Программа и дидактическое обеспечение элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы. Тип курса: предметно-ориентированный

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными. Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса. Основные способы (методы) решения задач с параметром Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение. Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром на примерах линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений и неравенств с одной неизвестной и одним параметром. МОДУЛЬ II Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, с параметром Уравнение вида Ax – B = 0, где A и B – выражения, зависящие только от параметров, а x – неизвестное, называется линейным уравнением относительно x. Оно приводится к виду Ax = B и при A ≠ 0 имеет единственное решение x = при каждой системе допустимых значений параметров. При A = 0 и B = 0 x – любое число, а при A = 0 и B ≠ 0 решения нет. Рассмотрев всевозможные примеры решения линейных уравнений с параметром, можно прийти к выводу, что «сложный» параметр станет «простым», если составить определенный алгоритм решения таких задач, который поможет на первом этапе знакомства с решением линейных уравнений с параметром. Итак, Алгоритм решения линейного уравнения с параметром: Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид Ax= B. Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (A = 0, A ≠ 0). Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней). Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра. (Особое внимание обратить на те примеры, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения). А теперь перейдем к рассмотрению примеров. Пример 1. Решить уравнение ax = 1. Решение: На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = . Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так: Ответ. Если a = 0, то нет решений; если a ≠ 0, то x = . Пример 2. Решить уравнение (a2 – 1)x = a + 1. Решение: При решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи: a2 - 1 = 0, т.е. a = 1 и a = -1. Если a = 1, то уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений; Если a = -1, то получаем 0x = 0, и очевидно x – любое число. Если a ≠ ±1, имеем x = . Ответ. Если a = -1, то x – любое число; если a = 1, то нет решений; если a ≠ ±1, то x = . Пример 3. Решить уравнение x +2 = ax. Решение: Приведем уравнение к виду Ax = B. x – ax = -2, (1-a) x = -2. 1)Если 1 – a = 0, т.е. a = 1, то уравнение примет вид 0x = -2 и не имеет решений. 2) Если a ≠ 1, то уравнение имеет единственный корень x = . Ответ. Если a = 1, то уравнение не имеет корней; если a ≠ 1, то уравнение имеет единственный корень x = . Пример 4. Решить уравнение (a2 – 1) x = 2a2 + a – 3. Решение: Данное уравнение является линейным относительно x. Если a2 – 1 = 0, т.е. a = ±1, то уравнение примет вид: При a = 1 0x = 0, то x – любое действительное число; При a = -1 0x = -2, то уравнение корней не имеет; При a ≠ ±1 x = . Ответ. Если a = 1, то x – любое действительное число; если a = -1, то корней нет; если a ≠ ±1, то x = . Пример 5. Решить уравнение ax = x + 3. Решение: Приведем уравнение к виду Ax = B: ax – x = 3, (a – 1) x = 3. Если a = 1, то уравнение примет вид 0x = 3 и корней не имеет; Если a ≠ 1, то x = . Ответ. Если a = 1, то уравнение корней не имеет; если a ≠ 1, то x = . Пример 6. Решить уравнение 4 + ax = 3x + 1. Решение: ax – 3x = -3, (a – 3) x = -3. Если a = 3, то уравнение примет вид 0x = -3 и не имеет корней; Если a ≠ 3, то x = . Ответ. Если a = 3, то уравнение не имеет корней; если a ≠ 3, то x = . Пример 7. Решить уравнение b(b-1)x = b2 + b – 2. Решение: Если b(b – 1) = 0, т.е. b = 0 или b = 1, то уравнение примет вид: При b = 0 0x = -2 и корней не имеет; При b = 1 0x = 0, то x – любое действительное число; При b ≠ 0 и b ≠ 1 x = . Ответ. Если b = 0, то уравнение корней не имеет; если b = 1, то x – любое действительное число; если b ≠ 0 и b ≠ 1, то x =. Пример8. Решить уравнение: b(b-1)x=b2+b-2 Решение: 1) b(b-1)=0, b=0 или b=1. Если b=0, то уравнение примет вид 0x=-2 и уравнение не имеет корней. Если b=1, то 0x=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. 2) b(b-1)≠0, т.