2.3. Временные характеристики 2.3.1. Дискретизация по времени: постановка задачи
Многие измеряемые параметры являются по своей природе непрерывными аналоговыми величинами. При вводе в ЭВМ неизбежно приходится преобразовывать их в последовательность отсчетов, привязанных к конкретным моментам времени. Именно этот процесс мы и будем назвать дискретизацией по времени. Почти всегда, кроме известных частных случаев, замена непрерывных сигналов дискретными приводит к необратимым потерям части исходной информации, что косвенно отражается некоторым увеличением совокупной погрешности конечного результата. Вычленение этого "увеличения" в виде отдельной составляющей погрешности, обусловленной дискретизацией, возможно только для простейших способов обработки, либо в виде очень грубых верхних оценок погрешностей при упрощенных методиках их суммирования. Однако, для сложных многоканальных измерительных систем с "глубокой" цифровой обработкой измерительных сигналов такой упрощенный подход приводит к большим запасам в оценках погрешности. В свою очередь, это отражается в неоправданной избыточности по пропускной способности измерительных каналов и по производительности в вычислительной части. Именно в этих случаях есть смысл более углубленно рассмотреть и проанализировать влияние дискретизации на погрешность конечных результатов в надежде на то, что более корректный учет всех существенных факторов позволит снизить неоправданную избыточность и ослабить требования к проектируемой системе. Другими словами, умственные усилия, затраченные на более углубленное изучение этого вопроса, мы надеемся "разменять" на свою способность проектировать менее избыточные, а в конечном счете более дешевые, либо более производительные, информационно измерительные системы.
Общая схема корректного определения погрешности с учетом всех существенных факторов в этом случае показана на Рис. 2 .18. Она может рассматриваться как частный случай более общего определения (см. подраздел 2.2.1) погрешности представления одной модели - непрерывной, другой моделью - цифровой1. В данном случае отображение множества непрерывных входов (действительных функций действительного аргумента) на множество цифровых входов (цифровых последовательностей) Fx представлено процедурами дискретизации по времени (с параметром Δt) и квантованием по уровню (с параметром Δx). Последовательное выполнение обратного отображения множества цифровых выходов на множество непрерывных выходов Fy и функции выбора Choce( ) представлено процедурой приписывания каждой выходной цифровой последовательности некоторой непрерывной функции в множестве непрерывных выходов.
Рис. 2.18. Схема определения погрешности при замене непрерывной модели дискретной
Данная схема в чистом виде дает методику определения сигнала ошибки ε(t) только при однозначно известном входном сигнале xн(t). На основе такого сигнала ошибки ε(t) можно (путем задания конкретной метрики ρ(·,·)) определить только локальную погрешность e[xн(t)]. Для получения численного значения локальной погрешности e[xн(t)] нужно знать входной сигнал xн(t). Для получения глобального значения e этой же погрешности нам придется "просматривать" локальные погрешности e[xн(t)] для всех возможных сигналов xн(t) и на основе их значений строить глобальную оценку. Например, если мы строим глобальную погрешность как наихудший (максимальный) случай локальной погрешности на основе равномерного приближения, то функция метрики суть
 ,
а глобальная погрешность определится как1
 .
Аналогичным образом можно построить глобальную погрешность на основе среднеквадратического приближения. И в том и в другом случае для нахождения глобальной погрешности придется "просматривать" все xн(t) из множества Xн . При этом ясно, что если множество возможных входных сигналов Xн ничем не ограничено (т.е. это множество всех непрерывных или интегрируемых функций), то локальная погрешность для некоторых входных сигналов может быть сколь угодно большой2, и следовательно глобальная погрешность будет равна бесконечности (см. Рис. 2 .19).
Наличие дополнительных априорных сведений (информации) об исходной задаче часто позволяет сузить множество возможных входных сигналов. Именно для этого более узкого подмножества допустимых сигналов можно найти конечные границы, в которых будет находиться глобальная погрешность.
