Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Скачать 0.67 Mb.
|
Урок: Основные методы решения систем повышенной сложности 1. Тема урока, введение Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах. 2. Пример решения системы комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения Пример 1. Решить систему  Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители  3. Решение системы методом подстановки  Мы получили систему, линейную относительно  . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.4. Решение системы методом алгебраического сложения   Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения. Ответ:  5. Решение систем уравнений Пример 2. Решить систему  Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим      Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета     Ответ:  Пример 3. Решить систему  Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.            Ответ:  Пример 4. Решить систему  Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.  Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого уравнения второе. Ответ: (2; 1). Пример 5. Решить систему  Заметим, что  и произведем замену переменных: Решаем систему относительно новых переменных:   Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.   Ответ:  Пример 6. Решить систему  Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.  Мы можем сократить на  только если  но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.По этой же причине и      Подставим x в первое уравнение.   Мы решили систему методом почленного деления уравнений. Ответ:  6. Решение систем неоднородных уравнений второй степени Пример 7. Решить систему  Решение: В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.       1.  2.  Ответ:  Пример 8. Решить систему  Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.   Мы получили однородное уравнение второй степени. Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y. Тут возможны два варианта  1.  В таком случае и  Но это создает противоречие во втором уравнении системы.2.  Разделим обе части уравнения на    Получили квадратное уравнение относительно  . Корни квадратного уравнения    a.  b.   возникает противоречие, система не имеет решения. Ответ: 7. Вывод, заключение Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи. Урок: Системы уравнений в задачах на движение 1. Тема урока, введение В этом уроке мы рассмотрим задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу. 2. Решение простейшей задачи Задача 1. Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Решение: Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:  S – расстояние, V – скорость, T – время. Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит   Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель. Если лодка движется по течению, то она имеет скорость  км/ч и пройдет 14 км за время  Если лодка движется против течения, она идет со скоростью  км/ч и пройдет 14 км за время  .Мы получили математическую модель. То же самое можно получить с помощью таблицы.
Решим полученную систему.  Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч. 3. Решение опорных задач Перед тем как приступить к более сложным задачам, решим две опорные задачи на движение. 1. Первая опорная задача (сближение). Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу два поезда. Дано:  x, y – скорости поездов, км/ч. Найти: Время t до их встречи, и расстояния  пройденные до момента их встречи каждым из поездов.Решение:  Найдем скорость сближения:  Найдем время t до встречи:  Найдем искомые расстояния:  Ответ:  2. Вторая опорная задача. Первый турист вышел из пункта А. Одновременно второй турист вышел из пункта В. Оба двигаются в направлении луча АВ. Первый догнал второго в пункте С. Дано: x, y – скорости первого и второго туристов, км/ч. Найти: Время t до встречи туристов, расстояния  пройденные первым и вторым туристами до встречи.Решение:  Найдем скорость сближения:  Найдем время t до встречи:  Найдем искомые расстояния:  Ответ:  4. Решение задач Задача 2. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда. Решение: Пусть x км/ч, y км/ч – скорости первого и второго поездов. S – расстояние между городами. Рассмотрим вначале первый случай. Легко увидеть, что это задача на сближение, т.е. мы сможем пользоваться данными, полученными в первой опорной задаче.  700 км оба поезда пройдут за 5 часов со скоростью сближения   Второй случай: те же условия, но первый поезд начал движение через 7 часов после второго. За 7 часов второй поезд прошел  км, осталось  км, и только тогда начинает движение первый поезд. Начинается сближение. Поездам нужно пройти км с общей скоростью  и они встретятся через 2 часа, т.е.  Мы получили математическую модель. Упростим полученные уравнения.    Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч. Задача 3. Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки? Решение: Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, y км/ч – скорость течения реки. Время движения переведем в часы, 4 часа 40 минут =   Опишем первый рейс:  Из А в С лодка шла 45 км по течению со скоростью  км/ч, время в пути составило  ч.Из С в В лодка шла 15 км против течения, т.е.  ч. Суммарное время в пути составило  ч, т.е.  Опишем второй рейс:  Из С в А лодка шла 45 км против течения, т.е. была в пути  ч. Из А в В шла 30 км по течению, т.е. была в пути  ч. Общее время в пути составило 7 ч, т.е.  Решаем полученную систему:  Произведем замену переменных:   Переходим к старым переменным:  Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч. 5. Заключение Мы рассмотрели текстовые задачи на движение, составили для них математические модели и решили полученные системы. На следующем уроке будут рассматриваться задачи на работу. |
Похожие:
 | Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними | | Урок обобщающего повторения Тема Тема: фсу, алгебраические дроби, действия с дробями. Квадратичная функция, ее свойства и график |
| 8 класс Учитель: Цыганова Светлана Владимировна 2008 г. Учебный предмет Обобщить и закрепить умения и навыки выполнения действий над алгебраическими дробями | | Ролевая игра «Суд над дробями» Образовательные: Систематизировать и обобщить у учащихся знаний и умений при изучении материала: виды дробей, основное свойство дроби,... |
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями | | Требования к уровню подготовки учащихся Уметь распознать алгебраические дроби, находить множество допустимых значений переменной алгебраической дроби |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы... | | Никитина Ольга Владимировна, моу сош №81 г. Волгограда Цели урок Место в учебном плане: перед темой «Примеры на все действия с алгебраическими дробями» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы... | | Урок по теме: «Действия с обыкновенными дробями» 6 класс. Цели урока Сегодня на уроке мы должны повторить тему дроби и все действия с обыкновенными дробями. Сегодняшний урок это урок путешествия по... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Что такое дробь», «Основные свойства дроби», «Порядок... | | Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального... Теоретические основы обучения теме «Алгебраические дроби» |
| Урока «Обобщённый урок по теме «Дроби» Образовательные: совершенствовать навыки учащихся в работе с обыкновенными дробями, закрепить навыки выделения целой части из неправильной... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения |
| Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,... | | Конспект урока «Арифметические действия с десятичными дробями» 5... «Математика», 5 класс, Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И |
