Учебно-методический комплекс по дисциплине математика

ДЕ 2

Занятие 1. Векторы.

1.Вектор. Коллинеарность векторов.

2. Равенство векторов.

3. Линейные операции над векторами.

4. Координаты вектора.

5. Проекция вектора на ось.

6. Модуль вектора.

7. Решение задач.

1. В параллелограмме ABCD даны стороны

Выразить через и векторы
2.В Треугольнике ABC проведены меридианы AK, BL и CM. Выразить и через векторы и .
3.На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой .Выберите правильный ответ.
4.Найти направляющие косинусы вектора
5. Даны векторы и . Найти векторы: ; .
Занятие 2.Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.

1. Скалярное произведение векторов (определение), свойства.

2. Скалярное произведение в координатной форме.

3. Угол между векторами.

4. Условие перпендикулярности векторов.

5.Определение векторного произведения.

6. Геометрический смысл векторного произведения.

7. Решение задач.

1 Дано =5, =6. Найти скалярное произведение векторов и , если угол между ними равен 120°

2.Найти угол в треугольнике с вершинами A(1;2;-1), B(5;5;11), C(13;18;20)

3. Даны векторы , , . Найти проекцию вектора на вектор .

4. Даны векторы и . При каком значении m эти векторы перпендикулярны?
5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами и .

6. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

7. Даны векторы и . При каком значении m векторы перпендикулярны?

8 Найти площадь треугольника с вершинами А(2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).
9 Упростить:

10Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-3;-2;-4), В(-1;-4;-7), С(1;-2;2).
11. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах
12 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где .
13 Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Занятие 3-4. Смешанное произведение векторов.

1. Смешанное произведение векторов (определение) и его свойства.

2. Компланарность векторов.

3.Объем параллелепипеда.

4. Деление отрезка в данном отношении.

5. Тестирование.

Примерные задания для тестирования.

1. Проверить, является ли векторы компланарными?

Да.

Нет.
2. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А(-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).

6/25

25/6

3/5
3. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах и .

10 куб. ед.

11 куб. ед.

12 куб. ед.

13 куб. ед.
4. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;3;10), В(5;1;5), С(2;2;5), D(3;4;12).

Да.

Нет.
5. В тетраэдре с вершинами D(-3;-3;-3), A(2;-1;-3), B(-1;2;3) и C(-2;-2;1). Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.

куб. ед.

куб. ед.

куб. ед.

6.Выяснить, компланарны ли векторы ?

Нет.

Да.

7. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

-11/14

-14/11

14/11

11/14
8. Даны векторы и . При каком значении m векторы перпендикулярны?

3

4
ДЕ 3

Занятие 1. Прямая на плоскости

1. Уравнение линии на плоскости.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Нормальное уравнение прямой.

6. Общее уравнение прямой.

7. Решение задач.

1. Проверить, принадлежат ли точки A(3; 14), B(4; 13) прямой 7x-3y+21=0

2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось оринат в точке (0; 5).

Ответ: x/3+y/5=1

3. Вычислить угол наклона прямой к оси Ox

Ответ: 120°

4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол 120°

Ответ:

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и отсекающей на оси Oy отрезок B=2

Ответ:

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3; -2) и образующей с осью Ox угол arctg2.

Ответ: 2x-y+4=0

7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2; -3), B(-1; 4)

Ответ: 7x+3y-5=0

8. Прямая, проходящая через точку A(-2; 3), образует с осью Ox угол 135°. Составить уравение этой прямой.

Ответ: x+y-1=0

9. Через точку A(1; 2) проведена прямая, отсекающая на положительных полусях равные отрезки. Составить ее уравнение.

Ответ: x+y-3=0

10. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0

Ответ:
Занятие 2. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение плоскости.

1. Угол между прямыми.

2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

3. Расстояние от точки до прямой.

4. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярную вектору .

5. Общее уравнение плоскости.

6. Решение задач.

1. Найти острый угол между прямыми 5x-y+7=0 и 2x-3y+1=0

Ответ: 45°

2. Найти угол между прямыми 3x-4y=6 и 8x+6y=11

Ответ: 90°

3. Определить точки пересечения прямой с осями координат 3x-2y=12

Ответ: (4; 0) и (0; -6)

4. Найти угол между прямыми 3x+2y=0 и 6x+4y+9=0.

Ответ: 0°

5. Найти расстояние от начала координат до прямой 15x-8y-68=0

Ответ: 4
Занятие 3. Прямая и плоскость в пространстве.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

2. Канонические уравнения прямой.

3. Параметрические уравнения прямой.

4. Общее уравнение прямой.

5. Угол между прямыми в пространстве.

6. Расстояние от точки до плоскости.

7. . Решение задач.

1. Даны точки M1(-3; 7; -5) и M2(-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуM1 и перпендикулярной вектору

Ответ: 5x+4y-z-18=0

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1; -3; 4), M2(0; -2; -1), M3(1; 1;-1)

Ответ: 15x-5y-4z-14=0

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; -2; 0) и M2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x+2y+2z-4=0

Ответ: 2x-2y+z-2=0

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-4; 3; -7) параллельно плоскости 6x-5y+4z-15=0

Ответ: 6x-5y+4z+67=0

5. Найти угол между плоскостями и и

Ответ: π/3

6. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x-2y+2z-7=0 и отстоящей от нее на расстоянии, равном 5.

