Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей и математическая статистика по направлению 080100. 62 Экономика, профиль Экономика предприятий и организаций Программа учебной дисциплины
Скачать 0.65 Mb.
|
(1) µ §. Плотности распределения (1) соответствует интегральная функция распределения (2) µ §. Эскиз плотности и интегральной функции распределения для случая µ § приведен на рисунке. Распределение Парето обладает свойством самоподобия: распределение значений, превышающих величину z0 і y, также является распределением Парето: (3) " z0 і y p(a, z0, z) = p(a, y, z) / (1 ЁC F(a, y, z0)) =µ §. Для распределения Парето существуют только моменты порядка, меньшего, чем степень a. Например, математическое ожидание случайной величины z с распределением (1) существует при a > 1 и равно (4) µ §. Отметим, что с ростом a распределение «вырождается» и математическое ожидание (4) стремится к y. Кроме того, в рамках предположения о том, что случайная величина распределена по Парето, зная математическое ожидание и минимальное значение y, можно легко вычислить параметр распределения a (см. (4)): (5) µ §. Распределение Эрланга Распределение Эрланга есть не что иное, как гамма-распределение при целочисленном значении параметра формы. Часто встречается в инженерных приложениях. Распределению Эрланга подчиняются суммы квадратов модулей независимых комплексных гауссовских случайных величин c нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями, поэтому распределение Эрланга достаточно часто встречается и в теории надежности. Область x 0 „T x < „V Параметры k - параметр формы; ѓб - параметр масштаба Плотность (функция вероятности) µ §Математическое ожидание kѓб Дисперсия kѓб 2 Пример распределения Эрланга Самой спрашиваемой книгой в библиотеке является книга А. Существует закономерность, что каждая следующая по спросу книга имеет спрос вдвое меньше, чем предыдущая. Предположим, что эта закономерность точная. Тогда количество спросов за некоторый промежуток времени может быть описано при помощи распределения Эрланга. Доказательство Пусть S - количество спросов за установленный промежуток времени книги А. Тогда книга, стоящая на n-м месте будет иметь следующее количество спросов: µ §. Преобразуем полученное выражение: µ §. Введем новую переменную: µ §. Тогда получим следующую формулу: S „e e-x. Последняя формула соответствует формуле для плотности распределения Эрланга при k = 1, ѓб = 1. Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Определение 1. Непрерывная случайная величина µ § имеет нормальный закон распределения с параметрами µ § и µ §, если ее плотность вероятности имеет вид: µ §. Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой. Изобразим схематично нормальную кривую µ § с параметрами µ § и µ §, то есть µ §. Нормальная кривая симметрична относительно прямой µ §, имеет максимум в точке µ §, равный µ §, и две точки перегиба µ § с ординатой µ §. Изобразим схематично график функции распределения случайной величины µ §, имеющей нормальный закон: Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины µ §, распределенной по нормальному закону, равно параметру µ § этого закона, а ее дисперсия ЁC параметру µ §, то есть µ §. Доказательство: µ §. Произведем замену переменной. Пусть µ §. Тогда µ § и µ §, пределы интегрирования не меняются, и следовательно: µ §. (При вычислении математического ожидания, когда интеграл представили как сумму двух интегралов, первый интеграл в сумме равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, а второй интеграл µ § - интеграл Эйлера-Пуассона.) µ §. Пусть µ §, тогда µ § ( применим метод интегрирования по частям): µ §. Теорема доказана. Важно отметить, что параметр µ § характеризует положение, а параметр µ § - форму нормальной кривой. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами µ §, то есть µ § называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая ЁC стандартной или нормированной. Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, по формуле µ § и вероятности ее попадания в некоторый промежуток по формуле µ § связана с тем, что интеграл от функции µ § является «неберущимся» в элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию Лапласа µ §, для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке µ §. Теорема 2. Функция распределения случайной величины µ §, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа µ § по формуле: µ §. Доказательство. µ §. Сделаем замену переменной, полагая µ §, тогда µ §, поэтому µ §. Выпишем отдельно первый интеграл в сумме: µ § (в силу четности подынтегральной функции и того, что интеграл Эйлера-Пуассона равен µ §). Второй интеграл с учетом того, что µ §, составляет µ §. Итак, µ §. Теорема доказана. Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале µ §. Она состоит из двух частей: первой, на интервале µ §, равной µ §, то есть половине всей площади под нормальной кривой, и второй, на интервале µ §, равной µ §. Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону: Вероятность попадания случайной величины µ §, распределенной по нормальному закону, в промежуток µ §, равна µ §, где µ §. Доказательство: Учитывая, что вероятность µ § есть приращение функции распределения на отрезке µ §, получим µ §. Вероятность того, что отклонение случайной величины µ §, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания µ § не превысит величину µ § (по абсолютной величине), равна µ §. Доказательство: µ § «Правило трех сигм» Если случайная величина µ § имеет нормальный закон распределения с параметрами µ § и µ §, то есть µ §, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале µ §. Действительно, пусть µ §, тогда µ § (см. табл.). Нарушение «правила трех сигм», то есть отклонение нормально распределенной случайной величины µ § больше по абсолютной величине, чем на µ §, является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала: µ §. Логарифмически-нормальное распределение. Определение 2. Непрерывная случайная величина µ § имеет логарифмически-нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону. Функция распределения логнормального распределения имеет вид: µ §. Плотность вероятности для логнормального распределения имеет вид: µ §. µ §, µ §. Функция логнормального распределения случайной величины µ § совпадает с функцией нормального распределения случайной величины µ §. Пример 1. Проведенное исследование показало, что вклады населения в данном банке могут быть описаны случайной величиной µ §, распределенной по логнормальному закону с параметрами µ §. Найти: а) средний размер вклада; б) долю вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 денежных единиц; в) моду и медиану случайной величины µ § и пояснить их смысл. Решение: а) найдем средний размер вклада, то есть µ § (ден.ед.) б) доля вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 ден.ед. µ §. Так как функция логнормального распределения случайной величины µ § совпадает с функцией нормального распределения случайной величины µ §, то µ § и µ §. Тогда µ §. в) Вычислим моду случайной величины µ § µ §, то есть наиболее часто встречающийся банковский вклад равен 280 ден.ед. µ §, то есть половина вкладчиков имеют вклады до 530 ден.ед., а другая половина ЁC свыше 530 ден.ед. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной СВ. Регрессия. Определение 1. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины µ § называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал). Напомним, что для ДИСКРЕТНЫХ случайных величин существуют следующие формулы условных вероятностей: µ §. В случае непрерывных случайных величин необходимо определить плотности вероятности условных распределений µ § и µ §. С этой целью в приведенных формулах заменим вероятности событий их «элементами вероятности», то есть µ § на µ §, µ § на µ §, µ § на µ §, µ § на µ § и µ § на µ §, после сокращения на µ § и µ §, получим: µ §, µ §, (*) то есть условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей. Соотношения (*), записанные в виде: µ § называются теоремой (правилом) умножения плотностей распределения. Условные плотности вероятностей можно выразить через совместную плотность следующим образом: µ §. Так как совместная плотность µ § двумерной СВ представляет собой геометрически некоторую поверхность распределения, то условная плотность µ § есть кривая распределения, подобная сечению этой поверхности плоскостью µ §, параллельной координатной плоскости µ § и отсекающей на оси µ § отрезок µ §. При изучении двумерных СВ рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих µ § и µ § - математические ожидания и дисперсии. Для непрерывной СВ µ § они определяются по формулам: µ § Наряду с ними рассматриваются также числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания µ § и µ § и условные дисперсии µ § и µ §. Эти характеристики находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, в которых вместо вероятностей событий или плотностей вероятности используются условные вероятности или условные плотности вероятности. Определение 2. Условное математическое ожидание случайной величины µ § при µ §, то есть µ §, есть функция от µ §, называемая функцией регрессии или просто регрессией µ § по µ §; аналогично µ § называется функцией регрессии или просто регрессией µ § по µ §. Графики этих функций называются соответственно линиями регрессии (или кривыми регрессии) µ § по µ § и µ § по µ §. Зависимые и независимые случайные величины. Ранее было введено понятие независимости дискретных случайных величин µ § и µ §, основанное на независимости связанных с ними событий µ § и µ § при любых µ § и µ §. Теперь можно дать общее определение независимости случайных величин, основанное на независимости событий µ § и µ §, то есть функций распределений µ § и µ §. Определение 1. Случайные величины µ § и µ § называются независимыми, если их совместная функция распределения µ § представляется в виде произведения функций распределения µ § и µ § этих случайных величин, то есть µ § В противном случае, при невыполнении равенства, случайные величины µ § и µ § называются зависимыми. Дифференцируя дважды равенство (*) по аргументам µ § и µ §, получим µ §, (**) то есть для независимых непрерывных случайных величин µ § и µ § их совместная плотность µ § равна произведению плотностей вероятности µ § и µ § этих СВ. Сравним формулу (**) с равенством из предыдущего пункта: µ §. Отсюда видно, что независимость двух случайных величин µ § и µ § означает, что условные плотности вероятности каждой из них совпадают с соответствующими «безусловными» плотностями, то есть µ §. Определение 2. Зависимость между двумя случайными величинами называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой. В случае вероятностной зависимости нельзя, зная значение одной из них, точно определить значение другой, а можно указать лишь распределение другой величины. Например, зависимости между числом отказов оборудования и затрат на его ремонт, весом и ростом человека и т. д. являются вероятностными. Если случайные величины µ § и µ § независимы, то линии регрессии µ § по µ § и µ § по µ § параллельны координатным осям µ § и µ §. Ковариация и коэффициент корреляции. Пусть имеется двумерная СВ µ §, распределение которой известно. Тогда можно найти математические ожидания µ §, µ § и дисперсии µ § и µ § одномерных составляющих µ § и µ §. Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин µ § и µ § недостаточно полно характеризуют двумерную СВ µ §, так как не выражают степени зависимости ее составляющих µ § и µ §. Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции. Определение 1. Ковариацией (или корреляционным моментом) µ § случайных величин µ § и µ § называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, то есть µ §. Из определения следует, что µ §. Для дискретных СВ: µ §. Для непрерывных СВ: µ §. Ковариация двух СВ характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки µ §. Свойства ковариации случайных величин: Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, то есть µ §. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, то есть µ §. Определение 2. Коэффициентом корреляции двух СВ называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: µ §. Из определения следует, что µ §. Коэффициент корреляции в отличие от ковариации ЁC есть величина безразмерная, то есть не зависит от размерности случайных величин. Свойства коэффициента корреляции: Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке µ §, то есть µ §. Если две случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, однако из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость. Если коэффициент корреляции двух СВ равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость. Пример 1. Даны следующие законы распределения случайных величин: µ §12µ §0,80,2µ §: µ §-1012µ §0,20,30,30,2µ §: Требуется определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин µ § и µ §. РЕШЕНИЕ. Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин: µ § µ § µ §-101210,10,250,30,1520,10,0500,05µ §: µ § µ § µ §, то есть между случайными величинами µ § и µ § существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться). С помощью ковариации можно дополнить и уточнить некоторые свойства математического ожидания и дисперсии: 1. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно сумме произведения их математических ожиданий и ковариации этих случайных величин: µ §. Если µ §, то µ §. 2. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий и удвоенной ковариации этих случайных величин: |
Похожие:
 | Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21.... | | Основная образовательная программа высшего профессионального образования... О) по направлению подготовки 080100 экономика, профиль Экономика предприятий и организаций (жилищно-коммунальное хозяйство) является... |
 | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... | | Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080100. 62 «Экономика» Профиль подготовки «Экономика предприятий и организаций», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит» |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются | | Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Составитель: Председатель умс умо по направлению «Экономика» профиль «Экономика предприятий и организаций», заведующий кафедрой экономики... |
| Основы банковского дела Рабочая программа составлена доцентом Р. А. Семеновой на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего... | | Организация деятельности коммерческого банка Рабочая программа составлена доцентом Р. А. Семеновой на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего... |
| Ноу впо «институт международных экономических отношений» Кафедра... Математический анализ”, “Теория вероятностей и математическая статистика”, “Линейная алгебра”. Данная дисциплина является предшествующей... | | Учебной дисциплины пс рпуд рабочая программа учебной дисциплины (модуля)... Математические методы в экономике, экономика труда, экономика организаций и предприятий, бухгалтерский учет, анализ и аудит, налоги... |
| По направлению подготовки 080100 «Экономика» профиль подготовки «Экономика... Федеральная служба финансово-бюджетного надзора территориальное управление в Брянской области | | Экономика(вся основная теория в данной сфере) Тема Экономика: наука... Учебное пособие разработано в соответствии с программой курса, а также требованиями образовательного стандарта России к учебной дисциплине... |
| Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика | | Рабочая программа учебной дисциплины пс рпуд рекомендовано Математические методы в экономике, экономика труда, экономика организаций и предприятий, бухгалтерский учет, анализ и аудит, налоги... |
| Рабочая программа по дисциплине: история для направления: 080100.... Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования... | | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
