2.2.2. Погрешность от квантования по уровню
Основной материал данного раздела изложен в [1, стр. 71]. Следует обратить внимание на возможность использования двух различных моделей для представления эффектов квантования по уровню: нелинейной модели (в виде функции преобразования) и линейной (или статистической) модели, состоящей в суммировании входного сигнала и шума квантования как случайных процессов. При этом нужно знать, к какой из этих двух моделей относятся конкретные параметры квантования: предельное отклонение, математическое ожидание и дисперсия погрешности квантования.
2.2.3. Распространение погрешностей при вычислениях
Даже в том случае, когда вычисления выполняются абсолютно точно, но используются неточные исходные данные (скажем, полученные путем измерений), требуется проводить специальный анализ распространения (трансформации) ошибок в вычислительных алгоритмах. Причем, чем длиннее цепочка вычислений, тем больший эффект ухудшения точности может иметь место. Наличие длинных цепочек вычислений характерно для алгоритмов цифровой обработки сигналов, особенно реализующих рекурсивные методы, например, рекурсивные цифровые фильтры, рекуррентное дискретное преобразование Фурье и т.п.
Похожая ситуация имеет место при косвенных измерениях и задача анализа распространения входных погрешностей может быть решена стандартным приемом –по формуле полного дифференциала:
 ,
где y=F(x1,…xn) - зависимость, которая реализуется с помощью рассматриваемого вычислительного алгоритма. Формула приближенная из за того, что формулу для дифференциала используем для оценки приращения. Она будет тем точнее, чем меньше величины приращений (по отношению к самим величинам y и xi ).
Однако, такой общий прием не всегда удобен, особенно при выполнении самого анализа на ЭВМ. В этом случае может оказаться полезным упрощенный метод "шаг за шагом", который заключается в том, что для каждой стандартной операции определяется свое специфическое правило трансформации погрешности. Затем прослеживается цепочка вычислений, состоящая из набора последовательно выполняемых стандартных операций. На каждом шаге делается расчет погрешности результата по известным погрешностям операндов. Метод "шаг за шагом" может давать несколько завышенное значение погрешности по сравнению с методом полного дифференциала, но различия будут тем меньше, чем меньше численные значения погрешностей и чем меньше корреляционная связь между аргументами (в статистическом смысле).
Частные правила определения погрешностей для наиболее распространенных стандартных вычислительных операций заключаются в следующем.
1. При сложении (вычитании) складываются абсолютные погрешности операндов:
 .
2. При умножении (делении) складываются относительные погрешности:
 .
3. При умножении на константу абсолютная погрешность умножается на модуль этой константы:
 .
4. При возведении в степень относительная погрешность умножается на показатель степени:
 .
Данные правила могут быть получены путем подстановки функций, соответствующим операциям, в формулу полного дифференциала. Легко проверить, что правила 1 и 3 в точности вытекают из этой формулы, а правила 2 и 4 –приближенно, с точностью до членов высшего порядка малости (отброшены произведения приращений).
Метод "шаг за шагом" удобно применять, если имеется граф вычислений, то есть графическое изображение последовательности выполнения стандартных операций в данном алгоритме. При этом следует иметь в виду, что абсолютная Δx и относительная βx погрешности некоторой величины x связаны между собой посредством самой этой величины x соотношениями:
 .
В качестве примера на Рис. 2 .16 приведен граф вычислений для простого алгоритма, заданного формулой:
 .
Рис. 2.16. Пример графа вычислений
Используя правила трансформации погрешностей по методу "шаг за шагом" получим следующие соотношения для погрешностей промежуточных переменных и конечного результата:
βz1=2· βx1; Δz2=2· Δx2; βz3=2· βx3;
βz4=2· βx4; βz5= βz1+ βz2; βz6= βz3;
βz7= βz4; Δz8= Δz6+ Δz7;
βy= βz5+ βz8.
Результаты численных расчетов сведены в Табл. 1 .1, где первые четыре строки суть исходные данные, а остальные получены путем расчетов. В представлении промежуточных результатов сохранялись 4 знака после запятой или 5 знаков у мантиссы. Окончательный результат y=0,1613 с абсолютной погрешностью Δy=0,007 и относительной погрешностью βy=0,04 (4%).
