Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Тема: Рациональные неравенства и их системы Урок: Решение рациональных неравенств методом интервалов   1. Тема урока. Введение Напоминание: Мы решаем неравенство вида  На прошлом уроке мы рассмотрели функцию  На примере подобной функции мы рассмотрели метод интервалов для решения рациональных неравенств и схематического построения графика функции. 2. Решение дробно-квадратичного неравенства Вместо  могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью. 1. Решить неравенство  Это же неравенство может быть представлено в виде  тогда нужно вначале разложить на множители числитель и знаменатель дроби. 1. Рассмотрим функцию  2. Область определения:  3. Найдем нули функции  4. Выделим интервалы знакопостоянства. 5. Находим знак функции на каждом интервале. Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке   На остальных промежутках аналогично.(Рис.1) Теперь возвращаемся к неравенству   Ответ:  Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи. Найти наименьшее решение неравенства. Ответ:  Найти число натуральных решений неравенства  Ответ: 2. Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства. Ответ:2. 3. Решение дробно-линейных неравенств Мы рассмотрели метод интервалов на примере дробно-квадратичного рационального неравенства. Рекомендуется самостоятельно построить эскиз графика функции для данного примера. 2. Решить неравенство:  Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду. Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов. 1.  2. Область допустимых значений   3. Нули функции  4. Определяем интервалы знакопостоянства. 4 – выколотая точка, т.к. при  функция не существует, изобразим это на графике пунктирной линией. 5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки (Рис.2). Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям. Ответ:  Мы привели исходное неравенство к дробно-линейному виду. Самостоятельно можно построить эскиз графика функции. 3. Решить неравенство  При решении данного неравенства может быть допущена грубая ошибка. Решать его методом умножения обеих частей на  категорически нельзя, будет потеряно множество решений! Можно умножить обе части неравенства на положительное число, тогда знак неравенства останется прежним. Можно умножить на отрицательное число, тогда знак неравенства поменяется. Но умножать на  мы не можем, т.к. не знаем его знака. Поэтому решаем неравенство методом эквивалентных преобразований. 1. Рассмотрим функцию  2. Область определения  3. Нули функции  4. Определим интервалы знакопостоянства. Точка 0 выколотая, в ней функция не существует, отметим это на графике пунктирной линией. 5. Расставим знаки на интервалах (Рис. 3). Возвращаемся к неравенству.  Ответ: 4. Вывод Мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов. В качестве функции выступала дробь, в числителе и знаменателе либо линейная, либо квадратичная функция. Мы и дальше будем использовать метод интервалов при решении сложных рациональных неравенств.   Тема: Рациональные неравенства и их системы Урок: Решение рациональных неравенств повышенной сложности 1. Тема урока, введение Мы решали рациональные неравенства вида  и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.   2. Решение задач Рассмотрим неравенства другого типа. 1. Решить неравенство  Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований. Теперь можно исследовать функцию  Рассмотрим функцию  нет корней. Схематически изобразим и прочитаем график функции (Рис. 1). Функция  положительна при любом .   Т.к. мы установили, что  можем поделить обе части неравенства на это выражение. Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель.  Рассмотрим функцию .           Схематически изобразим график функции - параболу,  значит ветви направлены вниз (Рис. 2). Ответ:  2. Решить неравенство Рассмотрим функцию  1. Область определения   2. Нули функции   3. Выделяем интервалы знакопостоянства. 4. Расставляем знаки (Рис. 3).             Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.   Мы допустили типовую ошибку – не включили в ответ корень . В данном случае равенство нулю допускается, т.к. неравенство нестрогое. Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что Ответ:  Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения. Рассмотрим еще один пример. 3. Решить неравенство Разложим на множители каждую скобку в отдельности.              т.к.   , потому можно не учитывать этот множитель. Теперь можно применить метод интервалов. Рассмотрим  Сокращать числитель и знаменатель на  мы не будем, это ошибка. 