Рис. 2.19. Пример, демонстрирующий возможность сколь угодно большого уклонения произвольной непрерывной функции от заданной последовательности дискретных отсчетов
В зависимости от того, какая априорная информация о входном сигнале известна и принимается к сведению, какая метрика (функция расстояния  в пространстве выходных сигналов) используется для оценки погрешности, а также в каких терминах осуществляется описание постановки и решения задачи обработки сигналов (или моделирования), можно выделить три основных направления или подхода, в рамках которых традиционно рассматривается вопрос о погрешности временной дискретизации:
– использование динамических свойств сигналов (модель сигнала с ограниченными производными, подмножество входных сигналов ограничено предельными значениями производных Mn, аппроксимация решения степенными полиномами, максимальная оценка погрешности);
– использование частотных свойств сигналов (модель сигнала с финитным спектром, подмножество входных сигналов ограничено сигналами с шириной спектра ΔF, описание обработки в терминах фильтрации и линейных динамических систем, энергетическая оценка погрешности);
– использование статистических свойств сигналов (модель сигнала в виде стационарного случайного процесса с известной автокорреляционной функцией, подмножество входных сигналов ограничено интервалом корреляции Δτ, статистическая аппроксимация временных рядов, среднеквадратическая оценка погрешности).
Все три направления имеют глубинные взаимосвязи друг с другом, однако полностью друг к другу не сводятся. Важно только помнить, что каждый подход задает свою систему понятий и следует четко понимать границы их применимости. Например, понятие эффекта наложения спектра является атрибутом частотного представления, предполагающего процедуру восстановления с помощью идеального фильтра низких частот (или полосового). Теоретически этот эффект возникает из-за отклонения реальной ситуации от требований теоремы Шеннона–Котельникова. Для учета такого отклонения в итоговой погрешности может быть выделена составляющая, обусловленная наложением спектра.
При описании же процедуры восстановления с помощью степенных интерполяционных полиномов используется временное представление всей задачи, при этом остаточный член ряда Тейлора дает исчерпывающую оценку полной погрешности аппроксимации непрерывного сигнала. В этой ситуации попытка суммировать оценку погрешности восстановления с помощью степенного полинома и оценку погрешности наложения спектра (см., например, [30, стр. 41]) выглядит совершенно абсурдной. Исчезает ли при этом эффект наложения спектров? Куда при этом девается погрешность наложения спектров? Это вопросы из числа тех, на которые нет однозначного ответа, по той простой причине, что сами вопросы по своей сути некорректны, так как в них есть косвенные ссылки на неопределенные понятия. В частности, в каком смысле мы понимаем существование эффекта наложения спектра? При попытке уточнения ответа на этот вопрос мы не можем не заметить, что понятие спектра и его деформации, вызванные дискретизацией непрерывного сигнала, не являются атрибутами исходной постановки задачи, которую мы сейчас анализируем (какова погрешность от временной дискретизации), а являются атрибутами спектральной (частотной) модели данной задачи. Эта модель предполагает не только частотное представление входного сигнала, но и (непременно!) представление обработки (более точно - восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам) в частотной области как линейной низкочастотной или полосовой фильтрации, поскольку в определение погрешности от наложения спектра входит выходной сигнал низкочастотного (полосового) фильтра.
Отсюда и ответ: эффект наложения спектров существует всякий раз, когда мы используем частотную модель для представления задачи дискретизации-восстановления и условия теоремы Шеннона–Котельникова нарушены. То есть существование (или не существование) этого эффекта зависит от нашей точки зрения!!!
В других моделях то же самое отклонение в конечном результате будет иметь другое объяснение! Так, в модели интерполяционного многочлена оценка погрешности на основе остаточного члена разложения в степенной ряд будет исчерпывающей. Ни о каком "наложении спектров" в данной модели речь не идет. При анализе ситуации, когда в качестве априорной информации о сигнале используются его частотные свойства, а обработка осуществляется в терминах интерполяции, следует привести все к "общему знаменателю": либо представить степенной интерполятор как цифровой фильтр и тогда вести дальнейший анализ в рамках частотной модели, либо найти эквивалентную (или приближенную) замену известных частотных свойств о сигнале во временную область и вести анализ в терминах временной модели.
