Программа элективного предмета «преобразование числовых и буквенных выражений»

IV. Подведение итогов. Домашнее задание. Докажите справедливость равенства . Найдите сумму . Ответы и указания. При n=1 имеем , формула верна. Предположим, что равенство верно для n=k, т.е. . Докажем, что оно верно и для n=k+1: =. 2) , , . Можно предположить, что . Докажем это. Для n=1 формула верна. Предположим, что она верна для n=k. Докажем, что тогда она верна и для n=k+1: =. ЗАНЯТИЕ 3 (1 час) Тема урока: Рациональные числа Цель урока: Вспомнить понятие рационального числа; повторить основное свойство дроби и формулы сокращенного умножения; развивать вычислительные навыки. Ход урока I. Проверка домашнего задания. II. Повторение основных понятий. На предыдущих занятиях мы работали с целыми числами. Следующий класс чисел – рациональные. Рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби , где p – целое число, а q – натуральное. Класс рациональных чисел обозначается Q. Необходимо напомнить, что рациональное число можно представить не только в виде несократимой дроби, но и в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для работы с рациональными числами напомним некоторые формулы. Основное свойство дроби . Формулы сокращенного умножения ; ; ; ; . При необходимости можно напомнить ученикам правила действий с обыкновенными дробями, а так же нахождение процентных отношений. III. Решение задач На данном уроке целесообразно провести самостоятельную работу. Учащимся раздаются индивидуальные задания: карточка с одним примером. Оценивается не только правильность, но быстрота решения. На дом тоже дается карточка с примером. 1) Ответ: 5 2) Ответ: 1 3) Ответ: 12 4) Ответ: 16 5) Ответ: 12 6) Найти процентов от числа , если Ответ: 36 % 7) Найти число, процентов которого равно , если Ответ: 18,75 8) Найти число, 2,5 % которого составляют Ответ: 80 9) Найти 4,41 % от числа Ответ: 0,1 Найти число, 11% которого составляет число . Ответ: 50 Найти 45% от числа . Ответ: 2,52. На сколько процентов число 27 больше числа . Ответ: . Вычислить процентное отношение чисел А и В и определить: а) на сколько процентов А меньше, чем В; б) на сколько процентов В больше, чем А? А=; В=, Ответ: А=9; В=36. 1) А на 75% меньше, чем В; 2) В на 300% больше, чем А. IV. Подведение итогов. Домашнее задание. ЗАНЯТИЕ 4 (1 час) Тема урока: Десятичные периодические дроби. Цель урока: Повторить определение периодической дроби; научиться переводить дроби из десятичных периодических в обыкновенные; развивать вычислительные навыки. Ход урока I. Проверка домашнего задания. II. Объяснение нового материала. Итак, мы выяснили, что рациональные числа можно представить в виде обыкновенной или десятичной периодической дроби. Повторим ее определение. Последовательно повторяющаяся (минимальная) группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки: 0,7654654654…=0,7(654). Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Например: 8,(96) – чистая периодическая дробь; 8,3(96) – смешанная периодическая дробь. Если в числовом выражении встречается десятичная периодическая дробь, то для выполнения арифметических действий ее надо перевести в обыкновенную. Рассмотрим на примерах обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную. ПРИМЕР 1: Перевести число 0,(13) в обыкновенную дробь. Решение: Положим х = 0,(13) = 0,131313…. Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить х на 100, тогда 100х = 0,131313…100 = 13,1313… = 13,(13). Теперь вычтем х из 100х, получим 100х – х = 13,(13) – 0,(13). Значит 99х = 13, откуда находим х = . ПРИМЕР 2: Перевести число 2,(273) в обыкновенную дробь. Решение: Положим х = 2,(273). Эта чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Умножив х на 1000, получим 1000х = 2273,(273). Далее имеем: 1000х – х = 2273,(273) – 2,(273); 999х = 2271; х = . ПРИМЕР 3: Перевести число 0,2(54) в обыкновенную дробь. Решение: Положим х = 0,2(54).Перенесем в этой смешанной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х умножить на 10, получим 10х = 2,(54). Положим у = 2,(54) и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы это делали в предыдущих примерах. Имеем 100у = 254,(54); 100у – у = 254,(54) – 2,(54); 99у = 252; у = . Значит 10х = , откуда находим х = . ПРИМЕР 4: Перевести число 3,254(9) в обыкновенную дробь. Решение: Положим х = 3,254(9), получим 1000х = 3254,(9). Введем обозначение у = 1000х. Тогда имеем: у = 3254,(9), откуда 10у = 32549,(9); 10у – у = 32549,(9) – 3254,(9); 9у = 29295; у = 3255; 1000х = 3255; х =. Заметим, что , т.е. 3,254(9) = 3,255(0). Это обстоятельство имеет место для любых десятичных дробей с девяткой в периоде: такую дробь можно представить в виде дроби с нулем в периоде. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом. Например3, 72(9) = 3,73(0); 13,(9) = 14,(0). Таким образом, можно сформулировать правило перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную: Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в рациональную, нужно из числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, вычесть число, образованное из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода; полученную разность взять в качестве числителя дроби, а в знаменателе написать цифру девять столько раз, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом. III. Решение задач. Целесообразно сначала вызвать несколько человек к доске и отработать навыки перевода из десятичной периодической дроби в обыкновенную. Для этого выбирается несколько примеров из № 1 (а-в). а) 1,(0); 0,(3); 0,(7); б) 0,1(2); 1,12(3); 7,5(4); в) 0,(12); 1,0(12); 8,7(21); г) 23,5(0); 23,5(1); 23,5(13); 23,5(127). Далее по аналогии с предыдущим уроком учащимся раздаются карточки с примерами, в которых необходимо применить полученные навыки (№1-8). 