2.2. Точностные характеристики 2.2.1. Критерии оценки погрешностей измерения
Функционирование АСНИ основано на извлечении информации об объекте с помощью средств измерения, обработке ее и выдаче результата в виде модели объекта: новой или, чаще, просто уточненной. Следует четко понимать, что полученная таким образом модель никогда не может абсолютно точно соответствовать исходному объекту. Причин тому много, но в качестве фундаментальных можно указать две:
1. Сами измерения можно осуществить лишь с конечной точностью (погрешности измерений могут быть малыми, но не нулевыми).
2. Обработка исходных измерительных данных и формирование результатов (получение модели) осуществляются цифровыми методами, что тоже дает неизбежную погрешность.
Итак, поскольку погрешность в выходном результате АСНИ – модели объекта – присутствует всегда, то важно иметь ее численную оценку. Таким образом, АСНИ должна не только выдать модель объекта, но и должна обязательно сопроводить ее достоверной оценкой адекватности. Для этого сама АСНИ должна обладать нормированными метрологическим характеристиками. При проектировании АСНИ именно ограничения на предельные значения метрологических характеристик служат основным условием, которое должно обязательно выполняться при поиске оптимального варианта технического решения. Именно поэтому из всех прочих характеристик АСНИ мы в первую очередь и более детально рассматриваем характеристики точности.
Существуют много различных типов погрешностей и соответствующих им числовых оценок: в зависимости от способов представления (абсолютные, относительные, приведенные), причин возникновения (методические, инструментальные), характера проявления (случайные, систематические) и т.д. Студенты, обучающиеся по специальности "Информационно измерительная техника и технологии" и родственным ей, изучают данный материал более полно в таких дисциплинах как "Теоретические основы ИИТ", "Методы и средства измерений", "Информационно измерительные системы" (см., например, [1, 23, 24]). Поэтому можно было бы ограничится простой констатацией этого факта. Однако следует признать, что традиционное определение погрешности как разности между точным и измеренным значением справедливо в полной мере лишь к измерению физических величин, выражаемых числовыми значениями (скалярами). Уже при измерении функциональных зависимостей само понятие погрешности требует существенного уточнения и привлечения более общих понятий (например, метрики). И наибольшей остроты эта проблема достигает в задачах идентификации динамических систем как преобразователей входной функции времени в выходную. Именно такая ситуация имеет место в случае АСНИ: ее результатом в наиболее общем случае является модель объекта как динамической системы. Внешне очень похожая, а по сути та же самая, ситуация имеет место в задачах проектирования систем цифровой обработки сигналов (ЦОС) и компьютерного моделирования (КМ) динамических систем, когда нужно уметь оценивать степень точности, с которой физически реализуемая система (цифровая модель, компьютерная программа) соответствует исходной задаче, представленной в виде некоторой непрерывной модели (аналитической или виртуальной, умозрительной), принимаемой за прототип или эталон. Корректное определение погрешности в этой ситуации требует учета некоторых дополнительных факторов.
Формализация понятия модели и соответствия моделей
Определение 1. Будем называть моделью тройку M=X,S,Y, где X - множество входов, Y - множество выходов, S - оператор (отображение) связывающий вход с выходом S: XY.►
Такое определение модели охватывает достаточно широкий круг реальных ситуаций, в том числе задачи обработки сигналов и компьютерное моделирование. По сути оно только фиксирует общую теоретико-множественную терминологию для различных прикладных областей (Рис. 2 .10). В частности, для системы обработки сигналов характерно использование в качестве входов и выходов функций времени (сигналов), а для систем компьютерного моделирования характерна реализация оператора S в виде алгоритма, который должен допускать запись его на алгоритмическом языке и последующую трансляцию в последовательность машинных команд универсального или специализированного процессора. Область ЦОС может рассматриваться как своеобразное объединение двух указанных выше ситуаций: в качестве входов и выходов используются функции времени (дискретного), а система обработки (оператор S) представляется в виде алгоритма. В случае программной реализации задача ЦОС может рассматриваться как частный случай задачи компьютерного моделирования исходной аналоговой системы обработки (прототипа). Таким образом, различия между ЦОС и КМ для широкого круга приложений и на определенном уровне абсракции являются несущественными.
Рис. 2.10. Параллельные термины в определении модели M=X,S,Y
Замечание 1. В математике принято более общее понятие модели (реляционной системы) как частного случая алгебраической системы U=A, ΩF, ΩP при ΩF=, ΩP, где A - основное множество системы, ΩF множество операций, ΩP множество предикатов, заданных на множестве A [8, стр. 46]. Понятие модели в соответствии с Определением 1 просто более удобно для наших целей и легко согласуется с общепринятым определением, если положить A=XY, а оператор S (как бинарное отношение) задать соответствующим ему двуместным предикатом P, определяемым условием  тогда и только тогда, когда S(x)=y.
