Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»
И.В.Дубограй, М.Д.Ковалёв, О.В.Скуднева.
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
В ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Электронное учебное издание
Методические указания к решению задач
по теме
☻☺
Москва
УДК 517.31
Рецензент: доц., к.ф.-м.н., Леонид Дмитриевич Покровский
Дубограй И.В., Ковалёв М.Д., Скуднева О.В..
Линейный оператор: электронное учебное издание. - М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2011. 35 с.
Издание содержит основные понятия и определения по теме "Линейное пространство", "Линейный оператор", предусмотренные учебным планом МГТУ им. Н.Э.Баумана. Представлен справочный материал, содержащий основные определения, формулировки необходимых теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предлагаются задачи для самопроверки. Также предложен способ вычисления собственных векторов матрицы линейного оператора с помощью присоединённой матрицы, мало известный , но обладающий определёнными преимуществами перед традиционным способом . Приведено доказательство соответствующей теоремы.
Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана всех специальностей.
Электронное учебное издание
Дубограй Ирина Валерьевна
Ковалёв Михаил Дмитриевич
Скуднева Оксана Валентиновна.
Линейные операторы и их собственные векторы
© 2012 МГТУ имени Н.Э. Баумана
Введение
В данном пособии представлен справочный теоретический материал, необходимый для освоения важных разделов высшей алгебры - линейного и евклидова пространства, преобразования пространства, диагонализация матриц линейного оператора. В компактной форме изложены все необходимые сведения из теории, подробно разобраны решения типовых задач.
Разделы «указаний» полностью соответствуют программе обучения студентов, утверждённой методической комиссией МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Авторы преследовали цель активизировать самостоятельную работу студентов, улучшить качество подготовки учащихся по данному разделу математики.
Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей, а также будут полезны студентам старших курсов в качестве справочного материала.
Часть 1. Линейное и евклидово пространства.
1.1.Линейное пространство.
Определение. Множество элементов L называется линейным пространством, а сами элементы его векторами, если
определён закон, по которому любым двум векторам  этого множества однозначно соответствует третий вектор,называемый их суммой   ,
определён закон, по которому каждому вектору этого множества и числу ставится в соответствие единственный вектор, называемый произведением вектора на число:  ,
определённые законами операции сложения и умножения вектора на число удовлетворяют следующим аксиомам:
а)  ,
б) ,
в) в пространстве существует нуль- вектор  , такой , что  ,
г) для каждого вектора  в пространстве существует
«противоположный» вектор  , такой, что  ,
д) ,
е)  ,
ж) ,
з) ,  .
Замечание. Если произведение вектора и числа определено только для действительных  , то пространство называется действительным линейным пространством.
Далее будем рассматривать только действительные линейные пространства.
Пример 1. Убедиться в том, что множество геометрических векторов V3 является линейным пространством.
Решение. Действительно, если  и  то сумма векторов
есть новый вектор этого же пространства. И произведение  - тоже новый вектор пространства V3.
Аксиомы линейного пространства в пространстве V3 есть свойства линейных операций с геометрическими векторами.
Аналогично можно показать, что пространство всех геометрических коллинеарных векторов V1 и всех компланарных векторов V2 являются линейными.
Пример 2. Убедиться в том, что множество функций  , непрерывных на некотором отрезке  , является линейным пространством.
Решение. Действительно, если две функции непрерывны на интервале, то их сумма есть новая функция, непрерывная на этом интервале, и произведение непрерывной функции на число есть новая непрерывная функция. Аксиомы линейного пространства в этом случае есть свойства линейных операций с непрерывными на  функциями.
Ответ: данное множество является линейным пространством и обозначается  .
Пример 3. Является ли множество многочленов степени k с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число линейным пространством?
Решение. Многочлен степени k имеет вид
Суммой двух многочленов степени k является новый многочлен, степень которого может быть либо равна k, либо окажется меньше k. Так, например, для k=2, если
 и  , то сумма
 не принадлежит данному множеству.
Ответ: данное множество не является линейным пространством.
Пример 4. Убедиться в том, что множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.
Решение. Дано множество  . Сумма двух любых векторов этого множества 
 - есть многочлен, степень которого не выше k, то есть  . Таким образом,  - новый вектор, принадлежащий данному множеству  .
Произведение вектора  и числа  :  - новый многочлен, степень которого равна либо m, либо 0, если  , то есть 
Ответ: множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.
Пример 5. Выяснить, является ли линейным пространством множество матриц A одного и того же размера m x n?
Решение. Суммой двух матриц одного размера является новая матрица того же размера.
Amxn +Bmxn=Cmxn , где элементы  .
Произведение матрицы на число есть новая матрица того же размера λAmxn=Dmxn, где  .