2). Ответ: 1. 3). Ответ: 2. 4). Ответ: 1. 5). Ответ:. 6). Ответ: 11. 7). Ответ: 1. 8). Ответ: . 9) . Ответ: 0,5. IV. Подведение итогов. Домашнее задание. № 1(г); № 9.(При проверке этого номера следует обратить внимание на рациональность решения и рассмотреть два способа приведения к обыкновенной дроби второго множителя.) ЗАНЯТИЕ 5 (2 часа) Урок 1 Тема урока: Иррациональные числа. Цель урока: Повторить определение иррациональных чисел, действительных чисел; научиться доказывать иррациональность числа; избавляться от иррациональности в знаменателе. Ход урока I. Проверка домашнего задания. II. Повторение и расширение имеющихся знаний. Последний класс чисел, рассматриваемых в средней школе, действительные числа. Обозначается R. К уже известным числам добавляется понятие иррационального числа. Иррациональным является число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Предлагаем ученикам привести примеры иррациональных чисел. Разбираем устно № 1-4. 1) Какие из следующих чисел являются рациональными, какие – иррациональными. а) ; б) ; в) ; г) ; д) 0; е) ; ж) 0,666… з) 0,(31); и) 0,010010001… 2) Найти наибольшее целое число, меньшее числа: . 3) Найти наименьшее целое число, большее числа: . 4) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: . А теперь перейдем к серьезным задачам. Научимся доказывать иррациональность. Для этого будем использовать метод «от противного». ПРИМЕР 1: Доказать, что число является иррациональным. Доказательство: Предположим, что число является рациональным, тогда его можно представить в виде несократимой дроби , где (т.к.>0). Возведем в квадрат обе части, получим: , следовательно - четное число, тогда и - четное число, т.е. его можно представить в виде , , тогда , , т.е. - четно и, следовательно, также четно. Получается, что - сократимая дробь, это противоречит предположению, следовательно - число иррациональное. ПРИМЕР 2: Доказать иррациональность числа Доказательство: Предположим противное , где - рациональное число. Тогда . Возведем это равенство в куб: , откуда. Получилось, что равняется рациональному числу. Противоречие доказанному в предыдущем примере. Следовательно - число иррациональное. После разбора учителем примеров 1,2, ученикам предлагается следующее задание: 5) Доказать иррациональность следующих чисел: а) ; б); в); г) ; д) . Далее следует напомнить, что при работе с дробными выражениями, если в знаменателе стоит иррациональность, от нее принято избавляться, для удобства дальнейших вычислений. ПРИМЕР 3: Исключить иррациональность в знаменателе: а); б); Решение: Очевидно, что знаменатель первой дроби надо дополнить до разности квадратов, а во второй и третьей до разности кубов. а) . б) . Далее следует выборочное решение примеров из № 6, 7, 8. Исключить иррациональность в знаменателе 6) а) ; б) ; в) ; г) . 7) а); б) ; в) ; г); д) ; е) 8) а) ; б) ; в) ; г) . Ответы. 7) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 8) а) .Указание. Использовать тот факт, что ; б) ; в) ; г)

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обобщить полученные знания по теме «Упрощение числовых и буквенных выражений», закрепить навыки решения уравнений и текстовых задач...		Тема: Сложение и умножение числовых неравенств. Тип урока Обучающие: Рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и научить применять их при оценке выражений,...
	Урок математики 5 класс и 6 класс с использованием тио Отработать навыки составления, чтения и записи числовых выражений; нахождение значения этих выражений		Урока: урок конкретизации. Цели Закрепить способы решения задач через составление уравнений, числовых выражений, по действиям
	Урока: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни		Урок в 5 классе по теме: «Свойства сложения и вычитания» Решение задач – составление буквенных выражений, их упрощение и нахождение значений при данном значении буквы, творческое задание...
	Примерное поурочное планирование по алгебре 7 класс Контрольная работа №1 по теме «Выражения с переменными. Преобразование выражений»		Урок по алгебре в 8 классе по теме: «Преобразование рациональных выражений» Развивающие: Учить грамотной математической речи, культуре общения с одноклассниками
	Календарно-тематическое планирование учебного материала математика, 11 класс Свойства степени с натуральным, целым и рациональным показателем. Преобразование степенных и иррациональных выражений		Урок 9 класс Тема: «Преобразование рациональных выражений» Федеральное Казённое Общеобразовательное Учреждение «Вечерняя (Сменная) Образовательная Школа -1 уфсин по Томской области»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учитель: для уравнений необходимо знание многих понятий и умение выполнять определенные действия. А именно сложение и вычитание,...		Урок алгебры в 8 классе Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни ...
	Конспект урока алгебры и начал анализа "Преобразование тригонометрических выражений" (10 класс) Если в программе используются переменные, то все переменные должны быть описаны в разделе описания переменных		План-конспект урока тема урока: Преобразование рациональных выражений Формы работы: фронтальная, индивидуальная и групповая. После основного этапа урока допускаются физкультминутки
	"Преобразование выражений" Задание слайд 6: Из предложенных слов составьте часть определения понятия, выясните о чем идет речь? Слагаемые, имеющие одинаковую...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема: Формулы сокращенного умножения. Преобразование целых выражений с помощью формул сокращённого умножения