Замечание 2. Понятие модели M согласно Определению 1 при выполнении некоторых дополнительных ограничений совпадает с концепцией динамической системы в терминах вход-выход, принятой в традиционной теории динамических систем (см., например, [25, стр. 20], [26, стр. 13]).
Определение 2. Будем называть морфизмом модели M1=X1,S1,Y1 на модель M2=X2,S2,Y2 соответствие F: M1M2, задаваемое тройкой частных соответствий F=FX,FS,FY, где FX: X1X2, FS: S1 S2, FY: Y1Y2. ►
Замечание 3. В общем случае Определение 1 не требует, чтобы соответствия FX и FY были отображениями, то есть имели бы не более одного образа для каждого оригинала, хотя на практике в большинстве случаев FX и FY являются именно отображениями. В тех случаях, когда это не так, это будет акцентироваться особо. Формально соответствия FX и FY могут задаваться как бинарные отношения на декартовых произведениях соответствующих множеств FX X1X2; FY Y1Y2.
Рассмотрим наиболее общий случай структуры морфизма моделей, которую он может иметь с точки зрения информационного содержания, то есть с точностью до способа кодирования или изоморфизма базовых множеств и отображений (Рис. 2 .11).
И модель оригинал M1 и модель образ M2 морфизма F: M1M2 включают в себя существенную и несущественную части. Деление на существенную и несущественную части относительно и определяется целью, ради которой определяется и реализуется тот или иной морфизм моделей. Существенная часть в оригинале - это информация, которую желательно передать (перенести, отобразить) в образ. Несущественная часть в оригинале - это те его особенности, которые могли бы отсутствовать, и являются как бы "бесплатным приложением" к существенной части. Некоторая часть как существенной, так и несущественной части модели оригинала в модель образ не попадает и составляет потери. Ту часть информации образа (существенную и несущественную), которая переходит в образ, будем называть инвариантом морфизма. Кроме инварианта в образе имеется информация (как в существенной, так и в несущественной частях), которой не было в оригинале. Эту часть информационного содержания образа будем называть паразитной (или избыточной) информацией. Паразитная информация в существенной части образа является вредным фактором, с точки зрения близости соответствия моделей, поскольку в модели образе она неотличима от релевантной1 части, которая состоит из той доли существенной части информации модели оригинала, которая сохраняется (передается) морфизмом. Наличие паразитной информации в несущественной части образа негативного значения не имеет.
Рис. 2.11. Информационное содержание модельного морфизма
Таким образом, на качественном уровне степень близости образа и оригинала определяется полнотой релевантной части, малостью паразитной доли в существенной информации образа, а также способностью отличать существенную часть от несущественной, релевантную от нерелевантной. Полное (абсолютно точное) информационное соответствие между моделью образом и моделью оригиналом возможно только в том случае, когда релевантная часть образа равна существенной части оригинала. При этом паразитная информация и потери существенной части оригинала отсутствуют. Если, к тому же, несущественная часть в образе отсутствует, то релевантная часть совпадает с инвариантом морфизма, и мы имеем предельный случай морфизма с полным безызбыточным образом.
Модельная трактовка задач ЦОС и КМ
Понятие модели позволяет формализовать постановку задач ЦОС и КМ следующим образом. Считаем известной (заданной) исходную (обычно бесконечно-непрерывную) модель MP, которую будем называть моделью проблемной области (Problem domain). Алгоритм ЦОС или программа компьютерной модели ассоциируется с моделью MR, которую будем называть моделью области реализации (Realization domain). Соответствие между моделью MP=XP,SP,YP и MR=XR,SR,YR задается морфизмом F: MPMR, который состоит из трех компонент F =FX, FS, FY, где FX: XPXR, FS: SP SR, FY: YPYR. При цифровой реализации множества XR и YR - конечны. Множества же исходной модели XP и YP, как правило, бесконечны. Обычно это пространства непрерывных функций времени, протяженности и других величин.
Рис. 2.12. Отображение проблемной области на область реализации
С учетом введенных определений задача синтеза (проектирования) системы ЦОС может быть сформулирована как задача нахождения подходящей модели реализации MR=XR,SR,YR и соответствующих отображений F=FX, FS, FY. При этом, поскольку базовые множества области реализации конечны, а базовые множества проблемной области непрерывны и бесконечны, то отображения FX, FY являются "суживающими" (обычно это гомоморфизмы или подобные им), то есть, одному элементу образу соответствует несколько элементов оригиналов. И это является существенным моментом, отражающим тот факт, что система ЦОС - это цифровая (конечная и дискретная) модель непрерывной (аналоговой) задачи.
