Программа и дидактическое обеспечение элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы. Тип курса: предметно-ориентированный

Дополнительные упражнения для самостоятельного решения или осуществления контроля знаний обучающихся 1.Решить уравнения: а) (a + 4)x2 + 6x – 1 = 0; б) (2a + 8)x2 – (a + 4)x + 3 = 0. 2. При каких a уравнение a(2a +4)x2 – (a + 2)x – 5a – 10 = 0 имеет более одного решения? 3. Найти все значения параметра a, при которых графики функций y = (a + 5)x2 – 7 и y = (3a + 15)x – 4 не имеют общих точек. (Примечание: сначала найти все a, при которых они имеют общие точки, т.е. (a + 5)x2 – 7 = (3a + 15)x – 4. Ответ: -19/3 < a < -5). 4. При каком целом неотрицательном n уравнение имеет только целые корни: а) (x + n)2 – (x – n)2 = 56; (ответ: n = 1,2,7,14) б) nx2 – 18x + 2n = 0; (ответ: n = 0;6) 5. Решите уравнения относительно x: а) mx2 – 6x + 1 = 0$ б) ax2 = 4; в) x2 – ax = 0; г) x2 – 2x + c = 0; д) 6x2 – 5bx + b2 = 0; е) 12x2 + 7cx + c2 = 0. 6. Решите относительно y уравнения: а) сy2 + 8 = 2y2 + 4c; б) b(y2 + 7) = b(y + 5) + 2b; в) y2 – 3y = a2 + 3a; г) ay2 + 6y + a = 3(2y – a). 7. Решите уравнения с параметром ф ^ a) 8. При каких значениях параметра уравнение: а) (b – 1)x2 – 2bx + b + 1 = 0; б) x2 – cx + 16 = 0 имеет : 1) два положительных корня; 2) два отрицательных корня; в) единственный корень? (Примечание: найти корни и исследовать их на знаки с помощью теоремы Виета. Ответ: а) 1) при |b| > 1; 2) таких значений b нет; 3) при b = 1; б) 1) при с >8; 2) при с < -8; 3) при с = -8 или с = 8). Задачи на решение уравнений с параметрами, связанные с определением расположения корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c на действительной оси. Многие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения корней квадратного трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных корня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 y(x) принимает отрицательные значения на промежутке (x1;x2) и положительные значения вне промежутка [x1;x2]; при a < 0 – положительные значения в промежутке (x1;x2) и отрицательные значения вне промежутка [x1;x2]. Поэтому, для того чтобы выяснить (не находя корней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число t промежутку (x1;x2), достаточно знать знак выражения at2 + bt + c и знак коэффициента a. Так, например, если a > 0 и at2 + bt + c > 0, то t находится вне промежутка (x1;x2). Если известно, что число t не находится между корнями x1,x2, то для того, чтобы выяснить, по какую сторону от промежутка (справа или слева) лежит число t, достаточно сравнить его с некоторым числом, заведомо принадлежащим промежутку (x1;x2), например с выражением –a/2b, являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. Пример1. При каких значениях параметра a оба корня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Решение: Рассмотрим квадратичную функцию y = x2 + ax – 1, стоящую в левой части уравнения. Так как коэффициент при x2 равен 1>0, то ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы корни уравнения x1 и x2 (x1 ≤ x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежутка (x1;x2). Условия, при которых будет выполняться это требование, можно определить следующей системой неравенств: a2 + 4 ≥ 0, 9 + 3a – 1 > 0, - < 3. Первое неравенство соответствует дискриминанту уравнения и выполняется при всех значениях a, а также гарантирует существование действительных корней, второе и третье обеспечивают расположение точки x = 3 вне промежутка (x1;x2) справа от него (значение функции при x = 3 должно быть положительным и абсцисса вершины параболы меньше чем 3). Решая систему неравенств, получаем a > - . Ответ. a > - . Пример 2. Найти все значения параметра a, при которых оба корня квадратного трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2) действительны и больше чем 3. Решение. Рассмотрим квадратичную функцию y = x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2), стоящую в левой части уравнения. Так как коэффициент при x2 равен 1 > 0, то ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы корни квадратного трехчлена были больше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало левее промежутка (x1;x2). Условия, при которых будет выполняться это требование, можно определить следующей системой неравенств: D1 ≥ 0, т.