Ответ: x-2y+2z+8=0 и x-2y+2z-22=0

7. Составить каноничское уравнение прямой, проходящей через точку A(-7; -3; 2) и перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.

Ответ: (x+7)/2=(y+3)/(-4)=(z+5)/(-5)

8. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и B(5; -2; 1)

Ответ: (x+1)/6=(y-2)/(-4)=(z-3)/(-2)

9. Общее уравнение прямой . Привести ее к каноническому виду.

Ответ: (x+3)/(-1)=(y-6)/10=z/7

10. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(-7; -3; 2) и

перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.

Ответ: x=-7+t

y=-3-4t

z=2-5t

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1; 1; 1) и перпендикулярной векторам и .

Ответ: (x-1)/5=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-7)

12. Найти углы, образуемые прямой с осями координат.
Занятие 4. Кривые второго порядка.

1.. Окружность. Уравнение окружности.

2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.

3.Гипербола. Уравнение гиперболы.

4. Директрисы эллипса и гиперболы.

5. Решение задач.
Занятие 5. Кривые второго порядка.

1. Парабола. Каноническое уравнение параболы.

2. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.

3. Классификация линий второго порядка.

Решение задач:

1. 
   Окружность с центром в точке (12;-5) проходит через начало координат. Составить уравнение окружности.
   

2. 
   Проходит ли окружность с центром S(-5;7) и радиусом 10 через точку М(-11;15).
   

3. 
   Определить координаты центра и радиус окружности
   

4. 
   Окружность, проходящая через точки А(3;-1) и В(-4;-8), имеет радиус r=13. Написать её уравнение.
   

5. 
   Найти центр окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки А(4;5) и В(18;-9).
   

6. 
   Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки А(6;4) и В(8;3).
   
7. 
   Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках и , а большая ось равна
   

8. 
   Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет е=2/3.
   

9. 
   Составить уравнение гиперболы, если известны координаты её фокусов (-20;0) и (20;0) и эксцентриситет е=5/3
   

ДЕ 4.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Занятие 1. Числовые последовательности и их пределы. Предел функции.

1. Числовые последовательности .

2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

3. Понятие функции. Виды функций, способы их задания.

4. Предел функции в точке.

5. Решение задач.
Занятие 2. Предел функции.

1. Предел функции в точке.

2. Предел функции в бесконечности.

3. Односторонние пределы.

4. Бесконечно малые функции и их свойства.

5. Основные теоремы о пределах.

6 Решение задач.

Занятие 3. Раскрытие неопределенностей.

1.Неопределенность

2. Неопределенность .

3. Неопределенность ∞ − ∞.

4. Первый замечательный предел.

5. Второй замечательный предел.

6. Нахождение пределов методом логарифмирования.

7. . Решение задач.

Занятие4. Непрерывность.

1. Понятие непрерывности функции ( два определения).

2.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3.Классификация точек разрыва.

Тестирование:

Найти пределы функций.

ДЕ 5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Занятие 1.Производная функции.

1.Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Схема вычисления производной.

3. Основные правила дифференцирования.

4.Нахождение производной по таблице, используя правила дифференцирования.

5.Решение задач.
Занятие 2.Производная сложной функции.

1.Понятие сложной функции.

2. Проверка знания таблицы производных и правил дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

4. Производная обратной функции.

1.

2.

3.

+

4

5.
Занятие 3.Производная сложной функции.

1.Логарифмическая производная.

2. Производная высших порядков.

3.Решение задач.

Занятие4 Применение производной к исследованию функций.

1. Возрастание и убывание функций.

2. Экстремумы функций.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции.

4. Асимптоты.

5. . Решение задач.
Занятие 5. Применение производной к исследованию функций.

1. Выпуклость функции. Точки перегиба.

2. Общая схема исследование функций и построение их графиков.

3.Решение задач.

Занятие 6.Дифференциал.Функция нескольких переменных.

1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

2. Частные производные.

3. Дифференциал функции.

4. Решение задач.

Примерные задания теста.

1.Найти производную от функции :

2. Найти предел, используя правило Лопиталя:

4 Найти частные производные от функции :

ДЕ 6.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Занятие 1.Первообразная и неопределенный интеграл.

1.Первообразная функции. Неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Непосредственное интегрирование.

5.Решение задач.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   

Занятие 2.Методы интегрирования:

1.Метод замены переменной.

2. Метод интегрирования по частям.

3. Интегрирование простейших рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

4. . Решение задач.

1. 
   
   

Занятие 3.Методы интегрирования:

1. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

2.Интегрирование тригонометрических функций.

3. . Решение задач.

1. 
   
   

Занятие 4.Определенный интеграл.

1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. 2.Формула Ньютона – Лейбница.

3. Свойства определенного интеграла.

4. Замена переменной и формула интегрирования по частям.

5.Геометрические приложения интеграла.

Занятие 5.Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

3. Экономические приложения интегралов.

4. . Решение задач.
Занятие 6.Элементы теории функции комплексного переменного.

1.Комплексные числа. Алгебраические и тригонометрические формы.

2. Действия над комплексными числами.

3. Показательная форма комплексного числа.

Тестирование.

Примерные задания теста.