Наибольшую трудность при проектировании вызывает синтез отображения FPRS, задающего проецирование оператора SP непрерывной задачи на цифровой алгоритм обработки, ассоциирующийся с оператором SR. Это проецирование должно обладать свойством подобия: для всех входных воздействий реакция (выход) проблемной модели и реакция (выход) рабочей модели на один и тот же вход должны быть в каком-то смысле близкими.
Критерии близости моделей (погрешности соответствия)
Близость двух моделей наиболее естественно определить близостью выходных результатов, которые они дают при одних и тех же входных данных. При этом нужно уточнить, что такое "при одних и тех же входных данных", а также задать способ определения расстояния между элементами множества - функцию расстояния или метрику.
Напомним, что для произвольного множества A метрика ρ есть функция двух аргументов ε = ρ(x,y), x, yA, εR+, или ρ: AA R+, которая удовлетворяет двум аксиомам [см, например, 27, стр. 378]:
1) ρ(x,y)=0 x=y, x, yA;
2) ρ(x,y)ρ(x,z)+ρ(z,y), x,y,zA (неравенство треугольника),
из которых вытекает ρ(x,y)0 и ρ(x,y)=ρ(y,x) x,yA.
В таком определении метрики для нас является важным то, что расстояние есть положительное вещественное число, определена операция сложения расстояний (аксиома 2) и сравнению подлежат только элементы одного и того же множества.
Сложность определения близости дискретно-конечной и исходной непрерывно бесконечной модели проистекает из необходимости сравнивать между собой цифровой результат, как элемент конечного множества, и точный результат, как элемент совершенно другого - непрерывного множества. При этом, прежде чем их сравнивать, нужно договориться, в какую одну область проецируются оба результата, а затем уже назначать правило определения расстояния между ними (метрику).
В связи с этим можно выделить два основных подхода к определению близости моделей MP и MR, связанных морфизмом F: MPMR : в терминах задачи (проблемной области) и в терминах области реализации. Другими словами можно сказать, что эти подходы связаны с точками зрения двух наблюдателей: наблюдателя в проблемной области и наблюдателя в области реализации. Учет позиции наблюдателя означает использование только той информации, которая доступна в данной конкретной области. Таковой является полная и исчерпывающая информация только о модели той области, в которой находится наблюдатель, а о модели из другой области доступна только косвенная информация, передаваемая посредством связывающих их морфизмов. При этом важны не только свойства морфизма с точки зрения полноты передачи релевантной информации, но и способность наблюдателя различать в образе несущественную информацию от существенной, а в последней - релевантную часть от нерелевантной (см. Рис. 2 .11).
Рассмотрим особенности двух упомянутых точек зрения в предположении, что морфизм F:MPMR имеет суживающий характер, то есть модель MP "богаче" модели MR.
Точка зрения наблюдателя в проблемной области (P погрешность)
Известна пара (xP, yP) - точный вход и точный выход, поскольку для любого xPXP, ввиду известности SP, можно найти точный выход yPYP как yP= SP(xP). С помощью соответствия FX элемент xP "отправляется" в область реализации, куда он поступает в виде xRXR. Под действием оператора SR в области реализации получается некоторый выход (результат) yRYR, в качестве информации о котором наблюдатель в проблемной области имеет только результат действия обратного соответствия F-1Y(yR).
Рис. 2.13 Точность соответствия моделей с точки зрения наблюдателя в проблемной области (P погрешность)
В общем случае F-1Y(yR).есть множество более чем из одного элемента, поэтому возникает проблема выбора: какой из них принимать за приближенный результат и затем сравнивать с точным результатом. Обозначим произвольную функцию выбора в множестве YP символом Choice({.}), аргументом которой является подмножество множества YP, а результат - один выбранный элемент этого подмножества. Если такая функция выбора на множестве YP задана, то выбор приближенного выходного элемента  может быть записан как
В итоге степень близости моделей MP и MR (или точность аппроксимации модели MP моделью MR) определяется расстоянием между  , которое будем в духе работы [28] называть локальной погрешностью.