1. Область определения   2. Нули функции нам уже известны   не является нулем функции, т.к. не входит в область определения -  в этом случае знаменатель равен нулю. 3. Определяем интервалы знакопостоянства. 4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям (Рис. 4). Ответ:  3. Заключение Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем. Урок: Системы с рациональными неравенствами 1. Решение системы с рациональным неравенством Ранее мы рассматривали системы линейных неравенств, затем ввели квадратные неравенства, а теперь вводимрациональное неравенство. 1.  Решаем первое неравенство методом интервалов. 1. Рассмотрим функцию  2. Область определения  3. Нули функции  4. Выделяем интервалы знакопостоянства. 5. Определяем знак функции на каждом промежутке (Рис. 1). Неравенству удовлетворяют промежутки  Вернемся к системе.   Отметим все решения на координатной оси (Рис. 1а). Ответ:  Методика решения более сложных систем точно такая же. 2. Сопутствующая задача Рассмотрим сопутствующие задачи. Найти наименьшее решение данного неравенства. Ответ:  3. Решение этой же системы другим способом Рассмотрим еще один способ решения данной системы и увидим, что иногда систему решать легче, чем неравенство. Если  Знаменатель больше нуля, частное больше нуля, значит, и числитель должен быть больше нуля. Поэтому должно выполняться только неравенство    Мы получили тот же ответ, но решение гораздо короче. При решении системы необходимо учитывать влияние одного неравенства на второе. 4. Решение систем, сопутствующие задачи Решить систему неравенств. 2.  Пользуемся только эквивалентными преобразованиями.     Числитель положительный, частное отрицательное, значит знаменатель отрицательный.   Ответ:  Сопутствующие задачи: Укажите натуральные решения данной системы. Ответ:  Укажите число натуральных решений. Ответ:  Рассмотрим следующую систему неравенств. 3.  Решим первое неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию   Область определения:  Нули:    Решим второе неравенство. Рассмотрим функцию     График функции – парабола, ветви направлены вверх.   Получаем систему  Изобразим решения неравенств на координатной оси. Ответ: Сопутствующие задачи. Найдите натуральное решение неравенства. Ответ:  Найдите число натуральных решений. Ответ: 1. 5. Заключение Мы рассмотрели системы неравенств, где одно из неравенств рациональное. Мы указали случаи, когда систему легче решить, чем неравенство, т.к. решение одного неравенства может многое сказать о решении второго. В целом, методика сохраняется. Необходимо поочередно решить каждое неравенство и найти пересечение полученных множеств.

Похожие:

	Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними		Урок обобщающего повторения Тема Тема: фсу, алгебраические дроби, действия с дробями. Квадратичная функция, ее свойства и график
	8 класс Учитель: Цыганова Светлана Владимировна 2008 г. Учебный предмет Обобщить и закрепить умения и навыки выполнения действий над алгебраическими дробями		Ролевая игра «Суд над дробями» Образовательные: Систематизировать и обобщить у учащихся знаний и умений при изучении материала: виды дробей, основное свойство дроби,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями		Требования к уровню подготовки учащихся Уметь распознать алгебраические дроби, находить множество допустимых значений переменной алгебраической дроби
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы...		Никитина Ольга Владимировна, моу сош №81 г. Волгограда Цели урок Место в учебном плане: перед темой «Примеры на все действия с алгебраическими дробями»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы...		Урок по теме: «Действия с обыкновенными дробями» 6 класс. Цели урока Сегодня на уроке мы должны повторить тему дроби и все действия с обыкновенными дробями. Сегодняшний урок это урок путешествия по...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Что такое дробь», «Основные свойства дроби», «Порядок...		Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального... Теоретические основы обучения теме «Алгебраические дроби»
	Урока «Обобщённый урок по теме «Дроби» Образовательные: совершенствовать навыки учащихся в работе с обыкновенными дробями, закрепить навыки выделения целой части из неправильной...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Целые и рациональные выражения; все арифметические действия с дробями; формулы сокращенного умножения
	Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,...		Конспект урока «Арифметические действия с десятичными дробями» 5... «Математика», 5 класс, Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И