Свойства линейных операций с матрицами совпадают с аксиомами линейного пространства.
Ответ: данное множество является линейным пространством.
Пример 6. Является ли линейным пространством множество одностолбцовых матриц размера  , элементы которых неотрицательны?
Решение. Суммой двух матриц данного пространства Amx1 и Bmx1 является новая матрица A +B=Cmx1 такого же размера с неотрицательными элементами, то есть сумма элементов в этом пространстве определена. Произведением матрицы A данного пространства и числа
является новая матрица λAmx1=Dmx1
такого же размера, но если число λ<0, то элементы матрицы D окажутся отрицательными, т. е. произведение матрицы на число не принадлежит этому пространству.
Ответ: данное множество не является линейным пространством.
Замечание. Рассмотрим пространство элементов, каждый из которых является упорядоченным набором n действительных чисел  . Если операции сложения и умножения на число определить так, что
и  , то будут выполняться все аксиомы линейного пространства. Нуль-вектор возьмём  . Значит, рассматриваемое просранство является линейным. Такое пространство  называется линейным пространством арифметических векторов.
1.2 Линейная зависимость векторов.
Определение. Система векторов линейного пространства
 называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов обращается в нуль-вектор только лишь при всех коэффициентах, равных нулю, т. е.
 только при  .
Определение. Система векторов линейного пространства  называется линейно зависимой, если их линейная комбинация может обратиться в нуль-вектор при хотя бы одном коэффициенте, отличном от нуля, т. е. возможно при  . (1)
Теорема (Критерий линейной зависимости системы векторов).
Система векторов  линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных. (2)
Пример 7. Выяснить, является ли линейно зависимой система векторов
линейного пространства  .
Решение. Составим линейную комбинацию данных векторов и приравняем ее нулю.
 (см.(1))
Вопрос заключается в том, можно ли подобрать такие коэффициенты  , не все равные нулю, чтобы это равенство было тождественно верным. Используя свойства логарифмов, преобразуем равенство следующим образом:
 или
Очевидно, что равенство выполняется, если
 .
Отсюда следует, что можно подобрать коэффициенты, не все равные нулю, например,
 , при которых линейная комбинация данных векторов тождественно обратится в ноль. По определению данная система векторов является линейно зависимой.
Пример 8. Проверить, является ли линейно зависимой следующая система векторов арифметического пространства  :
 .
Решение. Если составить матрицу, элементы строк которой есть координаты соответствующих векторов, и найти её ранг, то по теореме о базисном миноре строки, элементы которых составляют базисный минор (а, следовательно, соответствующие векторы данной системы) линейно независимы, а остальные строки являются их линейными комбинациями. Вычислим ранг матрицы, составленной из координат векторов.
 =Rg =
=Rg
Линейно независимыми являются только два вектора  и  , и  есть их линейная комбинация. Из теоремы (см.(2)) следует, что данная система векторов линейно зависимая.
Определение. Базисом линейного пространства L называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов, что любой вектор линейного пространства может быть представлен как их линейная комбинация.
То есть, если  - базис L, то векторы  линейно независимы и для любого вектора имеет место равенство  (разложение вектора  по базису).Числа  называются координатами вектора в базисе .
 . (3)
1.3 Переход от одного базиса линейного пространства к другому.
Если в линейном пространстве выбраны два базиса, такие, что
 и  , то между ними существует связь, задаваемая матрицей перехода U . Эта матрица составляется следующим образом:
а) каждый вектор  разлагается по векторам базиса  :
 (4)
b) полученные координаты векторов выписываются в соответствующие столбцы матрицы составленная матрица U называется матрицей перехода.
Любой вектор  может быть разложен в каждом базисе.
Пусть в базисе  ,
а в базисе
  .
Если вектору в каждом базисе поставить в соответствие матрицу-столбец
 и  , то связь между координатами вектора в этих базисах выражается формулой
 . (5)
Свойства матрицы перехода.
Матрица перехода U невырожденная, т. е. 
Матрица перехода U обратима, то есть существует обратная матрица  .
Если U- матрица перехода от к ,
то - матрица перехода от к .
Если в линейном пространстве выбраны три базиса  и
 – матрица перехода от  , а  – матрица перехода от  , то матрица перехода от  равна 
Пример 9. Рассмотрим множество многочленов порядка не выше второго
Это множество является линейным пространством (см.пример 4)
Выберем в нём два базиса и так, что
 и
Составим матрицу перехода от к (см.(4))
a) Выразим каждый вектор в базисе .
 +1
 +0
b) Полученные координаты выпишем в соответствующие столбцы матрицы.
 – матрица перехода от к .
c) Используя матрицу перехода, представим многочлен  как многочлен по степеням  .