Определение 3. Локальной погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя в проблемной области (локальной P погрешностью) назовем величину  где yP=SP(xP); - точный выход1;  - приближенный выход; ρ(•,•) - метрика YPYPR+. Локальная P погрешность eP(xP), кроме аргумента xP, зависит еще от FX, SR, SP, FY, что явно не обозначается. ►
Обратим внимание на то, что рассматривается общий случай, при котором не требуется, чтобы yPF-1Y(yR), хотя возможность этого не исключается. Локальная P погрешность eP(xP) определяется для каждого элемента xPXP, то есть является функцией от входного элемента. Для получения глобальной погрешности eP, (обозначается отсутствием аргументных скобок) на множестве функций eP(xP):XPR+ нужно задать некоторый функционал P:{eP(xP): xPXP}R+, определяющий вид глобальной оценки: максимальная, средняя арифметическая, средняя квадратичная и т.п.
Определение 4. Глобальной погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя в проблемной области (глобальной P погрешностью) назовем величину eP=P[eP(xP)], где P - некоторый локализующий функционал P:(R+)XpR+, определяющий вид глобальной оценки. Глобальная погрешность eP зависит от класса, к которому принадлежит множество XP, а также от FX, SR, SP, FY.►
Точка зрения наблюдателя в области реализации (R погрешность)
Данная ситуация иллюстрируется диаграммой на Рис 2 .14.
Рис 2.14 Точность соответствия моделей с точки зрения наблюдателя в области реализации (R погрешность)
Известна пара (xR, yR) - вход и выход в области реализации, которые (в некотором условном смысле) принимаются за приближенные. С помощью обращения соответствия FX элемент xR "отправляется" в проблемную область, куда он поступает в виде подмножества F-1X(xR)=kerFX(xR)XP элементов множества XP, являющихся образами элемента xRXR - это все те элементы, которые могли бы быть "точными входами". Поскольку заранее не известно, какой из входных элементов xPkerFX(xR) XP порождает xRXR, то следует найти множество всех возможных результатов SP(kerFX(xR)) YP, которое затем "возвращается" в область реализации с помощью соответствия FY, где оно в виде подмножества FY(SP(kerFX(xR))) становится доступным наблюдателю. Это подмножество содержит образы  всех возможных точных результатов yR и в общем случае содержит более одного элемента. Нет никаких оснований выделять какой то один из них и принимать его за образ "истинного" точного результата, поскольку все возможные прообразы xPF-1X(xR)XP входного элемента xRXR равноправны между собой. В этой ситуации разумнее всего использовать оценку "наихудшего случая", что для погрешности означает выбор значения, являющегося точной верхней гранью (супремумом) множества возможных значений.
Определение 5 Локальной погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя в области реализации (локальной R погрешностью) назовем величину  , где ρR(•,•) - метрика, ρR: YRYRR+; yR=SR(xR) - выход модели MR;  - отображение в область реализации множества "точных" выходов (из проблемной области), которые могли бы быть найдены для всех входных элементов проблемной области, соответствующих (с помощью  ) элементу xR. Локальная R погрешность eR(xR) кроме аргумента xR зависит еще от FX, SR, SP, FY, что явно не обозначается.►
Определение 6. Глобальной погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя области реализации (глобальной R погрешностью) назовем величину eR=R[eR(xR)], где R - некоторый локализующий функционал  , определяющий вид глобальной оценки. Глобальная R погрешность eR зависит от класса, к которому принадлежит множество XR, а также от FX, SR, SP, FY.►
Характерной особенностью R погрешности является то, что она определяется исключительно в терминах непосредственно доступной наблюдателю информации. Это может быть полезно в двух случаях. Во первых, для представления погрешности экспериментальных измерений через наблюдаемые величины без апелляции к непосредственно недоступному "истинному значению". И во вторых, для оценивания погрешности дискретных моделей через дискретные же величины, не прибегая к континууму.
Погрешность в проблемной области с точки зрения наблюдателя в области реализации (RP погрешность)
Определенные выше P и R погрешности казалось бы исчерпывают возможные подходы, связанные с оценкой точности аппроксимации одной модели другой учетом позиции наблюдателя. Однако, с прикладной точки зрения кажется разумным определить еще один вид погрешности - смешанной, когда наблюдатель, находящийся в области реализации пытается оценить погрешность в проблемной области. Аргументацией этому является следующее противоречие: с прикладной точки зрения интерес представляет именно P погрешность, поскольку она оценивает точность в терминах исходной задачи. Однако исходные данные непосредственно доступны только из области реализации и, следовательно, фактически может быть найдена только R погрешность. Причину противоречия легче понять, если представить как осуществляется реальный процесс, скажем, цифровой обработки сигналов. Если бы мы могли для каждого xP находить точный выход yP=SP(xP), а именно это и требуется для нахождения P погрешности, то система ЦОС нам уже не потребовалась бы. И это никоим образом не противоречит тому, что оператор SP известен. Да, нам известно, каким он должен быть, но фактически, как реального инструмента, у нас в распоряжении его нет.
