2.3.2. Оценка погрешности при равномерной дискретизации- восстановлении
В данном подразделе приведены некоторые наиболее общие результаты теории равномерной дискретизации. Основное внимание уделено характеру зависимости погрешности восстановления от априорной информации о сигналах и от параметров процедур восстановления.
Дискретизация на основе спектральных свойств сигнала
Переход в частотную область представления основан на преобразовании Фурье с гармоническим ядром (параметрическое множество синусно косинусных функций или эквивалентное ему множество комплексных экспонент).
Спектральная плотность X() связана с сигналом x(t) парой прямого и обратного преобразований Фурье:
 ,
где ω= 2πf - круговая частота (рад/с), f - циклическая частота (Гц), j- мнимая единица.
На основе частотного представления вводится понятие сигнала с ограниченным (финитным) спектром. Такие сигналы имеют числовой параметр верхнюю (или граничную) частоту.
Определение. Сигнал x(t) называют сигналом с финитным (ограниченным) спектром с верхней частотой FВ (ΩВ=2π FВ), если  и  .
Теорема отсчетов (Шеннона-Котельникова): Сигнал с финитным спектром ограниченным частотой FВ может быть однозначно восстановлен (с помощью идеального ФНЧ) по совокупности дискретных отсчетов, если шаг дискретизации по времени t удовлетворяет условию:
 .
Определив частоту дискретизации FД= 1/t, условие теоремы отсчетов можно записать в виде:  .
Доказательство, а значит и понимание теоремы отсчетов опирается на тот факт, что спектр равномерно дискретизированного с частотой FД сигнала получается путем периодического (с периодом FД) "размножения" спектра исходного непрерывного сигнала и суммирования всех таких сдвинутых копий, то есть дискретизация по времени влечет "периодизацию" спектра. Поясним это в точных математических терминах. Последовательности  дискретных отсчетов можно поставить в соответствие модель дискретного сигнала в виде функции непрерывного времени1  . Если  , то  , причем  . Смысл теоремы отсчетов иллюстрируется кривыми в частотной области на Рис. 2 .21, где по горизонтальной оси отложена круговая частота ω=2πf и, соответственно, помечены частоты ΩВ=2πFВ, ΩД=2πFД, ΩS=2πFS. Граничная частота FS восстанавливающего фильтра нижних частот, о котором идет речь в теореме отсчетов, должна удовлетворять условию:
 .
Рис. 2.21.Представление равномерной дискретизации по времени в частотной области
Во временной области идеальной низкочастотной фильтрации с частотой среза FS соответствует свертка с импульсной характеристикой h(t) = sinc(2FSt), где sinc(x)=sin(x)/x, что эквивалентно разложению сигнала x(t) по базису ортогональных функций отсчета1  (ряд Котельникова):
 .
Формулировка теоремы отсчетов опирается на две идеализации: сигнал с финитным спектром и идеальный фильтр нижних частот. На практике обе эти идеализации можно принять лишь с известной долей приближенности, что в итоге приводит к тому, что в реальных условиях восстановление после дискретизации возможно лишь с некоторой погрешностью. Итоговая погрешность восстановления может быть представлена в виде двух составляющих: погрешность наложения спектров и погрешность реализации фильтра нижних частот (или усечения ряда Котельникова). Строгий анализ этих погрешностей выходит за рамки нашего рассмотрения и мы ограничимся некоторыми традиционными результатами, которые справедливы при выполнении двух весьма общих допущений: использование энергетического (среднеквадратического) критерия в качестве метрики для итоговой погрешности и ее составляющих, а также отсутствие корреляции между последними. В этом случае относительная погрешность Н от наложения спектра может быть оценена величиной:
 .
Погрешность Ф реализации восстанавливающего фильтра может быть оценена по среднеквадратическому отклонению частотной характеристики H() реального восстанавливающего фильтра от частотной характеристики HИ() идеального ФНЧ:
 ,
где 
Итоговая относительная среднеквадратическая погрешность В восстановления определится как
 .
Рис. 2.22. Характер зависимости погрешности восстановления В от частоты дискретизации ΩД.
В общем случае погрешность восстановления εВ(ΩД) есть функция от частоты дискретизации ΩД (Рис. 2 .22), основной особенностью которой является убывание εВ с ростом ΩД (вообще говоря, не обязательно монотонное). В частном случае, когда сигнал обладает финитным спектром (с верхней частотой ΩВ) и, одновременно с этим, восстанавливающий фильтр является идеальным ФНЧ, кривая погрешности обращается в ноль при ΩД=2 ΩВ. Именно этот последний частный случай и соответствует условиям теоремы отсчетов.
