Программа и дидактическое обеспечение элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы. Тип курса: предметно-ориентированный

Содержание курса МОДУЛЬ I Знакомство с параметром. Уравнения, содержащие параметр. Рассмотрим уравнения вида f (a, b, c, ..., k, x) = g (a, b, c, ..., k, x), где a, b, c, ..., k, x – переменные величины. Любая система значений переменных a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, x = x0, при которой обе части уравнения имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ..., k, x. Пусть A – множество допустимых значений a, B – множество допустимых значений b, ..., X – множество допустимых значений x. Если из каждого множества A, B, C, ..., K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ..., k и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одной переменной. Переменные a, b, c, ..., k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, x – действительной переменной величиной, а само уравнение называется уравнением с одним неизвестным, содержащим параметры. Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, ..., k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. Так, в уравнении m и n – параметры, а x – неизвестное. Допустимой является любая система значений m, n, x, удовлетворяющая условию m ≠ 3, n ≠ - 1, x ≠ 0. При m = 4, n = 1 получим уравнение При m = 5, n = 3 получим уравнение и т. д. Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности. Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. Пример1. При каких a уравнения x2 – a = 0 и - a = 0 равносильны? Решение. Очевидно, что при a > 0 первое уравнение имеет два различных корня x = ±, а второе – только один корень x = a2, и в этом случае о равносильности речь идти не может. Так же ясно, что при a = 0 решения уравнений совпадают (x = 0), а при a < 0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Однако, как известно, такие уравнения считаются равносильными. Ответ. a ≤ 0. Пример 2. При каких a уравнение ax = a2 равносильно неравенству |x – 3 | ≥ a ? Решение. При a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство – бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является все множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0. Ответ. a = 0. Задания с параметром, встречающиеся в школьном учебнике «Алгебра 7,8,9 кл.» 7 класс 1. Найдите все целые значения a, при которых корень уравнения ax = 6 является целым числом. 2. При каком значении a точка A(a; -1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x? 3. Известно, что точка P(-4; b) принадлежит графику функции, заданной формулой y = x2. Найдите значение b. Принадлежит ли графику этой функции точка Q(4; b)? 4. Найдите значение коэффициента a в уравнении ax + 2y = 8, если известно, что пара x = 2, y = 1 является решением этого уравнения. 5. Известно, что: а) пара значений переменных x = 5, y = 7 является решением уравнения ax – 2y = 1. Найдите коэффициент a; б) пара значений переменных x = -3, y = 8 является решением уравнения 5x + by = 17. Найдите коэффициент b. 6. В линейном уравнении ax – y = 4 подберите коэффициент a так, чтобы график этого уравнения проходил через точку M(3; 5). 7. Постройте прямую, которая является графиком уравнения y – 2,5x = c, если известно, что она проходит через точку K(2; -3). 8. Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки M(-1; 1) и P(4; 4). 8 класс 1. Известно, что график функции y = k/x проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку: а) B(1; 24); б) C(-0,2; -120)? 2. В уравнении x2 + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p. 3. Один из корней уравнения x2 – 13x +q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q. 4. Один из корней уравнения 5x2 + bx + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b. 5. Один из корней уравнения 10x2 – 33x + c = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент c. 6. Разность корней квадратного уравнения x2 – 12x + q = 0 равна 2. Найдите q. 7. При каком значении a один из корней уравнения ax2 – 3x – 5 = 0 равен 1? 8. Докажите, что один из корней уравнения ax2 – (a + c)x + c = 0 равен 1. ( Необходимо применить т. Виета). 9. Найдите, при каких значениях a уравнение имеет положительный корень: а) 3x = 9a; б) x + 2 = a; в) x – 8 = 3a + 1; г) 2x – 3 = a + 4. 10. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень: а) 10x = 3b; б) x – 4 = b; в) 3x – 1 = b + 2; г) 3x – 3 = 5b – 2. 9 класс 1. При каких значениях b и c вершиной параболы y = x2 + bx + c является точка (6; -12)? Решение: применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы m = - b/2a. Получим: 6 = - b/2, b = - 12. Координаты точки (6; -12) удовлетворяют уравнению y = x2 + bx + c. Подставим их и найденное значение b в данное уравнение. Получим: -12 = 36 – 72 + c, c = 24. 2. При каком значении a осью симметрии параболы y = ax2 – 16x + 1 является прямая x = 4? Решение: абсциссой вершины параболы является m = 4. Применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы: m = - b/2a. Получим: 4 = 8/a, a = 2. 3. Найдите значения a и b, при которых график функции y = ax2 + bx – 18 проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10). (Примечание: решить систему уравнений a + b – 18 = 2, 4a + 2b – 18 = 10). 4. Функция задана формулой y = x2 + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что: а) нули функции – числа 3 и 4; б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0); в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6. Решение: а) Нули функции 3 и 4 являются корнями уравнения x2 + px + q = 0. По т. Виета p = -(3 + 4) = 7, q = 3 ∙ 4 = 12; б) Решим систему уравнений q = 6, 4 + 2p + q = 0. Получим, что p = - 5, q = 6. в) Коэффициент при x2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, наименьшее значение функции равно ординате вершины параболы, а абсцисса вершины параболы равна 6. Имеем: 6 = - p/2, p = -12, тогда n = y(m) = 24. Подставим данные и найденные значения в уравнение y = x2 + px + q, получим: 24 = 36 – 12 ∙ 6 + q, q = 60. 5. Если умножить квадратный трехчлен ax2 – 2x + b на квадратный трехчлен x2 + ax – 1, то получится многочлен четвертой степени, в котором коэффициенты при x2 и x соответственно равны 8 и – 2. Найдите a и b. Решение: Перемножим данные квадратные трехчлены и сгруппируем члены полученного многочлена относительно степеней переменной x. Получим многочлен: ax4 + (a2 – 2)x3 + (b – 3a)x2 + (ab + 2)x – b, у которого коэффициенты при x2 и x соответственно равны 8 и – 2. Следовательно, найти a и b можно, решив систему уравнений: b – 3a = 8, ab + 2 = - 2. Получим, что a = - 2/3, b = 6 или a = - 2, b = 2. Как видим, набор упражнений с параметром невелик, и задания достаточно просты. Теперь обратимся к экзаменационному сборнику и посмотрим задания, предлагаемые в сборнике. Задания с параметром из экзаменационного сборника 9 класса Пример 1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней? Решение: Если уравнение не имеет корней, то D<0. D=4-4с, D<0, то 4-4с<0, -4с<-4, с>1. Значит при с>1 уравнение не имеет корней. Ответ: если с>1, то уравнение не имеет корней. Пример 2. При каких значениях k уравнение х2+kx+9=0 имеет корни? Решение: Если уравнение имеет корни, то должно быть D≥0. D=k2-36, D≥0, k2-36≥0, (k-6)(k+6)≥0, то при уравнение имеет корни. Ответ: если , то уравнение имеет корни. Пример 3. При каких значениях k уравнение kх2-6x+k=0 имеет 2 корня? Решение: Уравнение имеет два корня, то D>0. D=36-4k2, D>0, 36-4k2>0, 4k2-36<0, k. Значит, если k, то уравнение имеет два корня Ответ: если k, то уравнение имеет два корня. Несколько отличаются от заданий экзаменационного сборника задания, предлагаемые при областном тестировании, и задания с параметром экзамена по новой форме для 9 класса. Рассмотрим некоторые из них. Некоторые задания с параметром, предлагаемые на областном тестировании и экзамене по новой форме в 9 классе Пример 1. Найдите значение d, при котором график функции f(x) = 3x2 – 6x + d имеет только одну общую точку с осью абсцисс. Решение: Из условия задания ясно, что график функции имеет с осью абсцисс одну общую точку (x;0), значит уравнение 3x2 – 6x + d = 0 имеет один корень, тогда D1 = 0, 9 – 3d = 0, d = 3. Ответ. d = 3. Пример 2. Найдите все значения a, при которых уравнение 2x2 – ax + a – 2 = 0 имеет равные корни. (Указание: найдем a из условия, что D = 0). Пример 3. Найдите, при каких значениях p сумма квадратов корней уравнения x2 + px – 20 = 0 равна 41. Решение: По т. Виета имеем x1 +x2 = -p, x1 x2 = -20, по условию x12 + x22 = 41. x12 + x22 =(x1 +x2)2 - 2 x1 x2 = (-p)2 + 40 = 41, p2 = 1, p = 1 или -1. Ответ. p = ± 1. Пример 4. Найдите значения k, при которых уравнение kx2–(k – 7)x+9=0 имеет два равных положительных корня. Решение: Из условия ясно, что D = 0, k2 – 50k + 49 = 0, k1 = 49, k2 = 1. Проверим, какие корни получатся при k = 1. При k = 1 имеем уравнение x2 + 6x + 9 = 0, (x + 3)2 = 0, x = -3. Как видим, два равных корня отрицательны. При k = 49 имеем уравнение 49x2 - 42x + 9 = 0, D1 = 0, x = 3/7. Ответ. k = 49. Пример 5. Найдите, при каких значениях m один из корней уравнения (m – 1)x2 + 4x + m2 – 3m + 2 = 0 равен 3. В ответ запишите сумму значений m. Решение: Из условия x1 = 3. Подставив его в уравнение, получим квадратное уравнение относительно m: m2 + 6m + 5 = 0, m1 = -5, m2 = -1, m1 + m2 = -6. Ответ. -6 Пример 6. При каких значениях p прямая y = 2x + p образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 4? Решение: График линейной функции y = 2x + p проходит из 1 четверти в 3-ю, пересекая ось ординат в точке (0;p), ось абсцисс в точке (x;0), координату x которой можно найти из уравнения 2x + p = 0, откуда x = -p/2. Следовательно, при пересечении этой прямой осей координат мы получаем прямоугольный треугольник со сторонами, равными p/2 и p, площадь которого равна 4. Y y Отсюда S = = 4, p = ± 4. p или Ответ. p = ± 4. p/2 O x O p/2 x p Пример 7. Прямая 3x + 2y = c, где c – некоторое число, касается гиперболы y = 6/x в точке с положительными координатами. Найдите c. Решение: Запишем уравнение прямой в виде: y = -1,5x + 0,5c. Прямая касается гиперболы, значит уравнение -1,5x + 0,5c = 6/x имеет единственный корень. Приведем уравнение к целому виду, домножив обе части уравнения на x, зная, что x-положительное число. Получим уравнение: -1,5x2 + 0,5x – 6 = 0 или 3x2 – cx + 12 = 0, дискриминант которого равен нулю. Следовательно, D = c2 – 144 = 0, c = ± 12. Ответ. с = ± 12. Основные типы задач с параметрами Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Похожие:

	Программа элективного курса: Основы права Вид курса: предметно-ориентированный. Теоретические занятия курса гармонично сочетаются с практическими, что позволяет учащимся глубже...		Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа элективного курса «Глобальные проблемы человечества» предназначена для обучающихся 10 (11) класса, базируется на знаниях...		Программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» для 10-11 класса Предлагаемая программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» предназначена для учащихся 10-11-х классов основной...
	Пояснительная записка. Основное содержание. Требования к уровню подготовки... Курс является предметно-ориентированным. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Содержание...		Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса
	Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов		Программа элективного курса по химии Одним из вариантов решения этой проблемы является включение в учебный план элективного курса «Строение и свойства кислородсодержащих...
	Программа элективного курса для обучающихся 8-9 классов основной... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19		Календарно-Тематическое планирование элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класс Программа элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класса (Рекомендована Экспертным Советом му «Управление образования...
	Пояснительная записка Программа элективного курса по биологии предназначена... Программа элективного курса по биологии для10(11)класса в рамках профильной подготовки		Программа элективного курса «Избранные вопросы физики» (2ч в неделю, всего 68часов) ...
	Рабочая программа элективного курса по экологии для 5 класса основного... Программа составлена на основе программы для основной общеобразовательной школы. Интегрированный курс «Экология» для учащихся 5-9...		Программа элективного курса по литературе «умейте владеть словом»... «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию...
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Программа элективного курса для 10 класса Составитель: Павлова О.... Курс разработан для предпрофильного обучения на ступени основной средней общеобразовательной школы, рассчитан на 17 часов (1 час...