Например, нам нужно получать спектр реально поступающих непрерывных сигналов. В этом случае оператор SP - это интегральное преобразование Фурье. Исчерпывающие сведения о его "устройстве" можно найти в любом математическом справочнике. Для некоторых типовых простых сигналов есть таблицы результатов. Для широкого класса составных сигналов есть правила "конструирования" результатов. Однако физически действующего устройства с таким оператором нет, а при строгом подходе не может быть в принципе. Поэтому, если нам все же нужно находить спектр любого заранее не известного входного сигнала, то ничего не остается, как довольствоваться какой то приближенной заменой точного оператора SP, на вход которого подавать образ (дискретизированный по времени и квантованный по уровню) входного сигнала. При этом входной сигнал оригинал (непрерывный), так и останется неизвестным.
Именно такая методология прикладного использования моделей приводит к целесообразности введения понятия смешанной RP погрешности, как погрешности в проблемной области, оцененной с точки зрения наблюдателя в области реализации. RP погрешность можно рассматривать также как R погрешность, приведенную к проблемной области с помощью морфизма моделей (Рис. 2 .15). Понятие RP погрешности можно рассматривать как попытку соединить того, "что нам надо" с тем, "что у нас есть".
Определение 7. Локальной приведенной к проблемной области погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя в области реализации (RP погрешностью) назовем величину  , где  Локальная RP погрешность eRP(xR) кроме аргумента xR зависит еще от FX, SR, SP, FY, что явно не обозначается.►
Определение 8. Глобальной приведенной к проблемной области погрешностью аппроксимации модели MP моделью MR с точки зрения наблюдателя в области реализации (глобальной RP погрешностью) назовем величину eRP=RP[eRP(xR)], где RP - некоторый локализующий функционал  определяющий вид глобальной оценки. Глобальная RP погрешность eRP зависит от класса, к которому принадлежит множество XR, а также от FX, SR, SP, FY.►
Рис. 2.15 Точность соответствия моделей в проблемной области с точки зрения наблюдателя в области реализации (RP погрешность)
Пример
Приведенные в данном подразделе определения погрешностей выражены на теоретико множественном языке, что позволило сформулировать их в максимально общей форме. Используя эти определения, путем замены общих понятий (множества, операторы, метрика, функция выбора) частными в каждом конкретном случае можно сформулировать определения погрешностей в терминах каждого такого конкретного случая.
Рассмотрим ситуацию, когда сложение вещественных чисел заменяется сложением целых чисел. В этом случае модель в проблемной области MP=XP,SP,YP содержит компоненты:
а модель в области реализации MR=XR,SR,YR - компоненты
 .
Пусть переход к цифровым множествам осуществляется квантованием по уровню с шагом 1, тогда соответствие между моделями задается морфизмом F: MPMR, компоненты которого суть
где x - означает наибольшее целое, меньшее x.
P погрешность (точка зрения наблюдателя проблемной области). Зададим метрику  . Пусть входными данными являются a=1.8 и b=3.6. Это означает, что xP=(1.8, 3.6), а yP=1.8+3.6=5.4. Переход в область реализации даст xR=(1, 3), yR=SR((1, 3))=1+3=4. Обращение соответствия FY от элемента yR=4 дает подмножество kerFY(4)={c: 4c<5}=[4, 5). Пусть ChoiceP([a, b))=(a+b)/2 (в качестве приближенного элемента выбираем середину интервала), тогда  . Отсюда локальная P погрешность eP((1.8, 3.6)) = P(5.4, 4.5) = 0.9.
R погрешность (точка зрения наблюдателя в области реализации). Зададим метрику  . Пусть xR=(1, 3), тогда yR=1+3=4. Обращение соответствия FX от элемента xR=(1, 3) дает в проблемной области подмножество
kerFX((1, 3))= {(a,b| a,bXP; a[1,2), a[3,4)}XP,
которое порождает подмножество возможных точных результатов
SP(kerFX((1, 3)))= SP({(a,b)| a,bXP; a[1,2), a[3,4)})= [4,6).
С помощью соответствия FY оно отображается из проблемной области в подмножество FY([4, 6))={4, 5}YP в области реализации. Локальная R погрешность определится как
RP погрешность (P погрешность с точки зрения наблюдателя в области реализации). Используя найденные выше подмножество возможных точных результатов SP[FX-1(xR)]=[4,6) и приближенный результат  , получим
 .
►
|