Табл. 2.3. Результаты расчетов по методу "шаг за шагом"
Переменная
|
Значение
|
Абсолютная погрешность
Δ
|
Относительная погрешность
β
|
x1
|
1,54
|
0,01
|
0,0064
|
x2
|
1500,15
|
0,05
|
3,3e-5
|
x3
|
0,070
|
0,001
|
0,014
|
x4
|
3,62
|
0,03
|
0,00823
|
z1= x12
|
2,3716
|
0,03036
|
0,0128
|
z2=2 x2
|
3000,3000
|
0,1
|
3,33e-5
|
z3= x32
|
0,0049
|
0,0001372
|
0,028
|
z4= x42
|
13,1044
|
0,2157
|
0,01646
|
z5= z1/ z2
|
7,9045e-4
|
1,0141e-5
|
0,01283
|
z6=1/ z3
|
204,0816
|
5,7143
|
0,028
|
z7=1/ z4
|
0,076310
|
1,2560e-3
|
0,01646
|
z8= z6- z7
|
204,0053
|
5,7156
|
0,02802
|
y= z5· z8
|
0,16126
|
0,006587
|
0,04085
| 2.2.4. Оценка полной погрешности системы
(прямая задача суммирования погрешностей)
Как уже отмечалось, для АСНИ итоговая погрешность результата (в общем случае это модель объекта) является основным ограничением, которое должно учитываться при поиске оптимального технического решения. Для этого в идеале, нам хотелось бы иметь в распоряжении некую функцию, которая отражала бы функциональную связь между управляемыми параметрами системы и итоговой погрешностью. Для нахождения этой зависимости нужно во первых, определиться со структурой системы (то есть осуществить этап структурного синтеза), и во вторых, провести анализ этой конкретной структуры и определить зависимость общей погрешности от управляемых параметров этой структуры. В последствии эта найденная функциональная зависимость может быть использована для параметрического синтеза –то есть для нахождения оптимального сочетания значений управляемых параметров выбранной структуры.
Подходя системно и логически последовательно к решению этой задачи мы должны, воспользовавшись одним из общих определений погрешности (см. подразд. 2.2.1), конкретизировать составляющие этого определения (входные и выходные множества, отображения, операторы, метрика, функция выбора) и с учетом такой конкретизации попытаться аналитически (или каким то иным образом) найти искомую зависимость. Успех этого дела во многом будет зависеть от принятого способа конкретизации. Далеко не всегда удается решить задачу анализа аналитически. По крайней мере просто. Более того, зачастую именно стремление решить задачу аналитически накладывает основные ограничения на принимаемую степень идеализации исходной содержательной задачи. Другими словами, часто мы вынужденно принимаем чрезмерную идеализацию, чтобы применить известные аналитические методы и приемы. И это оправдано в том смысле, что решив (с известным упрощением) задачу доступными средствами, и используя найденное решение в качестве очередной ступени, мы затем можем попытаться отыскать решение в более точной постановке.
С учетом таких оговорок, и не имея возможности рассмотреть задачу анализа погрешности в полной ее постановке, приведем один общий прием, который, с одной стороны, достаточно прост и эффективен для инженерных приложений и, с другой стороны, в достаточно большом числе случаев может считаться вполне приемлемой идеализацией на системном уровне рассмотрения технического решения. Он основан на гипотезе о случайном характере погрешностей (погрешность рассматривается как случайная величина) и работает в той мере, насколько модель случайной величины приемлема для отражения свойств погрешности конкретной системы. Не вдаваясь в детали философского вопроса о справедливости этой гипотезы, отметим только, что для задачи нахождения модели сложных динамических систем, аргументация в ее пользу далеко не так сильна и очевидна, как для классической задачи измерения скалярных величин, где она используется в качестве основной парадигмы, хотя и в этой области не все так бесспорно (см., например [29, стр. 12], ).