Данному вектору в базисе соответствует вектор
 или матрица – столбец
В базисе вектору поставим в соответствие матрицу-столбец  , чьи элементы мы должны найти. Связь между матрицами имеет вид (см.(5)).
Отсюда следует  . Вычислим обратную матрицу.
 . И теперь  .
То есть, в новом базисе 
Откуда следует ответ:  .
Пример 10. Найти какой-либо базис арифметического пространства
Решение. Рассмотрим следующую систему векторов  :
 ,  , ……,
То есть,  таковы, что их координаты 
Матрица Е, составленная из координат этих векторов  имеет  . Следовательно, векторы  линейно независимы.
Из свойств линейных операций с векторами следует, что любой вектор 
 .
По определению (см. (3)) выбранная система является базисом пространства  Этот базис называется стандартным или каноническим.
Пример 11. В некотором линейном пространстве  заданы векторы
 ,  , 
и вектор  . Убедиться в том, что система векторов  тоже является базисом пространства и найти в нём координаты вектора 
Решение. 1) Составим определитель из координат векторов и вычислим его.
 строки определителя линейно независимы  векторы линейно независимы. В пространстве они образуют базис.
2) Если U – матрица перехода от исходного базиса к новому, вектору в старом базисе соответствует матрица –столбец  , а в новом базисе –
 , то  (см.(5)).
Составим матрицу перехода (см.(4)).  .
Вычислим обратную матрицу  , где  - присоединённая матрица для  .
Для нахождения  решим матричное уравнение (5) .
 .
Ответ: в новом базисе вектор имеет координаты 
1.4 Евклидово пространство.
Определение. Линейное пространство называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов
 , причём имеют место следующие аксиомы:
 ;
 (6)
 .
Определение. Нормой вектора называется число . (7)
Определение. Нормированием вектора называется построение вектора  такого, что его норма  .
Определение. Векторы называются ортогональными, если  (8)
Определение. Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и их нормы равны единице, то есть  (9)
Замечание. Только в ортонормированном базисе скалярное произведение и вычисляются по формулам  , и норма вектора 
если ,  .
Пример 12. Проверим, является ли пространство геометрических векторов  с определённым обычным способом скалярным произведением
 евклидовым.
Для этого выясним, выполняются ли соответствующие аксиомы. (см.(6))
Эти три аксиомы совпадают со свойствами скалярного произведения.
 при  и  , если  . – и четвёртая аксиома выполняется.
Вывод: данное пространство является евклидовым.
Пример 13. Выяснить, будет ли являться евклидовым линейное пространство (множество непрерывных на отрезке функций) будет являться евклидовым, если определить скалярное произведение его векторов следующим образом:
Решение. Проверим, выполняются ли соответствующие аксиомы:
 , так как 
 , так как 
 , так как 
 так как  (свойство определённого интеграла), причём интеграл обращается в ноль только при  .
Ответ: пространство с заданным произведением векторов является евклидовым.
Пример 14. Проверить, можно ли в соответствующем пространстве арифметических векторов задать скалярное произведение следующим образом:
А)  , где  и  - векторы пространства
B)  , , где  и  - векторы пространства  .
Решение. А) Проверим, выполняются ли аксиомы для данного произведения.
 - выполнена;
 выполнена;
 - выполнена;
 - выполнена.
Ответ: так как все аксиомы выполнены, в пространстве таким образом можно задать скалярное произведение.
B) Проверим выполнение аксиом для данного произведения:
1)  – выполнена;
2)  выполнена;
3)  – выполнена;
4) может быть меньше нуля, поэтому аксиома  не выполняется.
Ответ: данное произведение векторов не является скалярным.
Замечание. Линейное пространство арифметических векторов
будет являться евклидовым, если скалярное произведение любых двух его векторов в ортонормированном базисе определить следующим образом
Задачи для самостоятельной работы.
Проверьте, образует ли линейное пространство множество геометрических векторов, отнесённых к общему началу 0, концы которых принадлежат зафиксированной прямой, не проходящей через точку 0. Ответ: нет.
Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства С:  . Ответ: да.
Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства  :  . Ответ: нет.
В линейном пространстве многочленов степени не выше третьей выбраны два базиса :  и  . Составьте матрицу перехода от первого базиса ко второму и с её помощью разложите многочлен  по степеням . Ответ:
Убедитесь в том, что в линейном пространстве векторы  ,  ,  образуют базис и найдите координаты вектора  в этом базисе. Ответ:
Выясните, можно ли в арифметическом пространстве определить скалярное произведение векторов, где и следующим образом: а)  . Ответ: можно.
б)  . Ответ: нельзя, так как аксиома не выполняется.
|
