Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Тема: Рациональные неравенства и их системы Урок: Системы рациональных неравенств повышенной сложности 1. Напоминание, определение рационального выражения На этом уроке рассмотрим решение более сложных рациональных неравенств. 1. Решить систему   Напомним, что рациональное выражение – это любое выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операций возведения в степень. Так что любое линейное либо квадратное неравенство тоже является рациональным. 2. Решение системы с рациональным выражением Рассмотрим  систему дробно-линейных неравенств: Рассмотрим первое неравенство Рассмотрим функцию  Область определения:  Нули функции:    Как можно было проще решить такое неравенство?   3. Отступление: обобщенное правило для дробно-рациональных неравенств Сформулируем обобщенное правило: Дробь положительна тогда и только тогда, когда произведение числителя и знаменателя положительно. Числа должны быть одного знака, либо оба положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим второе неравенство:     хорошо нам знакомая квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви направлены вверх. 4. Решение системы, продолжение Вернемся к системе.  Нанесем эти промежутки на ось координат. Ответ:  При нанесении корней на координатную ось нужно четко понимать, какая дробь больше, а какая меньше, для этого их необходимо привести к общему знаменателю. Мы рассмотрели решение довольно сложной системы, которая была нам дана. 5. Задание на составление системы В следующем примере систему нужно сначала составить. 2. Найти область определения выражения    Рассмотрим функцию  Функция существует, когда существуют оба квадратных корня. Решаем первое неравенство, рассмотрим функцию  ; (Рис. 4).   Решаем второе неравенство, рассмотрим функцию   (Рис. 5).   Вернемся к системе неравенств.   Отметим все решения на координатной прямой (Рис. 6). Ответ:  6. Заключение Мы рассмотрели решение рациональных неравенств повышенной сложности, в частности систему из двух дробно-линейных неравенств. Методика остается прежней,  она же будет использоваться и в дальнейшем. Урок: Метод введения новых переменных 1. Тема урока, введение На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных. 2. Пример на введение новых переменных Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет. Пример 1. Решить систему  Решение. Полезно ввести новые переменные     Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.     Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.   Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y. Решим систему методом подстановки.   Ответ:  3. Основные сведения о квадратных уравнениях Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них: Квадратное уравнение в общем виде:  Формула корней квадратного уравнения через дискриминант: Если b – четное число, имеем формулу:  Напомним теорему Виета: Если  корни квадратного уравнения , то  Верно и обратное: Если числа  удовлетворяют системе  , то они являются корнями квадратного уравнения . Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на  Получим   Получили новое уравнение относительно новой переменной     Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении). 4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных Пример 2. Решить уравнение  Решение:     ;   Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа. По теореме Виета     Ответ:  Пример 3. Решить уравнение  Решение:          Получили приведенное квадратное уравнение относительно z. По теореме Виета    Ответ:  Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. 5. Решение систем уравнений После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему: Пример 4. Решить систему  Решение: Произведем замену:              Вернемся к исходной системе:     Ответ: Пример 5. Решить систему:  Решение: Введем новую переменную:  Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.       Исходная система свелась к совокупности двух систем: Каждую систему решаем методом подстановки. 1.          2.          Находим y при известных x.    Ответ:  6. Пример симметрической системы Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.   Решение: Произведем замену  Получаем систему:   Мы ввели новые переменные, и нашли их. Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:   1.        2.     нет решений. Ответ:   Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.   7. Заключение Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы повышенной сложности.

Похожие:

	Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними		Урок обобщающего повторения Тема Тема: фсу, алгебраические дроби, действия с дробями. Квадратичная функция, ее свойства и график
	8 класс Учитель: Цыганова Светлана Владимировна 2008 г. Учебный предмет Обобщить и закрепить умения и навыки выполнения действий над алгебраическими дробями		Ролевая игра «Суд над дробями» Образовательные: Систематизировать и обобщить у учащихся знаний и умений при изучении материала: виды дробей, основное свойство дроби,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями		Требования к уровню подготовки учащихся Уметь распознать алгебраические дроби, находить множество допустимых значений переменной алгебраической дроби
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы...		Никитина Ольга Владимировна, моу сош №81 г. Волгограда Цели урок Место в учебном плане: перед темой «Примеры на все действия с алгебраическими дробями»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы...		Урок по теме: «Действия с обыкновенными дробями» 6 класс. Цели урока Сегодня на уроке мы должны повторить тему дроби и все действия с обыкновенными дробями. Сегодняшний урок это урок путешествия по...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Что такое дробь», «Основные свойства дроби», «Порядок...		Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального... Теоретические основы обучения теме «Алгебраические дроби»
	Урока «Обобщённый урок по теме «Дроби» Образовательные: совершенствовать навыки учащихся в работе с обыкновенными дробями, закрепить навыки выделения целой части из неправильной...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения
	Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,...		Конспект урока «Арифметические действия с десятичными дробями» 5... «Математика», 5 класс, Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И