что (– a)b = – (ab).

Итак нам надо доказать, что элемент, противоположный к произведению ab есть элемент (– a)b, т.е. что ab + (– a)b = 0.

Действительно, ab + (– a)b = (a + (– a))b = 0b = 0.

Аналогично доказывается, что a(– b) = – (ab).

Утверждение 3. Для любых элементов a и b кольца M (– a) (– b) = ab

Читаем: произведение элементов, противоположных к элементам a и b равно произведению элементов a и b.

Так как в кольце у каждого элемента противоположный элемент определен однозначно, то если элемент и равны, то и их противоположные элементы - и - тоже равны. Покажем, что элемент противоположный к (-a)(-b) есть элемент , т.е. (– a)(– b) + (– (ab)) = 0.

Действительно, (– a)(– b) + (– (ab)) = (–a)(– b) + (–a)b = – a(– b + b) = – a0 = 0. Значит, (– a)(– b) = ab.

3.3.4Делитель нуля в кольце

Для всякого кольца остаётся справедливым следующие утверждение:

Теорема: Если один из сомножителей произведения равен нулю, то это произведение равно нулю.

В кольцах, составленных из вещественных или комплексных чисел, остаётся справедливой и обратная

Теорема. Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей должен равняться нулю.

Однако существуют нечисловые кольца, для которых эта теорема перестаёт быть верной.

ПРИМЕР. Пусть нам дано произвольное числовое кольцо A. Тогда мы можем рассматривать множество М упорядоченных пар (a, b), элементами которых являются числа из кольца А.

Положим что пара равна паре тогда и только тогда, когда

и и . Проверив выполнимость всех аксиом кольца, мы убедимся, что М – кольцо, где пара играет роль нуля, e = (1, 1) - роль единицы.

Конечно, в кольце М справедливо равенство: (0, 0)(a, b) = (a, b)(0, 0) = (0, 0).

Однако в кольце М существуют такие элементы, отличные от , произведение которых равно нулю.

Например, .

Итак, существуют также кольца, в которых произведение элементов может равняться нулю и тогда, когда ни один из его сомножителей не равен нулю.

В связи с этим введены следующие определения.

Определение. Пусть a отличный от нуля элемент кольца М. Если в М существует такой отличный от нуля элемент b что ab = 0, то а называют левым делителем нуля в кольце М.

Например, в кольце квадратных матриц 2-го порядка с вещественными элементами матрица является левым делителем нуля. Действительно, .

Определение. Пусть a – отличный от нуля элемент кольца М . Если в М существует такой отличный от нуля элемент b , что ba = 0, то а называют правым делителем в кольце М.

Например, в кольце квадратных матриц 2^го порядка с вещественными элементами матрица является правым делителем нуля, т.к. .

Элемент а кольца М может быть левым делителем нуля, но не быть правым делителем нуля, может быть правым делителем нуля, но не быть левым делителем нуля, может быть и левым делителем нуля, и правым делителем нуля.

Определение. Если элемент a кольца М является в этом кольце и левым делителем нуля и правым делителем нуля, то он называется просто делителем нуля в кольце М.

Например, матрица является и левым делителем нуля, и правым делителем нуля в кольце квадратных матриц 2-го порядка с вещественными элементами. Действительно, и .

Конечно, в коммутативных кольцах понятия левого и правого делителя нуля совпадают между собой. На основании принятого определения, все кольца разделяются на 2 типа:

1. 
   Кольца без делителей нуля,
   
2. 
   Кольца с делителями нуля.
   

Определение. Кольцо без делителей нуля называется кольцом целостности. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Заметим, что все числовые кольца, отличные от нулевого кольца являются областями целостности.

В кольце с единицей к данным элементам могут существовать правые и левые обратные элементы. Именно, для элемента кольца М с единицей может существовать такой элемент , что . Элемент принято называть левым обратным к элементу . Но может существовать и элемент такой, что (правый обратный элемент), и . Вообще для элемента может существовать левый обратный и не существовать правый обратный и наоборот.

В кольце с единицей могут существовать правые и левые обратные элементы к данным элементам кольца. Вместе с этим, кольцо с единицей может иметь делители нуля. Для таких колец справедлива следующая теорема.

Теорема. В ненулевом кольце с единицей нет левого обратного элемента для левого делителя нуля и нет правого обратного элемента для правого делителя нуля для данного кольца.

Доказательство. Пусть - левый делитель нуля в кольце М с единицей . Значит, в кольце М можно подобрать такой элемент , отличный от нуля, что ab = 0. Предположим, что для элемента в кольце М существует левый обратный элемент , т.е такой элемент, что ca = e. Умножим последнее равенство справа на элемент b: (ca)b = eb, c(ab) = 0, c0 = b, 0 = b, что противоречит с выбором элемента . Значит наше предположение о том, что для элемента существует левый обратный элемент, неверно. Аналогично мы можем доказать, что если - правый делитель нуля в кольце М, то для него не существует правого обратного элемента. Верно и обратное утверждение.

