Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Решение рациональных уравнений 1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой задачи Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений – техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального уравнения. Пример 1 Решить уравнение: . Решение: В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части на . Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его решении. В результате сокращения получаем: Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа , а затем приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю: Напомним, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Поэтому наше уравнение превращается в следующую систему:   Теперь вспомним ещё один важный факт: произведение равно  тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен , а остальные множители при этом существуют. И наша система превращается в следующую: . Оба полученных корня являются решениями данного уравнения, так как при них знаменатель определён. Ответ: . 2. Пример текстовой задачи и решения её с помощью математического моделирования Рассмотренное нами уравнение является моделью для такой задачи: Задача 1 Лодка прошла  по течению реки и  против течения реки, затратив на весь путь . Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна . Решение: Решение данной задачи осуществим с помощью метода математического моделирования и выделим 3 этапа данного метода. Этап 1. Составление математической модели Обозначим через  – собственную скорость лодки (это стандартный приём при решении текстовых задач – обозначить с помощью неизвестной ту величину, которая спрашивается в условии задачи). Тогда:  – скорость движения лодки по течению реки;  – скорость движения лодки против течения реки. В этом случае, воспользовавшись формулой: , получаем, что время движения лодки по течению реки выражается как: , а время движения лодки против течения реки: . Тогда общее время движения лодки равно , откуда получаем уравнение:  – это и есть математическая модель данной задачи. Этап 2. Работа с математической моделью В данном случае работа с математической моделью сводится к решению данного рационального уравнения, что мы уже сделали в примере 1. При этом получили корни уравнения: . Этап 3. Ответ на вопрос задачи Дело в том, что математическая модель потому и является математической, что абстрагирована от реальной жизни. Если брать конкретно данную задачу, то математическая модель – это уравнение, которое может иметь любые корни. Однако неизвестная величина обозначает скорость лодки, поэтому не может быть, к примеру, отрицательной. Или: не может быть меньше скорости течения реки, иначе бы лодка не смогла бы плыть против течения. И такие ограничения могут быть в самых разных задачах. Поэтому, прежде чем записать ответ, необходимо оценить – является ли он правдоподобным. В данном случае очевидно, что  не подходит, так как лодка не смогла бы с такой скоростью плыть против течения. Поэтому в ответ пойдёт только одна величина: . Ответ: 3. Различные примеры решения рациональных уравнений Рассмотрим несколько примеров на решение непосредственно рациональных уравнений. Пример 2 Решить уравнение: . Решение: Перенесём все слагаемые в левую часть, а затем приведём дроби к общему знаменателю. Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе: Ответ:. Пример 3 Решить уравнение: . Решение: В данном уравнении в правой части уже стоит , поэтому ничего переносить левую часть не нужно. Сразу приведём дроби в левой части к общему знаменателю: . Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе: . Подставив данное значение в знаменатель, убеждаемся, что он не равен . Значит, это значение переменной является ответом. Ответ:. Пример 4 Решить уравнение: . Решение: Схема решения данного уравнения абсолютно такая же, как и у предыдущих: Ответ:. 4. Решение задачи, сводящейся к рациональному уравнению К решению рациональных уравнений часто сводятся различные задачи. Рассмотрим один из таких примеров. Задача 2 Существует ли такое значение , при котором разность дробей  и  равна ? Решение: Запишем уравнение, соответствующее условию данной задачи: . Решим данное рациональное уравнение точно так же, как и в предыдущих примерах. Приведём подобные слагаемые в числителе (они отмечены одинаковым цветом): То есть, такое значение  существует. Ответ: существует:.

Похожие:

	Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними		Урок обобщающего повторения Тема Тема: фсу, алгебраические дроби, действия с дробями. Квадратичная функция, ее свойства и график
	8 класс Учитель: Цыганова Светлана Владимировна 2008 г. Учебный предмет Обобщить и закрепить умения и навыки выполнения действий над алгебраическими дробями		Ролевая игра «Суд над дробями» Образовательные: Систематизировать и обобщить у учащихся знаний и умений при изучении материала: виды дробей, основное свойство дроби,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями		Требования к уровню подготовки учащихся Уметь распознать алгебраические дроби, находить множество допустимых значений переменной алгебраической дроби
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы...		Никитина Ольга Владимировна, моу сош №81 г. Волгограда Цели урок Место в учебном плане: перед темой «Примеры на все действия с алгебраическими дробями»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы...		Урок по теме: «Действия с обыкновенными дробями» 6 класс. Цели урока Сегодня на уроке мы должны повторить тему дроби и все действия с обыкновенными дробями. Сегодняшний урок это урок путешествия по...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Что такое дробь», «Основные свойства дроби», «Порядок...		Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального... Теоретические основы обучения теме «Алгебраические дроби»
	Урока «Обобщённый урок по теме «Дроби» Образовательные: совершенствовать навыки учащихся в работе с обыкновенными дробями, закрепить навыки выделения целой части из неправильной...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения
	Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,...		Конспект урока «Арифметические действия с десятичными дробями» 5... «Математика», 5 класс, Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И