е. b≠0 и b≠1, тогда Ответ: если b=0, то уравнение не имеет корней; если b=1, то уравнение имеет бесконечное множество корней; если b≠0 и b≠1, тогда x = . Пример 9. Найдите множество корней данного уравнения: а) ax=4x+5 Решение: ax-4x=5, x(a-4)=5 1) Рассмотрим случай, когда a=4, тогда 0x=5 и уравнение не имеет корней. 2) Если a≠4, то уравнение имеет один корень . Ответ: если a=4, то уравнение корней не имеет, если a≠4, то . б) (b2-4)x=3b+12 Решение: 1) Если b2-4=0, то b=±2 Если b=2, то 0x=18, тогда уравнение не имеет корней. Если b=-2, то 0x=6, тогда уравнение не имеет корней. 2) Если же b≠±2, тогда x=. Ответ: если b=±2, то уравнение не имеет корней, если b≠±2, то x= . Пример 10. При каких значениях b уравнение b(b-3)x=10(2b+x) не имеет корней. Решение: b(b-3)x=10(2b+x), b2x -3bx=20b+10x, b2x -3bx-10x=20b, (b2-3b-10)x=20b. b2-3b-10=0, то b1=5, b2 = -2. Если b=5, тогда 0x=100, то уравнение корней не имеет. Если b=-2, тогда 0x=-40, то уравнение корней не имеет. Ответ: если b=5 или b=-2, то уравнение корней не имеет. Пример 11. При каких значениях параметра b уравнение (n2-4)x=n3-2n2-n+2 а) не имеет корней; б) имеет бесконечно много корней; в) имеет единственный корень? Решение: 1)Если n2-4=0, то n1=2, n2=-2. Если n=-2, то 0x=-12, то уравнение не имеет корней. Если n=2, то 0x=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. 2) Если n≠±2, тогда x= Ответ: если n=-2, то уравнение не имеет корней; если n=2, то уравнение имеет бесконечное множество корней; если n≠±2, тогда уравнение имеет один корень x =. Пример 12. При каких значениях параметра a уравнение ax(ax+3)+6=x(ax-6) является квадратным, линейным, неполным квадратным? Решение: Упростим данное уравнение: a2x2+3ax+6=ax2-6x, a2x2+3ax-ax2+6x=-6, (a2-1)x2+(3a+6)x+6=0, получили квадратное уравнение относительно x. a) Чтобы данное уравнение было квадратным, необходимо чтобы: a2-1≠0, т.е. a≠±1. b) Чтобы уравнение ax2+bx+c=0 было неполным квадратным необходимо чтобы: 1) b=0, a c≠0; 2) b≠0, a c=0; 3) b=0 и c=0. Значит, чтобы данное уравнение (a2-1)x2+(3a+6)x+6=0, было неполным квадратным достаточно, чтобы 3a+6=0, т.е. a=-2. Значит при a=-2 уравнение является неполным квадратным. в) Чтобы данное уравнение было линейным необходимо чтобы: a2-1=0, т.е. a=±1. Ответ: уравнение является квадратным при a≠±1, является неполным при a=-2, линейным при a=±1. Пример 13. При каких значениях параметра b уравнение bx2-bx+b=0 имеет корни и не имеет корней? Решение: bx2-bx+b=0 b(x2-x+1)=0 Если b=0, то 0(x2-x+1)=0, тогда уравнение имеет бесконечное множество корней. Если b≠0, то x2-x+1=0 D=1-4=-3,  D<0, значит уравнение не имеет корней. Ответ: если b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней, если b≠0, то уравнение не имеет корней. Пример 14. Решите относительно x уравнение x(a2 - 1)=(a+1)(1-x). Решение: a(a+1)x=a+1 Если a=0, то 0x=1 и уравнение не имеет корней. Если a=-1, то 0x=0 и уравнение имеет бесконечное множество корней. Если a≠0 и a≠-1, то уравнение имеет единственный корень x=. Ответ: если a=0, то уравнение не имеет корней; если a=-1, то уравнение имеет бесконечное множество корней; если a≠0 и a≠-1, то уравнение имеет единственный корень x= . Дополнительные задания для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся 1. Какие случаи следует выделить при решении уравнения: а) bx = 7; б)(b2 – 4) = 3b + 12 ? 2. При каких значениях параметра b уравнения и не имеют корней? 3. Зная, что n – натуральное число, выясните, имеет ли уравнение целые корни и если имеет, то при каких n: а) n(x – 1) = n2 + n + 1; б) n(x + 5) = n2 + n + 4) в) 5x2 – nx + 1 = 0; г) n(n – 1)x2 + (2n – 1)x + 1 = 0. 4. Решите относительно x уравнения: а) mx = 8; е) bx(b – 1) = 5b – bx; б) (n – 2)x = 5; ж) (c2 – 9)x + 4 = 2(x + 6) – 7x; в) ax = a; з) mx(m – 2) + 9 = m(x + m); г) b2x = b(x + 1); и) (n2 – 5)x + n = n(n – 4x). д) (a – 2)x = 10 – 5x; 5. Решите уравнение относительно y: а) y + = 2; г) ; б) y – b = ; д) ; в) е) 6. При каком значении параметра a уравнение имеет: а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю? 7. При каком значении параметра c уравнения имеют равные корни? 8. Решить уравнение: а) (a2 – 4)x = a + 2; б) (a2 – 6a + 5)x = a – 1. 9.При каких значениях параметра a уравнение x2 – (3a – 1)|x| + 2a2 – a = 0 имеет четыре различных решения? МОДУЛЬ III Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, с параметром Уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где x – неизвестное, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, и a ≠ 0, называется квадратным уравнением относительно x. