µ §.
Закон больших чисел и предельные теоремы.
Под законом больших чисел в широком смысле понимают общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
Теорема 1. Если случайная величина µ § принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа µ § верно неравенство:
µ §
Так как события µ § и µ § противоположные, то заменяя µ § выражением µ §, придем к другой форме неравенства Маркова:
µ §
Пример 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
Решение. а) по условию µ §, тогда µ §, то есть вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75.
б) µ §, то есть вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.
Пример 2. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?
Решение. Пусть µ § - размер случайно взятого вклада, а µ § - число всех вкладов. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада µ §. Согласно неравенству Маркова:
µ § или µ §. Учитывая, что µ §, получим µ §.
Неравенство Чебышева.
Теорема 1. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:
µ §, где µ §.
Доказательство. Применим неравенство Маркова к случайной величине µ §, взяв в качестве положительного числа µ §. Получим µ §. Так как неравенство µ § равносильно неравенству µ §, а µ § есть дисперсия случайной величины µ §, то отсюда следует доказываемое неравенство.
Учитывая, что события µ § и µ § противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:
µ §.
Пример 1. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 литров в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 литров. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 литров, используя:
а) неравенство Маркова;
б) неравенство Чебышева.
Решение.
а) пусть µ § - расход воды на животноводческой ферме. По условию µ §. Используя неравенство Маркова, получим µ §, то есть не менее, чем 0,5.
б) Дисперсия µ §. Так как границы интервала µ § симметричны относительно математического ожидания µ §, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева:
µ §, то есть не менее, чем 0,96.
В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова µ §, удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева µ §.
Пример 2. Оценить вероятность того. Что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине) (правило трех сигм).
Решение. Учитывая, что µ §, получим:
µ §.
Нижняя граница очень высокая, поэтому правило трех сигм применимо для большинства случайных величин.
Например, для нормального закона правило трех сигм выполняется с вероятностью µ §, для равномерного закона распределения µ §, для показательного - µ §.
Теорема Чебышева.
Теорема Чебышева. Если дисперсии µ § независимых случайных величин µ § ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа µ § средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий µ §, то есть
µ §.
Доказательство: По условию
µ §, где µ § - постоянное число.
Необходимо получить неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин, то есть для µ §.
Найдем µ § и оценку дисперсии µ §:
µ §
Тогда неравенство Чебышева имеет вид:
µ §
Так как по доказанному µ §, то µ §.
Тогда от неравенства (*) перейдем к более сильному неравенству:
µ §.
В пределе при µ § величина µ § стремится к нулю, отсюда следует формула (1).
Следствие. Если независимые случайные величины µ § имеют одинаковые математические ожидания, равные µ §, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то рассматриваемые нами неравенства примут вид:
µ §, µ §.
Это следует из того, что µ §
Пример 1. Для определения средней продолжительности горения ламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 ламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 часов.
Решение. Пусть µ § - продолжительность горения ламы, взятой из µ §-го ящика. По условию дисперсия µ §. Очевидно, что средняя продолжительность горения отобранных ламп равна µ §, а средняя продолжительность горения ламп во всей партии µ §. Тогда вероятность искомого события: µ §, то есть не менее чем 0,9902.
Пример 2. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?
Решение. Пусть µ § - результат µ §-го измерения µ § - истинное значение величины, то есть µ § при любом µ §. Необходимо найти µ §, при котором
µ §.
Данное неравенство будет выполняться, если
µ §,
то есть потребуется не менее 500 измерений.
Теорема Бернулли.
Теорема Бернулли. Частость события в µ § повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью µ §, при неограниченном увеличении числа µ § сходится по вероятности к вероятности µ § этого события в отдельном испытании:
µ §
Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.
Теорема Пуассона. Частость события в µ § повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями µ §, при неограниченном увеличении числа µ § сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, то есть
µ §.
Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения.
Важнейшее значение имеет теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если µ § - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание µ §, дисперсия µ §, µ § и µ §, то закон распределения суммы µ § при µ § неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием µ § и дисперсией µ §.
Математическая статистика.