е. 2a – 2 ≥ 0, y(3) > 0, 9a2 – 20a + 11 > 0, > 3. 3a > 3. Решая систему неравенств, получаем, что a > . Ответ. a > . МОДУЛЬ IV Дробные рациональные уравнения с параметром При решении дробных уравнений с числовыми коэффициентами могут появиться, как известно, посторонние корни. Такая же ситуация может возникнуть и при решении дробных уравнений с параметрами. Рассмотрим примеры решения дробных рациональных уравнений с параметром и с одним неизвестным. Пример 1. Решить уравнение . Решение: Данное уравнение равносильно системе x – a = 0, x ≠ 1. x = a – единственный корень. Понятно, что условие x ≠ 1 влечет за собой требование a ≠ 1. Следовательно, если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений. Ответ. Если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений. Пример 2. При каких a уравнение = 0 имеет единственное решение? Решение: Данное уравнение равносильно системе x2 – ax + 1 = 0, x ≠ -3. Решим квадратное уравнение x2 – ax + 1 = 0. D = a2 – 4. Если D = 0, то уравнение имеет единственное решение. 1) D = 0 при a = ±2. Если a = ±2, то уравнение имеет единственный корень x = . 2) Если a ≠ ±2, то D > 0 и уравнение будет иметь два корня, одним из которых может быть x = -3. Проверим, при каком значении параметра корень уравнения равен -3. Подставим в уравнение x = -3, получим a = - 10/3. Следовательно, при a = - 10/3 x = -3 – корень уравнения, причем при таком значении a второй корень уравнения отличен от -3. Значит, при a = - 10/3 уравнение тоже будет иметь один корень. Ответ. Уравнение имеет единственное решение при a = ±2 или a = - 10/3. Пример 3. При каких значениях a все решения уравнения неположительные? Решение: Квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби после преобразований и разложения на простые множители примет вид: x2 + 3x – 18 = (x – 3)(x + 6). Перепишем исходное уравнение теперь в таком виде: . Преобразуем данное уравнение: Переходим к равносильной системе (a – 3)x = 3a + 4, x ≠ -6, x ≠ 3. 1) Если a – 3 = 0, т.е. a = 3, то уравнение системы примет вид 0x = 13 и не будет иметь решений. 2) Если a ≠ 3, то x = . Так как нас интересуют неположительные решения, то искомые значения параметра a найдем, решив систему: , - 6. (x ≠ 3 не рассматриваем, т.к. нас интересуют неположительные корни). Имеем: 3a + 4 ≤ 0, 3a + 4 ≥ 0, a – 3 > 0, или a – 3 < 0, 3a + 4 ≠ - 6a + 18. 3a + 4 ≠ - 6a + 18. a ≤ - 4/3, или a ≥ - 4/3, a > 3, a < 3, a ≠ 14/9. a ≠ 14/9. Первая система решений не имеет. Ответ. – 4/3 ≤ a < 14/9 или 14/9 < a < 3. Рассмотрев три примера можно попробовать составить алгоритм решения дробных рациональных уравнений с параметром: 1) Привести уравнение к целому виду; 2) Исследовать решение целого уравнения при каждом фиксированном значении параметра, применив алгоритм решения линейного и квадратного уравнений с параметром; 3) Провести исследование знаменателя на наличие посторонних корней (выяснить, при каких значениях параметра полученные корни обращают знаменатель в ноль); Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра. Конечно, не всегда следует следовать алгоритму решения уравнений с параметром (при решении, например, нестандартных уравнений с параметром), но на первом этапе знакомства с параметром он поможет. Рассмотрим это на примере. Пример 4. Решить относительно x уравнение . Решение: Умножив обе части уравнения на выражение x(x – 2) – общий знаменатель дробей, получим целое уравнение (m – 2)x = 2m, которое при условии, что x(x – 2) ≠ 0, будет равносильно данному уравнению. Это можно записать в виде системы: (m - 2)x = 2m, x(x – 2) ≠ 0. Решим уравнение (m - 2)x = 2m. Если m = 2, то уравнение примет вид 0x = 4 и не будет иметь корней; Если m ≠ 2, то уравнение имеет единственный корень x = . Дробь при m ≠ 2 может принимать различные значения. Исключим те значения m, при которых знаменатель обращается в ноль: x(x – 