Программа элективного курса для учащихся 9 класса в предпрофильной подготовке

Длина сторон каждого квадрата равна а+в. а в Каждый из квадратов разбит на части, состоя в состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если площади а а квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами а, в, то останутся равные площади, т.е. с2=а2+в2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «Смотри!». 2. 8 6 Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи. На рисунке Пифагорова фигура достроена до 5 прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных 9 4 на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного 7 прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 3 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 2 Остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5,6,7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах. Остаются доказать, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. 3. Доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином(1594) K Здесь: РL- прямая; KLOA=ACPF=ACED=a2; L LGBO=CBMP=CBNQ=b2; AKBO=ARLO+LGBO=c2  c2=a2+b2. E A G c a D B C b Q N P M 4. Доказательство приведенное Гофманом (1821) Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой АВ. Здесь: D A OCLP=ACLF=ACED=b2; CBML=CBNQ=a2; b c OBMP=ABMF=c2; E O OBMP=OCLP+CBML; c2=a2+b2. F C a B P L Q N 5. Доказательство индусским математиком Бахаскара ( XIIв ). В С а) АВN=BCK=DCL=AMD. L б) KL=LM=MN=NK=a-b, AN=b BN=a. M в ) Если AB=c, то c2 = 4*1/2ав+(в-а)2= а2+в 2 K (b-a) ½ad N А Д 6. Доказательство Мёльмана. C b a Площадь данного прямоугольного треугольника A с одной стороны, равна 0,5рr, где р- полупериметр c B треугольника, r- радиус вписанной в него окружности ( r=0,5(а+в-с)). Имеем: 0,5ав-0,5рr-0,5(а+в+с)*0,5*(а+в-с), откуда следует, что с2=а2+в2. III. Практические упражнения. Доказательство Энштейна. N Доказательство основано на разложении 2 квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. 1 3 Здесь: АВС- прямоугольный треугольник 4 с прямым углом С; СОМ; СКМ; С РО//М; ЕF//MN. В 6 Докажите парное равенство 5 7 треугольников, полученных при O 5 8 разбиении квадратов, построенных на 7 А M катетах и гипотенузе. 1 P 8 K IV. Закрепление ( если останется время). Задача №8. Домашнее задание. Проработать теоретический материал, решить №10, 11. Занятие 3. Цель: способствовать выработке навыка решения задач, основанных на применение теоремы Пифагора. Методы обучения: объяснение, выполнение письменных упражнений. Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач. Ход занятия I. Проверка домашнего задания. (два ученика работают на доске) II. В одной задаче почти вся планиметрия. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи. Способ 1. В С а К 1. Продолжим ВС вправо. Проведем ДК//АС. Так как АСКД- параллелограмм. то ДК=6 см. 2. ВД 6 перпендикуляр ДК, т.к. ВД перпендикуляр АС. Треугольник ВДК- прямоугольный. По теореме А а Д Пифагора : ВК=√ВД+ВК→ВК=10см. 3. ВК= ВС+АД. Средняя линия равна половине ВК, т.е.5 см. Способ 2. В С 1.МN- средняя линия трапеции. Проведем МК//ВД и соединим точки N и К. 2. МК средняя линия М N треугольника АСД, следовательно, NК=0,5АС; NК=3 3. МК- средняя линия треугольника АВД, А К Д следовательно, МК=0,5ВД; МК=4(см). 4. Угол МКN равен углу АОД как углы с соответственно параллельными сторонами. 5. Треугольник МNК- прямоугольный, по теореме Пифагора: МN=√КМ+NК=5(см). III. Закрепление. По группам дается чертежи для самостоятельного решения. 1 группа -способ 4; 2 группа -способ 5; 3 группа- способ 6; 4 группа-способ 7. Домашнее задание. №14,15 Тема 3. « Золотое сечения » и пифагорейцы. Занятие 4. Цель: изучить теоретический материал по теме « Золотое сечение, золотая пропорция »; показать связь между пифагорейцами и золотом сечение; рассмотреть свойства звездчатого пятиугольника. Методы обучения: лекция- объяснение, выполнение тренировочных задач. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач. Ход занятия I. Лекция- объяснение. «Золотое сечение» деления в крайнем и средним отношении- деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является средний пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ=а сводится к решению уравнения а:х=х: (а-х),(где х=АС), откуда х=(√5-1)а/2=0,62а. Отношение х к а может быть также выражено приближенно дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13,… Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ, на нем откладывают Е Д отрезок ВЕ=1/2АВ, соединяют А и Е, откладывают ЕД=ЕВ и , наконец, АС=АД, тогда будет АВ:АС=АС:СВ. В С А В современной математике эту пропорцию называют средним геометрическим. Дошедший до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречаются во 2 книге «Начал» Евклида, где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида х(а+х)=а. Евклид применял «золотое сечение» при построении правильных 5-и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12-и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида. Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена еще пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильное решению квадратных уравнений. Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом здоровья и опознавательным знаком своего союза. Пентаграмма или пифагорейская звезда - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Рассмотрим свойства звездчатого пятиугольника. Итак, пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Легко видеть, что внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и.т.д. Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций». При n=5 имеем 180º *3:5=108º. В пятиугольнике АВСДЕ, ∟АВЕ=108º:3=36º. Соединим в ней точки К и F . Пятиугольник КLFРМ- правильный, т.е. угол КLF=108º, тогда угол LKF=36º. Нo ∟Е=36º, тогда ∟LKF=∟E тогда EC// KF, ∆BEP подобен ∆BKF. EB:KB=PB:FB (1). Обозначим EB=a KB=x, перепишем пропорцию (1) иначе : a:x=x :(a-x), x+ax-a=0, тогда x= (√5-1)/2*a. Значит, KB:EB=φ Таким образом доказано, что стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины, которых образуют «золотую пропорцию». «Золотое сечение» нашел свое применение в скульптурах Древний Греции. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела. И в наши дни встречаются здания при построении которых применяли «золотое сечение». иним в ней точки Киобой вместилище " очки деления, получим правильный пятиугольникастей..ения, равносиль II. Практическая задания. Вписать в окружность данного радиуса правильный десятиугольник. Пусть ОА=r. Требуется найти длину отрезка АВ. Решение: Проведем ОPAB, AP= AOcos72°r(√5-1):4. Нo AB=2AP=r(√5-1):2=rφ. Таким образом, чтобы построить правильный 10-угольник, вписанной в окружность радиусa r, надо радиус ОА окружности разделить точкой С в отношении «золотого сечения» и раствором циркуля, равным ОС, сделать 10 засечек на окружности, которые является вершинами вписанного 10-угольника. III. Закрепление. №20 самостоятельно с проверкой. Домашнее задание. 1) Найти свое золотое сечение; 2) построить отрезок длиной Ф=(1+√5)/2- обратная по отношению к числу φ (1/φ=Ф) Тема 4. Применение теоремы в решении задач. Занятие 5 Цель: проверить степень усвоения учащимся изученного материала. Форма контроля: зачет Ход занятия Вариант 1 1. Краткое биография Пифагора. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Мёльманну. 3. Определите углы треугольника со сторонами 1,√3,2. Вариант2 1. Пифагор и музыка. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Энштейну. 3. Определите углы треугольника со сторонами 1,1,√2. Вариант 3 1. Пифагорейская школа. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Гофману. 3. В треугольнике АВС АВ=√2, ВС=2. На стороне отмечена точка М так, что АМ=1, ВМ=1. Найдите АВС. Вариант 4 1. «Золотое сечение» и его построение. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Нассир- эд – Дином. 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, ВС=9. Медианы треугольника пересекаются в точке О, ОВ=10. Найдите площадь треугольника АВС. Вариант 5 1. Пифагорейская звезда. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Леонардо да Винчи. 3. В прямоугольном треугольнике АВС (С=90°) АС=6 см, ВС=8 см, СД- биссектриса. Найдите АВ, АД, ДВ. Вариант 6 1. Построить правильный десятиугольник. 2. Доказательство теоремы Пифагора по Бахаскарой. 3. В треугольнике МРК РК=2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА=АР=√3. АК=1. Найдите МРК. Домашние работа. №21,22. Занятие 6. Решение разных задач. Цель: закрепить навык решения различных задач с применением теоремы Пифагора. Методы занятий: беседа, решения задач. Ход занятия I. Анализ зачета. II.Проверка домашнего задания. III. Решение упражнений. 1.Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО=5, ОК=3. Найдите АН. Решение:

