Программа дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра

Скачать 157.3 Kb.

Название	Программа дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра
Дата публикации	30.06.2013
Размер	157.3 Kb.
Тип	Программа дисциплины

100-bal.ru > Математика > Программа дисциплины

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет математики

Программа дисциплины Динамические системы и эргодическая теория

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

Авторы программы:

Буфетов А.И., д. ф.-м. н., bufetov@mi.ras.ru

Клименко А.В., к. ф.-м. н., klimenko05@mail.ru

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

Программа разработана в соответствии с:

ГОС ВПО;
Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2012 г

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория» являются освоение основных понятий и усвоение ключевых результатов, относящихся к различным разделам теории динамических систем и эргодической теории: теории гиперболических систем, изучении перекладываний отрезков и сходных систем, асимптотик эргодических интегралов, символической динамики, эргодической теории групповых действий.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать основные понятия и результаты вышеуказанных разделов теории динамических систем и эргодической теории (гиперболическое множество, перекладывание отрезков, поток переноса на плоской поверхности, символическое кодирование, детерминантные меры и др.)
Уметь решать различные конкретные задачи, относящиеся к этим разделам теории динамических систем и эргодической теории

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
умение формулировать результат	ПК-3	Правильно воспроизводит чужие результаты, правильно формулирует собственные результаты	Формируется при работе на семинарах (обсуждение решённых задач домашних заданий с преподавателем)
умение строго доказать утверждение	ПК-4	Воспроизводит доказательства стандартных результатов, излагавшиеся на лекциях Решает задачи на анализ доказательств утверждений курса и на доказательство утверждений, близких к утверждениям курса	Формируется при работе на семинарах (обсуждение решённых задач домашних заданий с преподавателем)
умение грамотно пользоваться языком предметной области	ПК-7	Знает и свободно использует наименования основных понятий и результатов, относящихся к изучаемым в курсе разделам теории динамических систем и эргодической теории, может привести определения и формулировки этих понятий и результатов	Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, а также при решении задач домашних заданий и их обсуждении с преподавателем
знание корректных постановок классических задач	ПК-9	Знает постановки классических задач, относящихся к изучаемым в курсе разделам теории динамических систем и эргодической теории	Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, а также при решении задач домашних заданий и их обсуждении с преподавателем
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах	ПК-16	Умеет выделить основные шаги в доказательствах основных результатов курса, указать их взаимосвязи, объяснить исходя из доказательства необходимость тех или иных условий в формулировках результатов	Формируется при изучении лекционного курса и последующем самостоятельном продумывании доказательств и при решении задач на анализ доказательств на семинарах и в домашних заданиях.

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Для обучающихся по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации «Математика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

Математический анализ
Динамические системы
Дополнительные главы динамических систем
Введение в теорию вероятностей

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

уверенное использование базовых понятий математического анализа: предел, производная, интеграл, равномерная и поточечная сходимость; знание их основных свойств; решение основных типов задач, связанных с этими объектами;
знакомство с понятиями меры на множестве, интеграла Лебега, пространств L^p
знание основных понятий и результатов теории вероятностей (случайная величина, функция и плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия, виды сходимости случайных величин, закон больших чисел, центральная предельная теорема)
знание базовых понятий теории динамических систем и эргодической теории (поток на фазовом пространстве, теорема Пуанкаре о возвращении, инвариантные меры, эргодичность)

5Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоятельная работа
№	Название раздела	Всего часов	Лекции	Семинары	Практические занятия	Самостоятельная работа
1	Ортогональные полиномиальные ансамбли	34	6	8	—	20
2	Унитарно-инвариантные эргодические меры	33	8	6	—	19
3	Перекладывания отрезков и потоки на плоских поверхностях	36	8	8	—	20
4	Детерминантные точечные случайные поля	36¹⁾ 32²⁾	8	8¹⁾ 4²⁾	—	20
5	Асимптотика эргодических интегралов³⁾	41¹⁾ 0²⁾	10¹⁾ 0²⁾	10¹⁾ 0²⁾	—	21¹⁾ 0²⁾
	Итого часов:	180¹⁾ 135²⁾	40¹⁾ 30²⁾	40¹⁾ 26²⁾	0	100¹⁾ 79²⁾

Примечания

для студентов 3-го года обучения направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для студентов 4-го года обучения направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
тема не входит в программу дисциплины для студентов 4-го года обучения

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год				Кафедра	Параметры
Тип контроля	Форма контроля	1	2	3	4	Кафедра	Параметры
Текущий	Контрольная работа	—	—	6	4 9		Письменные работы, 45 минут
Промежуточный	Зачет	—	—	V			Письменная работа, 90 минут
Итоговый	Экзамен	—	—		V		Письменная работа 90 минут

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Текущий контроль проводится в форме письменных контрольных работ на неделе перед зачётом в первом модуле и на неделе перед экзаменом во втором модуле. При написании указанных работ разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 3—4 задач, охватывающих все изученные к моменту контрольной темы курса. Оценка выставляется из расчёта 3 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта работы возможно указание другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.