18. Словарь терминов (глоссарий)
Вариантыразличные значения признака.Вариационный размахпростейший показатель вариации, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда.Вариационный рядранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами.Вероятность событияаксиоматическое определение: это численная мера объективной возможности его появления;
классическое определение: это отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех возможных исходов;
статистическое определение: это относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях;
геометрическое определение: это отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.Выборочная совокупность, выборкачасть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности.Генеральная совокупностьвся подлежащая изучению совокупность объектов.Дискретная случайная величинаСлучайная величина, множество значений которой есть конечное множество или бесконечное, но счетное.Дисперсионный анализстатистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.Закон распределения случайной величиныЭто всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.Интервальная оценка параметрачисловой интервал, который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение оцениваемого параметра.Испытание (опыт, эксперимент)выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.Квантиль уровня µ §такое значение СВ, при котором функция ее распределения принимает значение, равное µ §.Ковариация (корреляционный момент) двух СВесть математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий.Коэффициент корреляции двух СВесть отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин.Математическая статистикараздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.Медианазначение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.Медиана СВэто такое значение СВ, для которого µ §Модавариант, которому соответствует наибольшая частота.Мода случайной величиныэто наиболее вероятное значение СВ.Мощность критериявероятность не допустить ошибку 2 рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна.Накопленная частостьотношение накопленной частоты к общему числу наблюдений.Накопленная частотачастота, показывающая сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим заданного.Независимые случайные величиныТакие случайные величины, для которых выполняется следующее ЁC закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.Непрерывная случайная величинаСлучайная величина, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.Непрерывная случайная величинаслучайная величина, функция распределения которой непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.Несовместные событиятакие события, если в результате одного опыта они не могут происходить одновременно.Нулевая гипотезапроверяемая гипотеза.Оценка параметравсякая функция результатов наблюдений над случайной величиной, с помощью которой судят о значении оцениваемого параметра.Плотность вероятности непрерывной случайной величиныесть производная ее функции распределения.Случайная величинаЭто переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (причем заранее не известно какое именно).Случайное событие любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.Средняя арифметическая вариационного рядасумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот.Статистическая гипотезалюбое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.Статистический критерийправило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается.Теория вероятностейматематическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.Уровень значимости критериявероятность допустить ошибку 1 рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна.Функция распределения случайной величиныфункция µ §, выражающая для каждого µ § вероятность того, что случайна\я величина примет значение, меньшее µ §.Частости, относительные частотыотношение частот к общему числу наблюдений.Частотычисла, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала.
19. Балльно-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по дисциплине.
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
экономика (общий профиль)
(код, направление, профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП Б2.Б5.ДисциплинаТеория вероятностей и математическая статистикаКурс 2семестр3КафедраМиММЭФ.И.О. преподавателя, звание, должностьдоц. Дарбинян А. З .Общ. трудоемкостьчас/ЗЕТ180/5Кол-во семестров1Интерактивные формыобщ./тек. сем.10ЛКобщ./тек. сем.30ПР/СМобщ./тек. сем.42 СМобщ./тек. сем.108Форма контроляэкзамен
Содержание заданияКоличество мероприятийМаксимальное количество балловСрок предоставленияОсновной блокПосещение занятий20по расписаниюКонтрольная работа №1 120до 20.10.2013Контрольная работа №2 120до 25.12.2013Итого:60экзамен140по расписаниюИтого:100Дополнительный блокРазработка презентации, выступление с докладом5по согласованию с преподавателемРеферат5по согласованию с преподавателемИсследовательская работа10по согласованию с преподавателемИтого:20
20. Изменения в рабочей программе, которые произошли после ее утверждения:
Характер
изменений в программеНомер и дата
протокола заседания кафедры, на котором было принято данное решениеПодпись заведующего кафедрой,
утверждающего
внесенное изменениеПодпись декана факультета (проректора по учебной
работе), утверждающего данное изменение
21. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателяУчебный годФакультетСпециальностьдоц. Дарбинян А. З .кафедры МиММЭ2013-2014ФМОИиПэкономика
|
