Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей и математическая статистика по направлению 080100. 62 Экономика, профиль Экономика предприятий и организаций Программа учебной дисциплины
Скачать 0.65 Mb.
|
| Пусть даны две независимые дискретные случайные величины µ § и µ §. Рассмотрим свойства математического ожидания: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: µ §. µ § Постоянную величину µ § можно рассматривать как величину, принимающую значение µ § с вероятностью 1. Поэтому µ §. ЁЂ Пусть µ § - некоторая постоянная. µ §. µ § µ §. ЁЂ 3. µ §. µ § В соответствии с определением суммы (разности) случайных величин µ § µ § представляет случайную величину, которая принимает значения µ § (µ §), где µ § с вероятностями µ §. Поэтому µ §. Так как в первой двойной сумме µ § не зависит от индекса µ §, а во второй двойной сумме µ § не зависит от индекса µ §, то µ §. ЁЂ 4. µ §. µ § Так как µ § и µ § - независимы, то µ §. Тогда µ §. ЁЂ Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную µ §, то на эту же постоянную µ § увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины: µ §. µ § Используя свойства 1 и 3 математического ожидания, получим: µ §. ЁЂ Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: µ §. µ § Пусть µ §, тогда по свойству 5 µ §. ЁЂ Определение 8. Дисперсией µ § случайной величины µ § называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: µ §, или µ §, где µ §. В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания µ §, так как по свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины. Если случайная величина µ § - дискретная с конечным числом значений, то µ §. Если случайная величина µ § - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то µ § (если ряд в правой части сходится). Определение 9. Средним квадратическим отклонением µ § случайной величины µ § называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: µ §. Свойства дисперсии случайных величин: Дисперсия постоянной величины равна нулю: µ §. µ § µ §. ЁЂ Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: µ §. µ § µ §. ЁЂ Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: µ § или µ §, где µ §. µ § Пусть µ §. Тогда µ § Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: µ §. µ § µ § Определение 10. Функцией распределения случайной величины µ § называется функция µ §, выражающая для каждого µ § вероятность того, что случайная величина µ § примет значение, меньшее µ §: µ § Функцию µ § еще называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка µ § попадет левее заданной точки µ §. Свойства функции распределения: Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная в следующих пределах: µ §. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси. µ § соответственно как вероятности невозможного µ § и достоверного µ § событий. Вероятность попадания случайной величины в интервал µ § равна приращению ее функции распределения на этом интервале, то есть µ §. Определение 11. Случайная величина µ § называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Приведем пример функции распределения непрерывной случайной величины µ §, дифференцируемой во всех точках, кроме точек излома. Теорема 1. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Доказательство: Покажем, что для любого значения µ § случайной величины µ § вероятность µ §. Представим µ § в виде µ §. Используя свойство 4 функции распределения случайной величины µ §, и учитывая непрерывность µ §, получим: µ § Следствие 1. Если µ § - непрерывная случайная величина, то вероятность попадании случайной величины в интервал µ § не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, то есть µ §. Доказательство: µ § Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины. Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток µ §. µ §, то есть равна приращению функции распределения µ § на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, то есть средняя плотность вероятности на участке µ § равна µ §. Переходя к пределу при µ §, получим плотность вероятности в точке µ §: µ §, представляющую производную функции распределения µ §. Определение 12. Плотностью вероятности (плотностью распределения) µ § непрерывной случайной величины µ § называется производная ее функции распределения µ § Плотность вероятности существует только для непрерывных случайных величин. График плотности вероятности называют кривой распределения. Свойства плотности вероятности: 1. µ §, как производная монотонно неубывающей функции µ §. 2. вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток µ § равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от µ § до µ §, то есть: µ §. Это следует из того, что по свойству 4 функции распределения µ § и µ § - есть первообразная для плотности вероятности µ §. Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок µ §. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле: µ § 4. µ §, так как µ § и при µ §. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины определяются следующими формулами: µ § Замечание 1. Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных величин. В частности, свойство 3 дисперсии имеет вид: µ § или µ §. Распределение Бернулли. Определение 5. Дискретная случайная величина µ § имеет распределение Бернулли с параметром µ §, если µ § принимает значения 1 и 0 с вероятностями µ § и µ §, соответственно. Случайная величина µ § с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха µ § (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения µ § имеет вид µ §01µ §µ §µ § Математическое ожидание и дисперсия µ § равны соответственно: µ §, где µ §. Если все случайные величины из некоторой последовательности независимы и подчинены распределению Бернулли, то говорят о последовательности испытаний Бернулли. Если µ § - последовательность испытаний Бернулли, то сумма µ § имеет биномиальное распределение с параметрами µ § и µ §. Биномиальный закон распределения. Определение 6. Дискретная случайная величина µ § имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения µ § с вероятностями µ §, где µ §. Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа µ § наступлений события µ § в µ § независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью µ §. Ряд распределения биномиального закона имеет вид: µ §012µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ § Определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения µ § выполнено, так как µ § есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона: µ §. Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины µ §, распределенной по биномиальному закону равно µ §, а ее дисперсия µ §. Доказательство: Случайную величину µ § - число µ § наступлений события µ § в µ § независимых испытаниях ЁC можно представить в виде суммы µ § независимых случайных величин µ §, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, то есть µ §, где µ §. Случайная величина µ § выражает число наступлений события µ § в µ §-м испытании µ §, то есть при наступлении события µ § µ § с вероятностью µ §, при ненаступлении - µ § с вероятностью µ §. Случайную величину µ § называют альтернативной случайной величиной. Найдем ее числовые характеристики: µ § Тогда найдем математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины µ §: µ § Пример биномиального распределения Представим себе файл в виде последовательности бит на жестком диске. Предположим, что вероятность встречи единицы постоянна для данного типа файлов. Тогда количество попавшихся единиц будет распределено по биномиальному закону. Доказательство Рассмотрим одно из возможных состояний, возникающее в результате встречи µ § единиц и µ § нулей. Вероятность этого конкретного состояния будет равна µ §. Однако µ § единиц и µ § нулей могут встретиться различными способами. Количество этих способов равно µ §. Из этого следует, что вероятность возникновения любого из состояний, при которых встречаются µ § единиц и µ § нулей равна µ §. Конечная формула совпадает с формулой плотности биномиального распределения. Геометрическое распределение. Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность m успехов в n испытаниях, а геометрическая - вероятность m испытаний до первого успеха (включая первый успех). Определение 7. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения µ § (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями µ §, где µ § Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид: µ §123µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда µ § (так как µ § есть сумма геометрического ряда µ § при µ §). Случайная величина µ §, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число µ § испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью µ § наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода. Теорема 2. Математическое ожидание случайной величины µ §, имеющей геометрическое распределение, равно µ §, а ее дисперсия равна µ §, где µ §. Пример геометрического распределения Рассмотрим в качестве примера итерационный алгоритм вычисления квадратного корня из числа. Такой алгоритм будет заключаться в том, что проход по нему будет совершаться до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Вероятность того, что после заданного прохода эта точность будет достигнута, подчиняется геометрическому распределению. Доказательство Пусть µ § - вероятность того, что заданная точность будет достигнута после одного прохода. Для того, чтобы заданная точность была достигнута после n-го прохода необходимо, чтобы после всех остальных µ § проходов она не была достигнута. Вероятность этого события равна µ §. Кроме того, также необходимо, чтобы после следующего n-го прохода заданная точность была достигнута. Вероятность этого равна p. Итоговая вероятность определится как их произведение: µ §. Последняя формула совпадает с формулой плотности для геометрического распределения. Распределение Паскаля Распределение Паскаля неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность m успехов в n испытаниях, а случайная величина Паскаля - вероятность x испытаний вплоть до m-го успеха (включая и этот успех). Область x1 „T x < „V, x - целоеПараметрыm - число успехов, целое положительное число; p „Ў (0, 1) - параметр схемы Бернулли (вероятность "успеха")Плотность (функция вероятности)µ §Математическое ожиданиеµ §Дисперсияµ § Пример распределения Паскаля Предположим, что производится считывание информации с носителя, который время от времени дает сбои. Объем считываемых данных есть величина фиксированная. Всегда считывается вся информация, хотя считывание некоторых бит удается не с первого раза. Допустим также, что вероятность сбоя любого бита есть величина постоянная. Тогда вероятность того, что потребуется x попыток для считывания m бит будет подчиняться распределению