Теорема. В ненулевом кольце с единицей обратный слева элемент не может быть левым делителем нуля, обратный справа элемент не может быть правым делителем нуля.

Доказательство. Пусть элемент обратим слева в кольце М с единицей , т.е. для него существует такой элемент , что . Предположим, что - левый делитель нуля, т.е. для элемента существует такой, что . Умножим это равенство слева на , что противоречит с выбором .

Аналогично доказывается факт, что обратимый справа элемент не может быть правым делителем нуля.

3.3.5Кольцо классов вычетов по mod m

В современной алгебре и особенно в специальных её приложениях играют особо важную роль конечные кольца, в частности так называемые кольца классов вычетов по .

Мы ранее рассматривали построение множеств классов вычетов по , где натуральное число большее 1.

Пусть Z_m={0, 1, 2,…, m-1}.

Напомним, 0 - это множество (класс) целых чисел, при делении которого на в остатке получается 0. Таких чисел бесконечно много, 1 – множество целых чисел, при делении которых на в остатке получается 1. таких чисел тоже бесконечно много. Последний класс - множество целых чисел при делении которых на в остатке получается . Это тоже бесконечное множество целых чисел. Символ Cl_a означает, что число принадлежит данному классу.

Введем следующие определения

1. Cl_a = Cl_b тогда и только тогда, когда a и b имеют один и тот же остаток при делении на

2. Cl_a + Cl_b = Cl_a+b. Суммой классов с представителями a и b является тот класс, где находится число a + b.

3. Cl_a  Cl_b = Cl_ab. Произведением классов с представителями a и b является тот класс, где находится число ab.

Например, в Z₆ имеем: Cl₂ + Cl₈ = Cl₄, Cl₂  Cl₈ = Cl₄.

Действительно, 2 + 8 = 10 при делении на 6 имеем остаток 4, 2·8 = 16 при делении на 6 имеем остаток 4.

Докажем, во-первых, что сложение и умножение классов не зависит от выбора представителей.

Пусть a₁  Cl_a т.е. числа a₁ и a при делении на имеют один и тот же остаток т.е. целое число , причём и . Пусть , т.е. числа b₁ и b при делении на имеют один и тот же остаток т.е. целое число , причем и , .Левые части равенств одинаковые. Будут ли одинаковыми правые части, т.е будут ли равными? Они будут одинаковыми, если числа a + b и a₁ + b₁ будут иметь при делении на m один и тот же остаток, т.е. a + b = ms + r b a₁ + b₁ = ml + r, где 0 ≤ r < m. А это возможно только тогда, когда разность чисел a + b и a₁ + b₁ будет делиться на , т.е. когда (a + b) – (a₁ + b₁) будет делиться на .

Найдём

(a + b) – (a₁ + b₁) = (a₁ – a₁) + (b – b₁) = mq + r₁ – mq₁ – r₁ + mt + r₂ – mt₁ – r₂ = mq – mq₁ + mt – mt₁ = m(q – q₁ + t – t₁) = mk, где k = q – q₁ + t – t₁  Z.

По определению делимости целых чисел имеем: число делится на . Следовательно, . Другими словами, сложение классов не зависит от выбора представителей слагаемых классов.

Аналогично можно доказать, что умножение классов не зависит от выбора представителей.

Проверим выполнимость аксиом кольца на множителе Z_m относительно введенных операций сложения и умножения классов.

1. 
   Алгебраичность сложения. Так как каждое целое число при делении на , обязано иметь однозначно определённый остаток, то каждое целое число обязано находиться по в каком-то классе, определённом однозначно. Поэтому обязан существовать в Z_m.
   
2. 
   Алгебраичность умножения. По той же причине обязан существовать в Z_m.
   
3. 
   Сложение коммутативно. Действительно, и , , так как a + b = b + a, как сумма целых чисел.
   
4. 
   Умножение коммутативно. Действительно, , , так как ab = ba как произведение целых чисел.
   
5. 
   Сложение ассоциативно. Действительно, , , , так как (a + b) + c = a + (b + c) по свойству ассоциативности сложения целых чисел.
   
6. 
   Умножение ассоциативно. Действительно , , , т.к. (ab)·c = a·(bc) по свойству ассоциативности умножения целых чисел.
   
7. 
   Умножение дистрибутивно относительно сложения. Действительно. Доказательство аналогично предыдущим.
   
8. 
   Относительно сложения в Z_m имеется нейтральный элемент (ноль). Это . Действительно, для любого .
   
9. 
   Относительно умножения в Z_m имеется нейтральный элемент (единица). Это . Действительно, для любого .
   
10. 
    Операция сложения в Z_m симметризуема. Действительно, для любого существует противоположный класс , так как .
    

Итак, мы можем сказать , что Z_m есть коммутативное кольцо с единицей, в котором содержится элементов (классов).

Чтобы задать кольцо Z_m достаточно построить таблицы Кэли относительно операций сложения и умножения.

Примеры:

1.Построить кольцо Z₅

Z₅ = {1, 2, 3, 4, 5}