Ниже приводится упрощенный способ приближенного суммирования погрешностей (более подробное его описание и теоретическое обоснование можно найти в [29]). Упрощение достигается за счет того, что вместо нахождения результирующего закона распределения суммарной погрешности находятся только оценки его числовых характеристик (среднеквадратическое отклонение, энтропийное значение, доверительный интервал) и при этом:
- зависимость погрешности от измеряемой величины учитывается простейшим способом – путем разделения погрешностей на аддитивные и мультипликативные;
- учет взаимных корреляционных связей между составляющими производится путем использования различных правил суммирования для коррелированных и некоррелированных составляющих, для чего все погрешности условно разбиваются на две эти группы.
Методика упрощенного суммировании погрешностей основана на следующем математическом факте: при суммировании случайных величин x1 и x2 их дисперсии суммируются по правилу:
 ,
где D(x) - дисперсия случайной величины x; ρ - коэффициент взаимной корреляции.
Отсюда следует общее правило суммирования стандартных (среднеквадратических) отклонений
 .
Для крайних значений коэффициента корреляции (0 и 1) получим два частных правила суммирования среднеквадратических отклонений:
- при  (правило алгебраического суммирования);
- при  (правило геометрического суммирования).
Практические правила упрощенного суммирования погрешностей (Рис. 2 .17)
Погрешности всех звеньев измерительных каналов разбиваются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются потом раздельно.
Из суммируемых составляющих выделяется группа сильно коррелированных составляющих ( ) и группа слабо коррелированных составляющих( ). Для сильно коррелированных составляющих условно принимается  в зависимости от характера взаимосвязи. Обычно к этой группе относят погрешности, вызываемые одной и той же причиной (например, температурой окружающей среды, питающим напряжением, наводками от сети переменного тока и т.п.). Для слабо коррелированных погрешностей условно принимается  .
Для группы некоррелированных погрешностей производится геометрическое суммирование:
а для группы коррелированных погрешностей – алгебраическое суммирование с учетом знака корреляции:
 ,
где  ;  - коэффициенты влияния, о которых см. ниже.
Суммарные погрешности в каждой группе считаются некоррелированными между собой и общий итог получается путем геометрического суммирования:
 .
Для получения интервальной или энтропийной оценки суммарной погрешности нужно каким то способом найти или оценить вид закона распределения суммарной погрешности. В крайнем случае, можно принять произвольное допущение о форме закона распределения, однако впоследствии нужно помнить, что полученные результаты будут правомочны только при выполнении этого допущения. Зная вид закона суммарной погрешности, можно найти энтропийный коэффициент kэ и, соответственно, вычислить энтропийное значение погрешности:
 .
Задавшись уровнем доверительной вероятности Pд можно по таблицам найти квантильный коэффициент tP и определить доверительный интервал суммарной погрешности:
 .
При отсутствии информации о законах распределения составляющих погрешностей либо при больших трудностях в нахождении результирующего закона можно использовать доверительную вероятность Pд = 0,9. В этом случае для большинства одномодальных законов распределения выполняется соотношение:  . С учетом этой особенности расчет суммарной погрешности может быть сведен к следующему. Пусть суммируемые составляющие задаются интервальными оценками  . Тогда
 .
Рис. 2.17. Упрощенный алгоритм суммирования погрешностей.
Если суммируемые погрешности не коррелированы, то
Откуда
 .
Аналогичным образом можно получить правило для суммирования коррелированных погрешностей:
 .
Таким образом, для широкого класса распределений интервальные оценки при Pд = 0,9 можно суммировать так же, как и среднеквадратические значения погрешностей.
Дальнейшее упрощение методики суммирования нецелесообразно. В частности, пренебрежение корреляционными связями или разделением на мультипликативную и аддитивную составляющие может привести к значительному искажению результирующей погрешности.
Приведенная выше методика определения результирующей погрешности справедлива только в тех случаях, когда выходная величина является линейной суперпозицией входных величин (т.е. все блоки измерительного канала осуществляют линейные преобразования). Ситуация резко усложняется при наличии нелинейностей в измерительном канале. В этом случае выходная величина y определяется как нелинейная функция входных величин x1,…, xn:  . При этом вклад погрешностей величин x1,…, xn в результирующую погрешность может быть различным. В этом случае обычно поступают следующим образом. Нелинейную функцию аппроксимируют первыми членами разложения в ряд Тейлора (т.е. ограничиваются линейным приближением), тогда приращения (абсолютная погрешность) выходной величины Δy определяется как
 ,
где  - абсолютная погрешность величины xi. Модули частных производных
в данном случае обычно называют коэффициентами влияния i-й составляющей на результирующую погрешность.. В приведенных выше правилах суммирования погрешностей коэффициенты влияния были учтены.
