Программа элективного курса для учащихся 9 класса в предпрофильной подготовке

E F N Приложение 2 Продолжение теоремы Пифагора. Шесть квадратов расположены так, как показано на рис. 1. Найти отношение суммы площадей квадратов А1,В1,С1, к сумме площадей квадратов А,В,С. A1 C B1 a1 D c b1 α β b γ c B A F c1 C1 Решение. Пусть а,в,с- длины сторон, α,β,γ- соответственно величины противолежащих углов треугольника Т, а1 ,в1, с1- длины сторон квадратов А1,В1,С1. Тогда сумма площадей квадратов А,В и С равна S= а+в+с, а сумма площадей квадратов А1,В1,С1 равна S1=а1+в1+с1. Из треугольника Д по теореме косинусов следует,чтоа=в+с-2вcos(π-α)=в+с+2всcosα. АналогичноизтреугольниковЕиFполучаем в1=а+с-2аcosβ,с1=а+в+2авcosγ.Следовательно,S1=2(а+в+с)+2всcosα+2асcosβ+2авcos. По теореме косинусов для треугольника Т имеем 2всcosα=в+с-а,2асcosβ=а+в+с,2авсcosγ=а+в-с. Таким образом, S1=3(а+в+с).Искомое отношение S1:S=3. Предложенные в задаче построения проделаем для прямоугольного треугольника Т. По теореме Пифагора SС квадрата С, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей SА и S В квадратов А и В. построенных на его катетах, т.е. SА+SВ=SС. Продолжим здесь поиск площадей SА, SВ, SС и их сравнение. Предложение 1. SА1+SВ1=5SС1 Доказательство. Подсчитаем двумя способами площади квадратов, содержащих квадраты SА1,SВ1.Тогда(2в+а)=4*2ав/2+SA1, или 4в+4ва+а=4ва+SA1. Откуда SA1=а+4в. Аналогично (2а+в) =4*2ав/2+SB1, 4а+4ав+в=4ав+SB1 и SB1= 4а+в. Следовательно, SA1+SB1=5(а+в)=5SC1. Назовем полученное соотношение между площадями SA1,SB1, SC1 соотношением продолжения теоремы Пифагора. Соединим далее отрезками «свободные» вершины квадратов А1,В1,С1 и примем их за стороны трех квадратов А2,В2,С2. Площади этих квадратов удовлетворяют соотношению теоремы Пифагора. 2в а 2в С2 А1 В2 в 2а В С в А в В1 С1 а а 2а А2 Предложение 2. SA2+SB2=SC2. Доказательство. Легко видеть, что SA2=(4а) и SB2=(4в). Для нахождения с найдем площадь квадрата, содержащего четыре равных прямоугольных треугольника и квадрата C2. Поскольку длина одного катета указанного треугольника равна а-(в-а)+в+2а=4а, а другого (в-а)+в+2в+а=4в, то (4а+4в)=4*4а*4в/2+SC2 или (4а)+32ав+(4в)=32ав+SC2. Следовательно, SC2=(4а)+(4в)=SA2+SB2. Итак, продолжая построение «пифагоровых штанов» и строя тройки квадратов Аi, Вi, Сi(i=1,2,3..) мы доказали, что их площади связаны следующими соотношениями: SA1+SB2=5SC1,SA2 +SB2 =SC2, SA3+SB3=5SC3. Выглядит правдоподобным, что и дальнейшие аналогичные построения будут приводить к чередованию соотношения теоремы Пифагора и соотношения продолжения теоремы Пифагора для соответствующих площадей квадратов. Приложение 3 Пифагорова числа Кроме чисел 3,4,5, существуют, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a+b=c. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора, такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника: поэтому a и b называют «катетами», а c- «гипотенузой». Ясно, что если a, c, b есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pc, pb, где p- целочисленный множитель,- пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел. Покажем, что в каждой из таких троек a, b, c один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» a и b четны, то четным будет число a+b, а значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа a, b, c не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» a, b нечетен. Остаются еще одна возможность: оба «катета» нечетные. а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид 2x+1 и 2y+1, то сумма их квадратов равна 4x+4x+1+4y+4y+1=4(x+x+y+y)+2, т.е. представляет собой число. которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем, квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа, иначе говоря. наши три числа- не пифагоровы. Итак, из «катетов» a, b один четный, а другой нечетный. Поэтому число a+b нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» c. Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые: 1. Один из «катетов» должен быть кратным трем. 2. Один из «катетов» должен быть кратным четырем. 3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. Найдите несколько таких чисел и сами убедитесь в этом. Приложение 4 Вопросы к зачету. 1.Краткое биография Пифагора. 2. Пифагорейская школа. 3. Пифагор и музыка. 4. «Золотое сечение» и его построение. 5. Пифагорейская звезда. 6. Построение правильного десятиугольника. 7. Доказательство теоремы Пифагора по Леонардо до Винчи, по Нассир- эд- Дином, по Гофманом, по Бахаскорой, по Энштейну и по Мёльманну.

Похожие:

	Образовательная программа элективного курса по русскому языку. Категория учащихся: 5 класс Программа элективного курса «Юный лингвист» составлена на основе стандартов основного общего образования и нормативных документов...		Программа элективного курса по географии для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Программа элективного курса «Введение в экономику» предназначена для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки
	Программа элективного курса для предпрофильной подготовки автор программы Программа предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений. Содержание программы включает...		Рабочая программа элективного курса предпрофильной подготовки в 9-ом... К элективному курсу предпрофильной подготовки учащихся 9-го класса «В бесконечном мире задач»
	Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса		Элективный курс по предпрофильной подготовке «Экспериментальная физика»... Актуальным является повышение интереса учащихся к экспериментированию. Успешное изучение элективного курса «Экспериментальная физика»...
	Программа межпредметного элективного курса для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Поскольку содержание курса имеет междисциплинарный характер, в процессе подготовки и проведения занятий идет тесная кооперация учителей...		Программа элективного курса по русскому языку для учащихся 9-го класса "Практикум по орфографии" Программа элективного курса «Практикум по орфографии» рассчитана на 17 часов и предназначена для всех учащихся 9 класса
	Программа элективных курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки... Программа элективного курса рассчитана на 8 часов и предназначена для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки		Программа элективного курса предпрофильной подготовки «История Ржевского края в лицах» Приложение Программа элективного курса предпрофильной подготовки «История Ржевского края в лицах». Автор – составитель: Сорокина...
	Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов		Программа элективного курса предпрофильной подготовки по теме: «Профессии юридического мира» Приложение Программа элективного курса предпрофильной подготовки по теме: «Профессии юридического мира». Автор составитель: Черткова...
	Программа курса по выбору в рамках предпрофильной подготовки для... Программа “All around Britain” предназначена для учащихся 9-го класса. Страноведческое содержание этого курса призвано углубить формирование...		Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся... Разработка диагностического инструментария для оценки результативности работы по программе
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Программа элективного курса по истории Программа предназначена для предпрофильной подготовки учащихся с ориентацией на гуманитарный и социально- экономический профили....