Похожие:

	Образовательная программа элективного курса по русскому языку. Категория учащихся: 5 класс Программа элективного курса «Юный лингвист» составлена на основе стандартов основного общего образования и нормативных документов...		Программа элективного курса по географии для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Программа элективного курса «Введение в экономику» предназначена для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки
	Программа элективного курса для предпрофильной подготовки автор программы Программа предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений. Содержание программы включает...		Рабочая программа элективного курса предпрофильной подготовки в 9-ом... К элективному курсу предпрофильной подготовки учащихся 9-го класса «В бесконечном мире задач»
	Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса		Элективный курс по предпрофильной подготовке «Экспериментальная физика»... Актуальным является повышение интереса учащихся к экспериментированию. Успешное изучение элективного курса «Экспериментальная физика»...
	Программа межпредметного элективного курса для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Поскольку содержание курса имеет междисциплинарный характер, в процессе подготовки и проведения занятий идет тесная кооперация учителей...		Программа элективного курса по русскому языку для учащихся 9-го класса "Практикум по орфографии" Программа элективного курса «Практикум по орфографии» рассчитана на 17 часов и предназначена для всех учащихся 9 класса
	Программа элективных курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки... Программа элективного курса рассчитана на 8 часов и предназначена для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки		Программа элективного курса предпрофильной подготовки «История Ржевского края в лицах» Приложение Программа элективного курса предпрофильной подготовки «История Ржевского края в лицах». Автор – составитель: Сорокина...
	Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов		Программа элективного курса предпрофильной подготовки по теме: «Профессии юридического мира» Приложение Программа элективного курса предпрофильной подготовки по теме: «Профессии юридического мира». Автор составитель: Черткова...
	Программа курса по выбору в рамках предпрофильной подготовки для... Программа “All around Britain” предназначена для учащихся 9-го класса. Страноведческое содержание этого курса призвано углубить формирование...		Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся... Разработка диагностического инструментария для оценки результативности работы по программе
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Программа элективного курса по истории Программа предназначена для предпрофильной подготовки учащихся с ориентацией на гуманитарный и социально- экономический профили....