2) = 0, то ( - 2) = 0, = 0 или - 2 = 0. Отсюда имеем, что m = 0 или = 0, второе равенство не выполняется ни при каких m. Значит корень уравнения x = при m = 0 (тогда получаем x = 0) является посторонним корнем исходного уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль. Ответ. При m ≠ 0 и m ≠ 2 уравнение имеет единственный корень x = ; При m = 0 или m = 2 уравнение корней не имеет. Пример 5. При каких значениях параметра b уравнение имеет: a) два корня; б) единственный корень? Решение: Умножив обе части уравнения на выражение (x +b)(x –2) – общий знаменатель дробей, получим: (b2 – 1)x2 – 2b2x + b2 =0, (x +b)(x –2) ≠ 0; Если b2 – 1 = 0, т.е. b = ± 1, то уравнение примет вид: -2b2x + b2 = 0 и будет иметь единственный корень x = ½. Если b ≠ ± 1, то уравнение будет квадратным: (b2 – 1)x2 – 2b2x + b2 =0 и будет иметь корни в зависимости от дискриминанта. Найдем D1. D1 = b4 – b2(b2 – 1) = b2, b2 ≥ 0 всегда, следовательно, D1 ≥ 0 при любом b ≠ ± 1, а значит уравнение всегда имеет корни при b ≠ ± 1. Если D1 > 0, то x1,2 = , x1 = , x2 = . Проверим знаменатель (x +b)(x –2) на равенство нулю: Если x = , то (b + )( - 2) = 0, или ,b = 0 или b = 2. Знаменатель обращается в ноль при b = 0 или b = 2. Если x = , то (+ b)( - 2) = 0, b = 0 или b = -2. Знаменатель обращается в ноль при b = 0 или b = -2. Значит, уравнение будет иметь два корня при b ≠ 0 и b ≠ - 2 и b ≠ ± 1. Если D1 = 0, то b = 0, то уравнение имеет один корень x = 0, что невозможно, так как если b = 0 и x = 0, то знаменатель уравнения равен нулю и уравнение не имеет смысла. Следовательно, уравнение имеет один корень при b = ± 1, b = 2 или b = - 2. Ответ. Уравнение имеет два корня при b ≠ 0 и b ≠ - 2 и b ≠ ± 1; один корень при b = ± 1, при b = 2 или b = - 2. Пример 6. Решить уравнение относительно х. Решение: Приведем уравнение к целому виду: x2-2x+4-2bx-4b+x+2-6+4b=0 x3+8≠0; x2-(2b+1)x=0 x≠-2 Решим уравнение x2-(2b+1)x=0: х(x-2b-1)=0, х=0 или х=2b+1 при любом b, т.к. D=(2b+1)2>0 при любом b (т.е. уравнение при любом b имеет 2 корня). Исключим те значения b, при которых знаменатель обращается в 0. 1) х=0, х≠-2 2) х=2b+1, 2b+1=-2, 2b=-3, b=-1,5 Значит, при b=-1,5 х=2b+1 не является корнем, тогда уравнение имеет один корень х=0. Ответ: при b≠-1,5 уравнение имеет два корня: х1=0 и х2=2b+1; при b=-1,5 уравнение имеет единственный корень х=0. Пример 7. Решить относительно х уравнение . Решение: Приведём уравнение к целому виду: x2-ax-ax-a2+2x+2a-4a+2a2=0 x2-a2≠0 x2-2(a-1)x+a2-2a=0 x2-a2≠0 Решим квадратное уравнение x2-2(a-1)x+a2-2a=0. D1=(а-1)2-а2+2а=а2-2а+1-а2+2а=1, D>0, значит уравнение имеет 2 корня. , Проверка знаменателя (x2-a2) на равенство нулю: х=а, то x2-a2=a2-a2=0, значит, х=а - посторонний корень; х=а-2, то x2-a2=(а-2)2-а2=а2-4а+4-а2=-4а+4=0 при а=1. Значит, при а=1 знаменатель x2-a2=0, следовательно, число х=а-2 при а=1 (т.е. х=-1) не является корнем уравнения. Ответ: при а≠1 уравнение имеет единственный корень х=а-2; при а=1 уравнение корней не имеет. Пример 8. Решить относительно у уравнение . Решение: Приведём уравнение к целому виду: 3(у+а)2+3(у-а)=10у2-10а2 у2-а2≠0; 3у2+6ау+3а2+3у2-6ау+3а2-10у2+10а2=0 у2-а2≠0; -4у2+16а2=0 у2-а2≠0. Решим целое уравнение -4у2+16а2=0: -4у2=16а2, у2=4а2, у=±, у1=2а, у2=-2а. Проверка знаменателя на равенство нулю: Если у=2а, то у2-а2=4а2-а2=3а2, 3а2=0, а=0 Если у=-2а, то у2-а2=4а2-а2=3а2, 3а2=0, а=0, следовательно если а=0, то уравнение корней не имеет. Ответ: если а≠0, то уравнение имеет два корня: у1=2а и у2=-2а; если а=0, то корней нет. Пример 9. Решите относительно у уравнение . Решение: Приведем уравнение к целому виду: ау2-2а2=2у2-4а а≠0, у≠0 (а-2)у2-2а2+4а=0 Если а-2=0, т.е а=2, то уравнение примет вид 0у2-8+8=0, 0у2=0, то у-любое число, отличное от нуля (т.к. у≠0); Если а≠2, то уравнение примет вид: (а-2)у2=2а2-4а – уравнение квадратное у2=, , если а>0 , если а>0 (по условию а≠0) Если а=0, то уравнение теряет смысл. Ответ: если а=2, то корень уравнения - любое число, отличное от нуля; если а≠2 и а>0, то уравнение имеет два корня: , ; если а<0, то корней нет; если а=0, то уравнение не имеет корней (вернее уравнение теряет смысл). Пример 10. Решите относительно х уравнение . Решение: Приведём уравнение к целому виду: 3ах-5+3ах+9а-11х-33-2ах+2х-7а+7=0 (а-1)(х+3)≠0; 4ах-9х+2а-31=0 (а-1)(х+3)≠0; (4а-9)х=31-2а а≠1, х≠-3; 1) Если 4а-9=0, т.