Паскаля. Доказательство Пусть µ § - вероятность успешного считывания бита. Тогда вероятность одного из конкретных вариантов, при котором потребуется x попыток для считывания m бит будет равна µ §. Однако таких конкретных вариантов окажется µ §. В результате итоговая вероятность будет равна µ §. Последняя формула совпадает с формулой плотности для распределения Паскаля. Закон распределения Пуассона. Определение 1. Дискретная случайная величина µ § имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения µ § (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями µ §, где µ § Ряд распределения Пуассона имеет вид: µ §012µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения µ § выполнено, так как сумма ряда µ § (Используем, что µ § - есть разложение в ряд функции µ § при µ §). Теорема 1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру µ § этого закона, то есть µ §. Доказательство: Найдем математическое ожидание случайной величины µ §: µ § Дисперсию случайной величины µ § найдем по формуле µ §. Но сначала получим формулу для µ §: µ § Тогда µ § В качестве свойства распределения следует отметить, что сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, распределена по закону Пуассона. Если µ § независимые случайные величины, распределенные по закону Пуассона с параметрами µ §соответственно, то случайная величина µ § распределена по закону Пуассона с параметром µ §. Пример распределения Пуассона Вероятность того, что за интервал времени n будет произведено x обращений к жесткому диску, подчиняется распределению Пуассона. Доказательство Предположим, что в среднем за интервал времени n производится m обращений к жесткому диску. Каждое обращение занимает время t. Тогда время занятости жесткого диска будет равно m „e t < n, а вероятность его занятости в данный момент будет равна µ §. При этом вероятность того, что за интервал времени n будет произведено x обращений к жесткому диску, подчиняется биномиальному распределению и равна µ §. При достаточно малом t получим предел: µ §. Учитывая, что µ §, получим: µ §. Но так как µ §, то в итоге мы получим µ §, что соответствует формуле плотности для распределения Пуассона. Распределение Парето Известен так называемый закон Парето (иногда его называют «закон 80 / 20»), отражающий неравномерность распределения характеристик экономических и социальных явлений и процессов: - 20 % населения владеют 80 % капиталов (первоначальная формулировка самого В. Парето); - 80 % стоимости запасов на складе составляет 20 % номенклатуры этих запасов; - 80 % прибыли от продаж приносят 20 % покупателей; - 20 % усилий приносят 80 % результата; - 80 % проблем обусловлены 20 % причин; - за 20 % рабочего времени работники выполняют 80 % работы; - 80 % работы выполняют 20 % работников и т.д. «Формализацией» закона Парето является распределение Парето случайной величины z і y > 0, характеризуемое двумя параметрами ЁC минимально возможным значением y и показателем степени a > 0: |
Похожие:
 | Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21.... | | Основная образовательная программа высшего профессионального образования... О) по направлению подготовки 080100 экономика, профиль Экономика предприятий и организаций (жилищно-коммунальное хозяйство) является... |
 | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... | | Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080100. 62 «Экономика» Профиль подготовки «Экономика предприятий и организаций», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит» |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются | | Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Составитель: Председатель умс умо по направлению «Экономика» профиль «Экономика предприятий и организаций», заведующий кафедрой экономики... |
| Основы банковского дела Рабочая программа составлена доцентом Р. А. Семеновой на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего... | | Организация деятельности коммерческого банка Рабочая программа составлена доцентом Р. А. Семеновой на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего... |
| Ноу впо «институт международных экономических отношений» Кафедра... Математический анализ”, “Теория вероятностей и математическая статистика”, “Линейная алгебра”. Данная дисциплина является предшествующей... | | Учебной дисциплины пс рпуд рабочая программа учебной дисциплины (модуля)... Математические методы в экономике, экономика труда, экономика организаций и предприятий, бухгалтерский учет, анализ и аудит, налоги... |
| По направлению подготовки 080100 «Экономика» профиль подготовки «Экономика... Федеральная служба финансово-бюджетного надзора территориальное управление в Брянской области | | Экономика(вся основная теория в данной сфере) Тема Экономика: наука... Учебное пособие разработано в соответствии с программой курса, а также требованиями образовательного стандарта России к учебной дисциплине... |
| Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика | | Рабочая программа учебной дисциплины пс рпуд рекомендовано Математические методы в экономике, экономика труда, экономика организаций и предприятий, бухгалтерский учет, анализ и аудит, налоги... |
| Рабочая программа по дисциплине: история для направления: 080100.... Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования... | | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