При решении задач контрольной работы студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса, методами решения задач.
Промежуточный контроль — зачёт в 3-м модуле — проводится в форме письменной работы. При написании указанной работы разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 5—6 задач, охватывающих все изученные в третьем модуле темы курса. Оценка О_зачет выставляется из расчёта 2,5 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта возможно указание другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.

При решении задач на зачёте студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса и методами решения задач, изученными в 3-м модуле.

От зачёта освобождаются (с выставлением оценок «8», «9», «10») студенты, показавшие высокие результаты на контрольной работе и активно работавшие в течение модуля (сдававшие домашние задания и решавшие задачи у доски).
Итоговый контроль — экзамен в 4-м модуле — проводится в форме письменной работы. При его написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 7 задач и теоретических вопросов, охватывающих все темы курса. Каждое задание оценивается в 2 очка. Оценка за экзамен вычисляется по формуле O_{экзамен} = S – 3, где S —число очков за решённые задачи (дробные баллы округляются в пользу студента). Указанная оценка заменяется на 10 или 1 в случае, если величина O_{экзамен} оказывается, соответственно, больше 10 или меньше 1.

Для получения положительной оценки на экзамене студент должен продемонстрировать усвоение основных понятий и теорем курса, знакомство с методами решения задач.

От экзамена освобождаются (с выставлением оценок «8», «9», «10») студенты, показавшие высокие результаты на контрольных работах и активно работавшие в течение семестра (сдававшие домашние задания и решавшие задачи у доски).

6.2Порядок формирования оценок по дисциплине

3 модуль

Накопленная оценка в третьем модуле выставляется исходя из работы студента на семинарах и выполненных им домашних заданий: учитываются решения студентом задач у доски на семинарах, а также решения задач домашних заданий, сдаваемых студентом преподавателю (учебному ассистенту) в устной или письменной форме на семинарах. Каждая задача домашних заданий оценивается в 1 очко, решение задачи у доски — в 1,5 очка.

Оценка за аудиторную работу выставляется по формуле О_{аудиторная} = N/(0,75N_max), где N — число набранных студентом очков, N_max — максимальное число очков, которое возможно набрать за решение задач домашних заданий. Округление производится в пользу студента. Если вычисленная по формуле оценка выходит за границы диапазона 1…10, она заменяется ближайшей границей этого диапазона.
Порядок формирования оценки О_{текцщий}₃ за текущий контроль (письменную контрольную работу) указан в разделе 5.1.

Накопленная оценка за работу в первом модуле вычисляется по формуле

О_{накопленная}₃= 0,4 О_{аудиторная}₃ + 0,6 О_{текцщий}₃

Порядок формирования оценки за зачёт указан в разделе 6.1.

Промежуточная оценка за третий модуль равна

О_{промежуточная}₃ = 0,5 О_{накопленная}₃ + 0,5 О_зачет

Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.

4 модуль

Аудиторная работа в четвёртом модуле оценивается так же, как и в третьем.

В связи с тем, что студенты 4-го года обучения заканчивают обучение ранее, для них не проводится третья контрольная работа и оценка О_{текцщий}₄равна оценке за вторую контрольную работу. Для студентов третьего года обучения оценка О_{текцщий}₄ вычисляется по формуле

О_{текущий}₄ = 0,5 О_к/р₂ + 0,5 О_к/р₃,

где О_к/р₂ и О_к/р₃ — оценки за вторую и третью контрольные работы. Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Накопленная оценка за работу в четвёртом модуле вычисляется по формуле

О_{накопленная}₄ = 0,4 О_{аудиторная}₄ + 0,6 О_{текцщий}₄

Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.

Итоговая накопленная оценка вычисляется по формуле

О_{накопл. итог} = (О_{промежуточная}₃ + О_{накопленная}₄) : 2

Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.

Порядок формирования оценки за экзамен указан в разделе 5.1.

Результирующая оценка по дисциплине выставляется по формуле

О_{результ} =0,7 О_{накопл. итог} + 0,3·О_{экзамен}

Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.

Результирующая оценка выставляется в диплом.
Студенту не предоставляется возможность повысить на зачёте или экзамене оценки за аудиторную работу.

Оценка за текущий контроль может быть повышена следующим образом. Если студент сдал экзаменационную (зачётную) работу не менее чем за 15 минут до окончания отведённого времени, он имеет право выбрать одну из не решённых им (решённых неверно) задач контрольной работы и получить задачу на ту же тему, решение которой он должен сдать до окончания времени, отведённого на экзамен. Очки за эту задачу добавляются к очкам, набранным на контрольной работе, и оценка за контрольную работу пересчитывается исходя из этой новой суммы очков по формуле, приведённой в разделе 6.1.