При таком приведении к "общему знаменателю" могут (и обычно возникают) специфические погрешности, часто символизирующие некоторый "запас на незнание", размытость ограничений на множество допустимых сигналов и т. п. Их ни в коем случае не следует путать с погрешностями самих моделей, хотя "по внешнему виду" (с точки зрения расчетных формул) они могут быть весьма похожими. Например, погрешность от наложения спектра и погрешность от приближенной замены сигнала с неограниченным спектром на модель с финитным спектром выражаются через один и тот же интеграл от спектральной плотности сигнала. Но это не дает никакого основания их отождествлять, хотя изучение вопроса: чем обусловлено такое внешнее сходство, – ведь не случайно же оно! – само по себе может быть довольно поучительным и интересным.
Классификация методов временной дискретизации
В заключение этого подраздела остановимся на укрупненной классификации методов временной дискретизации (см. Рис. 2 .20). Поясним некоторые ветви этой классификации. Сразу оговоримся, что мы сознательно ограничимся рассмотрением только более или менее традиционных методов дискретизации, для которых существуют достаточно проработанные теоретические модели и известны уже ставшие классическими основные результаты. В частности, всюду ниже мы будем предполагать, что в качестве "отсчетов" сигнала в моменты времени используются мгновенные значения сигнала x(ti) в эти моменты времени. Тем самым мы оставляем за пределами рассмотрения некоторые нетрадиционные методы. Например, методы дискретизации, использующие интегральные отсчеты [31].
Рис. 2.20. Классификация методов дискретизации
Равномерная (регулярная) дискретизация - в этом случае все интервалы дискретизации одинаковы и равны Δt. В этой (и только в этой) ситуации можно ввести понятие частоты дискретизации fд=1/ Δt, которая определяет количество отсчетов в единицу времени. Ввиду простого и единообразного устройства сетки отсчетов методы равномерной дискретизации могут быть более просто описаны и включены в ту или иную теоретическую модель. Особенно это касается моделей на основе частотного представления. Сколько нибудь продвинутые модели представления нерегулярной дискретизации в частотной области автору не известны. В основе дальнейшей классификации методов равномерной дискретизации лежит характер априорной информации о сигнале, используемой для обоснования выбора шага дискретизации.
Неравномерная (нерегулярная) дискретизация - в этом случае интервалы дискретизации могут быть существенно неодинаковы. Природа неравномерности отсчетов может быть различной. В зависимости от этого и различаются конкретные методы неравномерной дискретизации. Однако, из за принципиально различного характера неравномерности отсутствует общая теория и поэтому каждый вид неравномерной дискретизации обычно требует своей специфической модели для представления и теории для ее изучения. Неравномерная дискретизация по ряду своих показателей может обладать весьма интересными свойствами, которых нельзя получить в случае равномерной дискретизации. Именно это и побуждает заниматься их изучением и применением в реальных разработках.
Все методы нерегулярной дискретизации можно разделить на две большие группы: адаптивные и неадаптивные.
Неадаптивные методы- используют оценки погрешности восстановления на основе априорных1 сведений (информации) о входном сигнале. В процессе обработки интервалы дискретизации не изменяются и рассчитываются обычно на наихудший случай. Для конкретных сигналов может быть та или иная информационная избыточность (запас). Могут использоваться как глобальные, так и локальные оценки погрешности. В качестве наиболее характерных методов неадаптивной нерегулярной дискретизации можно отметить два: стохастическую дискретизацию (интервалы между отсчетами являются реализациями случайной величины с известным законом распределения) и нерегулярную дискретизацию по заданной программе, когда нерегулярность устраивается заранее по причинам, например, невозможности составить бесконфликтную программу опроса с равномерным шагом (для многоканальных систем), либо когда сама аппаратура измерительного канала не может обеспечить строго равномерный шаг дискретизации (скажем, ввиду асинхронности работы некоторых блоков).
Адаптивные методы нерегулярной дискретизации- используют оценки погрешности на основе апостериорных1 сведений о входном сигнале. В процессе обработки интервалы дискретизации изменяются сообразно фактическим свойствам сигнала на момент обработки. В чистом виде могут использоваться только локальные по времени оценки погрешности, то есть оценки, учитывающие значения сигнала на конечном отрезке времени.. Адаптивная дискретизация позволяет уменьшить информационную избыточность дискретного сигнала за счет устранения неизбежного "запаса на незнание". Для реализации адаптивной дискретизации должны иметься средства измерения локальных свойств сигналов и воздействия на текущий интервал дискретизации (система регулирования с обратной связью).
|
