Тема: Математическая модель мира. Понятие математического моделирования. Построение моделей задач. Демократия с точки зрения математики.
Цель: сформировать знания о математическом моделировании, как о методе познания окружающего мира, дающем возможность управлять им.
Задачи: образовательная:
выработать умение составлять простые математические модели;
развивающая:
развитие логического мышления; развитие тактильной памяти;
воспитательная:
выработать умение составлять и пользоваться математической моделью в повседневной жизни.
Тип занятия (по форме проведения): урок – дидактическая игра.
Оборудование: листы с изображением «логиконов», раздаточный материал для практической работы, модели правильных многогранников, плакат «Платоновы тела».
Структура занятия.
Этапы
занятия
|
Содержание изучаемого материала
|
Методические рекомендации
|
I этап
Организационный момент.
|
Цель: сформировать знания о математическом моделировании, как о методе познания окружающего мира, дающем возможность управлять им.
|
Ознакомление с темой занятия, постановка цели.
|
II этап
Психологическая минутка.
Устная работа.
|
Шестиклеточный логикон.
Пример.
------------------------
| 2 | 5 | 10 |
------------------------
| Б | Д | ? |
------------------------
Ответ: И – место буквы в алфавите.
(Задания описаны в приложении 6).
|
Провести устную работу с помощью шестиклеточных логиконов.
Цели:
развитие логического мышления;
повышение интереса к математике.
|
III этап
Ввод нового материала.
|
Математический язык. Математическая модель.
Что такое математическая модель.
Основные этапы математического моделирования:
построение математической модели (переход от реальной ситуации к математической);
работа с составленной моделью;
ответ на вопрос задачи.
Примеры математических моделей:
Задача о движении снаряда (механика):
«Снаряд пущен с земли с начальной скоростью υ0 = 30м/с под углом α = 45 к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние между начальной и конечной точкой этой траектории».
Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Транспортная задача:
«В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50т муки, а со второго – 70т на заводы, причем на первый – 40т, а на второй – 80т. Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?»
Задача о радиоактивном распаде.
Задача о коммивояжере:
«Коммивояжеру, жившему в городе А1, надо посетить города А2, А3, и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в А1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог таковы:
в12 = 30, в14 = 20, в23 = 50,
в24 = 40, в13 = 70, в34 = 60.
Определите порядок посещения
городов, при котором длина
соответствующего пути
минимальна».
Задача об определении надежности электрической цепи.
|
Лекция с примерами.
Показать этапы математического моделирования на конкретном примере.
Практическая задача
(бытовая ситуация): «Сколько рулонов обоев необходимы для оклейки стен комнаты, размеры которой 4м, 6м, высота 3м, если длина одного рулона 14м, а ширина 0,5м?»
I этап
Построение математической модели.
а = 4м – ширина прямоугольного параллелепипеда;
в = 6м – длина;
с = 3м – высота.
Sбок. – площадь боковой поверхности.
к = 14м – длина прямоугольника;
р = 0,5м – ширина;
S – площадь прямоугольника
Найти отношение Sбок. к S, результат округлить до целых по избытку.
II этап
Работа с составленной моделью.
Решим математическую задачу.
Sбок. = 2 · (4 · 3 + 6· 3) =
= 60 (м2)
S = 14 · 0,5 = 7 (м2)
60 : 7 8,57
Округляем до целых по избытку: 9
III этап
Ответ на вопрос задачи.
Ответ: 9 рулонов.
|
IVэтап
Практическая работа.
|
Задание:
Решите задачу, используя математическую модель.
Задача: В трех цехах работают 1274 человека, при этом во втором цехе на 70 рабочих больше, чем в первом, а в третьем – на 84 больше, чем во втором. Сколько человек работают в каждом цехе?
ЛАБОРАТОРИЯ ЭКОНОМИКИ (первый
ряд) построит математическую модель.
Модель.
I цех – х рабочих
II цех – (х + 70) рабочих 1274 раб.
III цех – ((х + 70) + 84) рабочих
Работать с этой моделью данная лаборатория не может. Что же делать? Экономисты вызывают сотрудника из ТЕХНИЧЕСКОГО ОТДЕЛА (второй ряд) и говорят ему: «Отнеси-ка этот листок (с моделью) математикам, пусть разберутся».
ЛАБОРАТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
(третий ряд) получив просьбу экономистов, начинают работать с моделью, например, решать уравнение. Результат получен, что делать теперь? Математики вызывают сотрудника технического отдела и говорят: «Отнеси-ка результат экономистам, мы сделали то, что они просили».