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c – действительны. При a = 0 уравнение примет вид линейного kx + g = 0 и будет иметь один корень; при a ≠ 0 оно является квадратным и может иметь один или два действительных корня при каждой системе допустимых значений параметров. В связи с этим можно так же, как и для линейных уравнений, составить определенный алгоритм решения квадратных уравнений с одним неизвестным и одним параметром, что поможет быстрее научиться решать такие уравнения на первом этапе знакомства с ними. Итак, Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром: Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид квадратного уравнения относительно неизвестного: ax2 + bx + c = 0; Исследовать коэффициент уравнения при x2, если он содержит параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0); Определить вид уравнения и исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра: - если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения; - если a ≠ 0, то уравнение квадратное. Исследовать наличие корней и найти их при каждом фиксированном значении параметра из условия, что D >0, D < 0, D = 0. 4) Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра. Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с одним параметром и одним неизвестным. Пример 1. При каких a уравнение ax2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение? Решение: 1) Рассмотрим случай, когда a = 0, то данное уравнение примет вид: -x + 3 = 0, то оно является линейным и имеет единственное решение x = 3. 2)Если a ≠ 0, то имеем квадратное уравнение. D = 1 – 12a. Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы D = 0. 1 – 12a = 0, a = 1/12. Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 0 или a = 1/12. Пример 2. При каких a уравнение (a – 2)x2 + (4 – 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение? Решение: 1) Если a – 2 = 0, т.е. a = 2, то уравнение примет вид 0x = -3 и не имеет решений. 2) Если a ≠ 2, то данное уравнение – квадратное. Уравнение имеет единственный корень, если D = 0. D = (4 – 2a)2 – 12(a – 2) = 16 – 16a +4a2 – 12a + 24 = 4a2 – 28a + 40, 4a2 – 28a + 40 = 0, a2 – 7a + 10 = 0, по т. Виета a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то a = 5. Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 5. Пример 3. При каких a уравнение ax2 – 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение: 1) Если a = 0, то уравнение примет вид -4x = -3 и имеет единственный корень x = ¾ , что не удовлетворяет условию. 2) Если a ≠ 0, то данное уравнение – квадратное. Оно имеет два корня, если его D > 0. D = 16 – 4a(a + 3) = 16 – 4a2 – 12a = - 4a2 – 12a + 16, - 4a2 – 12a + 16 > 0, a2 + 3a – 4 < 0. Решая квадратичное неравенство, получаем -4 < a < 1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо, то -4 < a < 0 или 0 < a < 1. Ответ. Уравнение имеет более двух корней при -4 < a < 0 или 0 < a < 1. Пример 4. . При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x – 3a – 9 = 0 имеет более одного корня? Решение: 1) Если a(a + 3) = 0, т.е. a = 0 или a = -3, то уравнение примет вид: При a = 0 6x = 9, x = 1,5 – единственное решение; При a = -3 0x = 0, x – любое действительное число. 2)Если a ≠ 0 и a ≠ -3 получаем квадратное уравнение a(a + 3)x2 + 2(a + 3)x – 3(a + 3) = 0, или, разделив обе части уравнения на (a + 3), уравнение ax2 + 2x – 3 = 0, дискриминант которого равен 4(1 + 3a), D > 0 при a > - 1/3. Следовательно, при a > - 1/3 уравнение имеет два корня, но в данный промежуток входит число 0, которое мы уже проверили и оно не подходит, то из данного промежутка надо исключить a = 0. Ответ. Уравнение имеет более двух корней при a = -3, -1/3 < a < 0, a > 0. Пример 5. Решите относительно x уравнения: а) x2-ax=0 Решение: D=a2, значит D>0 или D=0. D=0, то a2=0, a =0, то x=0. D>0, a2>0 для любого a ≠ 0, то x = a. Ответ: если a=0, то x=0; если a ≠ 0, то x=a. б) 6x2-5bx+b2=0 Решение: D = 25b2 – 24b2, D=b2 ≥ 0. 1) D=0, то b=0, тогда x=0; 2) D>0, то b – любое не равное нулю число, тогда x1,2 = ; х1= , х2 = . Ответ: если b=0, то х=0; если b ≠ 0, то х1= и х2=. в) 12х2+7сх+с2=0 Решение: D=49с2-48с2, D=с2, D≥0. 