е. , то уравнение примет вид: 0х=26,5 и не имеет корней; 2) Если а≠ и а≠1, то . Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3. =-3, 31-2а=-12а+27, 10а=-4, а=-0,4. Значит если а=-0,4, то знаменатель обращается в нуль и, следовательно, данное уравнение не имеет смысла при а=-0,4. Ответ: если а=, а=-0,4, то уравнение не имеет решений; если а≠, а≠-0,4, а≠1, то уравнение имеет единственный корень . Пример 11. При каких а уравнение имеет единственное решение? Решение: х2-ах+1=0 х+3≠0 Решим квадратное уравнение х2-ах+1=0 D=а2-4; если D=0, то уравнение имеет одно решение. а2-4=0, а2=4, а=±2. Итак, если а=±2, то уравнение имеет одно решение , т.е. х=1 или х=-1. Проверим, при каком значении а х=-3 является корнем уравнения, для этого подставим х=-3 в уравнение: 9+3а+1=0, 3а=-10, . Значит, при х=-3 является корнем уравнения, который обращает знаменатель в нуль, значит он посторонний. Но квадратное уравнение имеет два корня, следовательно при существует ещё второй корень, который не обращает знаменатель в 0, и он единственный. Ответ: а=±2 или . Пример 12. Решите относительно у уравнение . Решение: Приведём уравнение к целому виду: 3у-3а+2у-4=0 у(у-а)≠0; 5у-3а-4=0 у≠0, у≠а; 5у=3а+4, Проверка знаменателя: Если , =0, Если , =а, 3а+4=0, 3а+4=5а, а=2 Итак, при или а=2 не является корнем уравнения. Ответ: если а≠ и а≠2, то ; если или а=2, то уравнение корней не имеет. Пример 13. Решить уравнение относительно у. Решение: Приведём уравнение к целому виду: у2-а2+ау-у2+2ау-а2=0 а≠0, у≠а 3ау=2а2, то Ответ: при любом значении а≠0 .

Похожие:

	Программа элективного курса: Основы права Вид курса: предметно-ориентированный. Теоретические занятия курса гармонично сочетаются с практическими, что позволяет учащимся глубже...		Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа элективного курса «Глобальные проблемы человечества» предназначена для обучающихся 10 (11) класса, базируется на знаниях...		Программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» для 10-11 класса Предлагаемая программа элективного курса по биологии «Человек и его здоровье» предназначена для учащихся 10-11-х классов основной...
	Пояснительная записка. Основное содержание. Требования к уровню подготовки... Курс является предметно-ориентированным. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Содержание...		Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса
	Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов		Программа элективного курса по химии Одним из вариантов решения этой проблемы является включение в учебный план элективного курса «Строение и свойства кислородсодержащих...
	Программа элективного курса для обучающихся 8-9 классов основной... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19		Календарно-Тематическое планирование элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класс Программа элективного курса «Компьютер для начинающих» для 5 класса (Рекомендована Экспертным Советом му «Управление образования...
	Пояснительная записка Программа элективного курса по биологии предназначена... Программа элективного курса по биологии для10(11)класса в рамках профильной подготовки		Программа элективного курса «Избранные вопросы физики» (2ч в неделю, всего 68часов) ...
	Рабочая программа элективного курса по экологии для 5 класса основного... Программа составлена на основе программы для основной общеобразовательной школы. Интегрированный курс «Экология» для учащихся 5-9...		Программа элективного курса по литературе «умейте владеть словом»... «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию...
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Программа элективного курса для 10 класса Составитель: Павлова О.... Курс разработан для предпрофильного обучения на ступени основной средней общеобразовательной школы, рассчитан на 17 часов (1 час...