Несмотря на то, что теорема отсчетов охватывает идеализированную ситуацию, что затрудняет непосредственно применять ее на практике, она позволяет упростить понимание и более общей ситуации. В частности, из нее вытекают следствия, имеющие также и важное прикладное значение.
Наиболее важные следствия из теоремы отсчетов:
- непрерывные сигналы с финитным спектром на конечном интервале времени содержат конечное количество информации;
- сигнал с финитным спектром может быть однозначно заменен дискретным и, с известной точностью, цифровым сигналом;
- равномерная дискретизация сигналов с нефинитным спектром всегда приводит к необратимым потерям информации (эффекты наложения и подмены или мимикрии частот);
- если сигнал с финитным спектром зашумлен широкополосным шумом, то для устранения эффектов наложения и подмены частот перед дискретизацией нужна низкочастотная (или полосовая) фильтрация непрерывного сигнала, из чего следует обязательность установки противоподменного или преддискретизационного фильтра перед АЦП.
Дискретизация на основе динамических свойств сигнала
Здесь в качестве априорной информации о сигнале используются оценки Mn максимума n-й производной сигнала. Для представления процедуры восстановления удобно применять хорошо разработанный аналитический аппарат интерполяции с помощью степенных полиномов (см. более детальное изложение в [1, стр. 63 69]), при этом имеются весьма простые оценки для максимальных значений погрешности.
В данном случае в качестве восстановленного по дискретным отсчетам xi= x(iΔt) сигнала  берется степенной полином i-й степени, то есть
 ,
где коэффициенты a0, a1, …an могут быть рассчитаны по известным формулам (см., например, [1, стр. 63 69]) через представление интерполяционного полинома в форме Ньютона или в форме Лагранжа на основании дискретных отсчетов x0, x1, …xn. Для определения локальной погрешности восстановления в качестве метрики используется максимум модуля разности:
 ,
что совпадает с определением остаточного члена степенного ряда в теории степенной интерполяции. Это позволяет напрямую использовать результаты теории интерполяции.
В качестве глобальной оценки погрешности1 восстановления используется оценка наихудшего случая по множеству X входных сигналов
 .
Если X есть подмножество непрерывных сигналов, максимум модуля n й производной которых ограничен величиной Mn, то глобальная абсолютная погрешность восстановления полиномом n й степени (n =0, 1, 2, …) определяется формулами:
 ;
 ;
 ;
…,
где  .
В некоторых случаях полезно знать оценку сверху величины Mn для сигналов с ограниченным спектром (неравенство Бернштейна)
 ,
где xmax максимальное значение (амплитуда) сигнала x(t), xmax= M0. Используя неравенство Бернштейна, мы можем применять результаты интерполяционной теории к сигналам с финитным спектром. При этом только следует иметь ввиду, что использование этого неравенства дает запас при определении погрешности восстановления с помощью степенных полиномов, который будет тем больше, чем сильнее спектр исходного сигнала X(ω) отличается от функции δ(ω-ΩВ) (т.е. насколько он "размазан" по оси частот и сконцентрирован в области нижних частот). Частный случай | X(ω)|=π[δ(ω+ΩВ)+δ(ω-ΩВ)] соответствует сигналу x(t)=cos(ΩВt). Именно косинусоидальный (синусоидальный) сигнал из всего множества сигналов с финитным спектром с верхней частотой ΩВ является "наихудшим" с точки зрения величины Mn и именно для него неравенство Бернштейна превращается в равенство.
Дискретизация на основе статистических свойств сигнала
Часто в качестве априорной информации о сигнале более доступными оказываются его параметры как случайного процесса, в частности его автокорреляционная функция, которая для случая стационарных эргодических случайных сигналов является исчерпывающей характеристикой и достаточно просто может быть измерена экспериментально. В этом случае полезно знать связь автокорреляционной функции R() сигнала и его энергетического спектра S():
 ,
то есть  .
Напомним, что энергетический спектр S() сигнала x(t) связан с его спектром X() соотношением S()=|X()|2. Следовательно к случайным сигналам в полной мере можно применить спектральную модель дискретизации.
Однако, наиболее просто можно оценить относительную среднеквадратическую погрешность σ по известной автокорреляционной функции R() при восстановлении с помощью степенных полиномов. В частности, для полинома нулевой степени (ступенчатая аппроксимация) справедлива формула
 ,
а для полинома первой степени (линейная аппроксимация)
 .
Более обстоятельно о статистическом подходе к временной дискретизации можно прочесть, например, в [32, разделы 2.4, 2.6 ] и в [33, гл.3].
|