7Содержание дисциплины

Раздел 1. Классические ортогональные полиномиальные ансамбли

Тема 1. Примеры: многочлены Чебышёва, Якоби, Лежандра, Лагерра, Эрмита

Тема 2. Рекуррентные соотношения, ядра Кристоффеля—Дарбу, формула Родрига, задача Штурма— Лиувилля

Тема 3. Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов

Раздел 2. Унитарно-инвариантные эргодические меры

Тема 4. Сферические представления

Тема 5. Тотально положительные функции

Тема 6. Теорема Пикрелла

Раздел 3. Перекладывания отрезков и потоки на плоских поверхностях

Тема 4. Перекладывания отрезков. Индукция Рози—Вича

Тема 5. Плоские поверхности и потоки переноса

Тема 6. Зашнурованные прямоугольники Вича

Раздел 4. Детерминантные точечные случайные поля

Тема 7. Конфигурации и меры

Тема 8. Теорема Макки-Сошникова

Тема 9. Бесконечные детерминантные меры

Раздел 5. Асимптотика эргодических интегралов

(только для студентов 3-го года обучения)

Тема 10. Символическое кодирование для потоков на плоских поверхностях

Тема 11. Асимптотические слоения на марковском компакте

Тема 12. Гёльдеровские коциклы

Тема 6. Асимптотика эргодических интегралов

8Образовательные технологии

При работе на семинарах основную роль играет т. н. «система листков» — выдаваемых студентам домашних заданий («листков»), сдача которых происходит в форме индивидуального обсуждения решённых задач с преподавателем. При этом преподаватель имеет возможность варьировать глубину и стиль обсуждения, давая более сильным студентам возможность получить дополнительные знания по дисциплине, а менее сильным — хорошее понимание базовой части курса.

8.1Методические рекомендации преподавателю

нет

8.2Методические указания студентам

нет

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы заданий для письменных контрольных работ.

Пусть весовая функция w(x) чётна, а отрезок (a, b) симметричен (т. е. a = –b), и пусть P_n(x) — ортогональные полиномы относительно этого веса. Докажите, что P_n(x) нечётен при нечётном n и чётен при чётном n.
Докажите, что перекладывание трёх отрезков (с неприводимой подстановкой) либо сопряжено с поворотом окружности, либо является отображением первого возвращения на некоторый отрезок для некоторого поворота окружности.

9.2Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

Постройте граф Рози для перекладываний четырёх отрезков.
Какие последовательности отображаются в одну точку для рассмотренного в курсе символического кодирования аффинного автоморфизма Аносова тора?
Докажите, что почти любому бесконечному пути в графе Рози отвечает единственного перекладывание отрезков.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

нет

10.2Основная литература

[1] Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

[2] А.Б. Сошников. Детерминантные случайные точечные поля, УМН, 55:5(335) (2000), с. 107–160.

[3] Г.И. Ольшанский. Унитарные представления бесконечных классических групп. Дисс. … докт. физ.-мат. наук, М., 1989. http://www.iitp.ru/upload/userpage/52/Olshanski_thesis.pdf

[4] Ergodic unitarily invariant measures on the space of infinite Hermitian matrices, in Contemporary Mathematical Physics. F. A. Berezin's memorial volume, American Mathematical Society Translations, Series 2, Vol. 175 (1996), 137-175.

[5] A.I. Bufetov. Infinite determinantal measures. arXiv: 1207.6793 http://arxiv.org/abs/1207.6793

[6] M. Viana. Dynamics of interval exchange maps and Teichmuller flows. (manuscript), http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf

[7] A.I. Bufetov. Finitely-additive measures on the asymptotic foliations of a Markov compactum. arXiv: 0902.3301 http://arxiv.org/abs/0902.3303

10.3Дополнительная литература

[8] A. Zorich. Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents. Annales de l’Institut Fourier, 46:2 (1996), 325-370.

[9] А.И. Буфетов, Б.М. Гуревич. Существование и единственность меры с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов. Матем. сб. 202:7 (2011), 3-42.

10.4Справочники, словари, энциклопедии

Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988.

Также рекомендуется использование онлайн-энциклопедии Wikipedia на английском и русском языках (http://en.wikipedia.org, http://ru.wikipedia.org).

10.5Программные средства

не предусмотрены

10.6Дистанционная поддержка дисциплины

не предусмотрена

11Материально-техническое обеспечение дисциплины

не используется

Добавить документ в свой блог или на сайт

	Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для... Методическая разработка рекомендована для педагогов дополнительного образования детей		Программа дисциплины История философии для направления 010100. 62 «Математика» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину для направления 010100. 62 “Математика” для подготовки студентов...
	Программа дисциплины Философия 1 для направления «Математика» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки бакалавра...		Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо... Дёгтев А. Н. Теория алгоритмов. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100. 62 – математика,...
	Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо... Дёгтев А. Н. Теория автоматов. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100. 62 – математика,...		Рабочая программа для студентов направления 010100. 62 Математика.... Девятков А. П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...
	Программа дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления для направления...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
	Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо... Математика, профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»; «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;...		Программа дисциплины «Теория индивидуального и коллективного выбора»... Современные международные отношения: Учебно-методический комплекс./ Л. В. Володина. – Спб.: Ивэсэп, 2006
	Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов для направления 010300. 62...		Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 031900....
	Программа дисциплины История и методология математики Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 68 «Математика»...		Программа дисциплины История и методология математики Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 68 «Математика»...
	Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки/ специальности...		Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки/ специальности...