1) D=0, с2=0, с=0, то х=0; 2) D>0, с2>0, то c – любое не равное нулю число, тогда x1,2 = ; х1= , х2 = . Ответ: если с=0, то х=0; если с≠0, то х1= , х2 = . Пример 6. Решите относительно х уравнение ax2-4x+a=0. Решение: Если а=0, то уравнение линейное и примет вид: -4х=0, то х=0; Значит, если а=0, то уравнение имеет единственный корень х=0. Если а≠0, тогда ax2-4x+a=0 – квадратное уравнение, у которого D1=4-а2. D1 = 0, то 4-а2 = 0, a = ±2. Значит, если a = ±2, то уравнение имеет один корень x = 1; 2) D1 > 0, 4-а2 >0, а2-4<0, (а-2)(а+2)<0, тогда при -2; 3) D1<0, 4-а2<0, а2-4>0, (а-2)(а+2)>0, тогда при a<-2 и a>2 уравнение не имеет корней. Ответ: если а=±2, то уравнение имеет один корень х=1, если а=0, то уравнение имеет единственный корень х=0; если -2; если a<-2 и a>2, то уравнение не имеет корней. Пример 7. Решите относительно х уравнение: х2-сх+16=0 Решение: D=с2-64 1) D=0, с2-64=0, с2=64, с=±8. При с=±8 уравнение имеет один корень x = ; 2) D>0, с2-64>0, (с-8)(с+8) >0, тогда при c<-8 и c>8 уравнение имеет два корня ; 3) D<0, с2-64<0, (с-8)(с+8)<0, тогда при уравнение корней не имеет. Ответ: если с=±8, уравнение имеет один корень x = ; если c<-8 и c>8, уравнение имеет два корня ; если -8Пример 8. При каких значениях параметра b уравнение (b-1)x2-2bx+b+1=0 имеет два положительных, два отрицательных корня и единственный корень? Решение: 1) b-1=0, то b=1, то имеем уравнение -2х+2=0, -2х=-2, х=1. Если b=1, то х=1; 2) Если b≠1, то имеем квадратное уравнение (b-1)x2-2bx+b+1=0, у которого D1=b2-(b-1)(b+1)=b2-b2+1=1,D1>0, следовательно уравнение имеет два корня , то , . Отсюда видно, что уравнение не будет иметь два отрицательных корня, ибо один из корней равен 1. Два положительных корня уравнение может иметь только в случае, когда x1>0. Имеем >0, что равносильно неравенству (b + 1)(b – 1) > 0. Решая это неравенство, получим, что b<-1 или b>1. Значит, при b<-1 или b>1 уравнение имеет два положительных корня. Ответ: если b=1, то х=1 - единственный корень; если b<-1 или b>1, то уравнение имеет два положительных корня; два отрицательных корня уравнение не может иметь.

Похожие:

	Программа элективного курса: Основы права Вид курса: предметно-ориентированный. Теоретические занятия курса гармонично сочетаются с практическими, что позволяет учащимся глубже...		Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа элективного курса «Глобальные проблемы человечества» предназначена для обучающихся 10 (11) класса, базируется на знаниях...		Программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» для 10-11 класса Предлагаемая программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» предназначена для учащихся 10-11-х классов основной...
	Пояснительная записка. Основное содержание. Требования к уровню подготовки... Курс является предметно-ориентированным. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Содержание...		Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса
	Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов		Программа элективного курса по химии Одним из вариантов решения этой проблемы является включение в учебный план элективного курса «Строение и свойства кислородсодержащих...
	Программа элективного курса для обучающихся 8-9 классов основной... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19		Календарно-Тематическое планирование элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класс Программа элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класса (Рекомендована Экспертным Советом му «Управление образования...
	Пояснительная записка Программа элективного курса по биологии предназначена... Программа элективного курса по биологии для10(11)класса в рамках профильной подготовки		Программа элективного курса «Избранные вопросы физики» (2ч в неделю, всего 68часов) ...
	Рабочая программа элективного курса по экологии для 5 класса основного... Программа составлена на основе программы для основной общеобразовательной школы. Интегрированный курс «Экология» для учащихся 5-9...		Программа элективного курса по литературе «умейте владеть словом»... «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию...
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Программа элективного курса для 10 класса Составитель: Павлова О.... Курс разработан для предпрофильного обучения на ступени основной средней общеобразовательной школы, рассчитан на 17 часов (1 час...