В общем случае коэффициенты влияния hi зависят от самих величин x1,…, xn. Поэтому суммарную погрешность часто нельзя оценить, пока не будут известны значения измеряемых величин x1,…, xn. В связи с этим анализ погрешностей сложных измерительных каналов АСНИ часто осуществляется непосредственно в процессе проведения эксперимента. При этом одновременно с вычислением совокупного результата измерений с помощью ЭВМ осуществляется вычисление оценок погрешности этого результата. Причем, объем вычислений для определения погрешности зачастую многократно превышает объем вычислений для получения собственно самого значения результата измерения.
2.2.5. Распределение погрешностей по звеньям системы (обратная задача оценки погрешностей)
При проектировании АСНИ требуется решать обратную задачу, которая заключается в нахождении такого распределения погрешностей по звеньям измерительного канала, при котором суммарная погрешность не превышала бы установленных границ. Ясно, что одну и ту же суммарную погрешность можно различными способами разделить на составляющие. При строгом подходе число способов раздела на составляющие бесконечно. Следовательно, обратная задача в такой постановке не корректна, так как не имеет единственного решения. Для устранения некорректности путем конкретизации выбора из множества возможных решений одного единственного требуется привлечение дополнительной информации. В качестве такой дополнительной информации может использоваться критерий эффективности. С его помощью из множества допустимых решений выбирается наилучшее – именно оно и принимается за окончательное решение обратной задачи. Таким образом, мы приходим к оптимизационной постановке обратной задачи распределения погрешностей.
Оптимизационная постановка обратной задачи распределения погрешностей:
1. Строится целевая функция как обобщенный критерий эффективности, зависящий, в том числе, и от частых составляющих погрешностей:
где εi - некоторая оценка i-й составляющей погрешности; это может быть максимальное значение, среднеквадратическое, энтропийное, доверительный интервал и т.п. Обычно целевая функция строится на основе обобщенного критерия эффективности.
2. Задается ограничение на суммарную погрешность εS в виде неравенства
где F( ) - функция, задающая правило суммирования частных погрешностей; она определяется в результате решения прямой задачи анализа погрешностей;  - оценка предельного значения суммарной погрешности (заданная величина).
3. Искомое распределение погрешностей как вектор  находится путем решения типовой задачи на условную оптимизацию
Оптимизационный подход к решению обратной задачи включает в себя в качестве составной части решение прямой задачи анализа (суммирования) погрешностей при нахождении вида функции  .Таким образом, трудоемкость обратной задачи значительно выше, чем прямой. Функции Q и F обычно имеют сложный вид и, как правило, существенно нелинейны. Поэтому аналитически решить обратную задачу удается только в некоторых частных случаях. На практике для этой цели обычно используют итерационные процедуры оптимизации, реализованные в виде программы на ЭВМ. При этом на каждом шаге оптимизации фактически приходится решать прямую задачу суммирования погрешностей. Даже прямая задача может быть решена аналитически (в виде замкнутых формул) только для простых систем и в упрощенной постановке (см. подраздел. 2.2.4). В полной постановке эта задача может быть решена лишь методом компьютерного моделирования, (см. об этом раздел 4).
Следует отметить, что оптимизационная постановка обратной задачи может рассматриваться как вложение в более общую задачу проектирования системы на основе оптимизации обобщенного критерия эффективности. В этом случае суммарная погрешность может входить в качестве одного из ограничений, а целевая функция Q( ) - в качестве одного из частных критериев эффективности. Тогда найденный набор оптимальных параметров системы автоматически даст и оптимальное распределение погрешностей, поскольку составляющие погрешности зависят от каких то параметров из этого набора и, следовательно, однозначно ими определяются.
|