В лаборатории экономики
математический результат обдумывают и получают результат экономический.
|
Дидактическая игра.
Цель: выработать представление о том, зачем нужна математическая модель; выработать умение составлять простые модели.
Правила: «Представьте себе, что наш класс – это научно – исследовательское учреждение.
Первый ряд – лаборатория экономики.
Третий ряд – лаборатория математики.
Средний ряд – технический отдел.
Уравнение:
Х + Х + 70 + Х + 70 + 84 = 1274
3Х = 1050
Х = 350
350 + 70 = 420
420 + 84 = 504
Ответ: в первом цехе 350 рабочих, во втором – 420 рабочих, в третьем – 504 рабочих.
|
Vэтап
Итог.
Можно ли создать модель мира?
Домашнее задание.
|
Дополнительно. Демократия с точки зрения математики.
Задача: «Существует ли демократия, как волеизъявление большинства?»
Модель.
п – число избирателей
т – число кандидатов
строится функция f от двух переменных f(т,п). Это уже вопросы высшей математики.
Домашнее задание: придумать свою модель мира (можно и шуточной форме).
На следующее занятие принести линейку, цветные карандаши, циркуль.
|
Дискуссия.
Вопрос: Можно ли создать модель мира?
Вспомнить модель мира по Платону.
|
«Мы оказались современниками мощного
прогресса математических знаний,
становления новых разделов математики,
новых сфер ее приложений…».
Л. Е. Садовский
Занятие № 4.
Тема: Разделы математики. Диалоги о статистике. Комбинаторика.
Цель: познакомить с одними из разделов математики.
Задачи: образовательная:
формирование знаний по разделам математики: статистике и комбинаторике;
развивающая:
учить обосновывать свои действия;
воспитательная:
развивать навыки работы в группах.
Тип занятия (по форме проведения): урок – групповая работа.
Оборудование: цветные мелки, циркуль, линейка, транспортир, бланки анкет, энциклопедический словарь, наглядный материал: таблицы, диаграммы, графики, листы с заданиями, раздаточный материал для ролевой игры.
Структура занятия.
Этапы
занятия
|
Содержание изучаемого материала
|
Методические рекомендации
|
I этап
Организационный момент.
|
Цель: познакомить с одними из разделов математики.
|
Ознакомление с темой занятия, постановка цели.
|
II этап
Подготови-тельный.
Социологический опрос.
|
Вопросы анкеты.
Назовите самый любимый школьный предмет.
Сколько детей в вашей семье?
Какие телевизионные передачи нравятся вашим папе и маме?
Какую музыку вы слушаете?
Какие телепередачи вы смотрите?
Оцените все изучаемые предметы.
Критерии оценок:
интересен – 1 балл;
неинтересен – 0 баллов;
необходим – 1 балл;
не нужен – 0 баллов;
успеваемость 4,5 – 1 балл;
успеваемость 2,3 – 0 баллов.
Ваш вес.
Какую музыку слушают ваши родители?
Ваш размер обуви.
Ваш рост.
|
Класс делится на группы примерно по 5 -6 человек.
Социологический опрос проводится в форме анкетирования. Вопросы читает учитель, ответы записываются под номерами.
Критерии оценок предметов лучше выписать на доску.
|
III этап
Самостоятельная работа в группах.
|
Работа по составлению графиков и диаграмм.
Начертите 2 графика разного цвета в одной системе координат по пунктам 7 и 9.
Начертите круговую диаграмму по пункту 6, подсчитав общее количество баллов по каждому предмету.
Составьте общую таблицу по пунктам 3, 4, 5 и 8. (Сверху: телепередачи; музыка. Сбоку: мы; родители).
Составьте столбчатую диаграмму по пункту 1.
|
Повторение материала, пройденного в 5 – 8 классах.
(по оси абсцисс – фамилии или имена в любом порядке, по оси ординат – значение величин рост, размер обуви).
(Сверху: телепередачи; музыка. Сбоку: дети; родители).
(по выбранным предметам – количество выборов)
|
IVэтап
Введение нового материала.
Что такое статистика?
|
Что такое статистика? Говорят, что на этот вопрос английский премьер-министр Б. Дизраэли ответил так: «Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистика».
В естественных науках слово «статистика» означает анализ массовых явлений, основанные на применение методов теории вероятности.
Статистика наибольшую пользу приносит при изучении массовых явлений.
Вопрос: Как вы думаете, почему на пачках сигарет написано: «Минздрав предупреждает: курение опасно для вашего здоровья»?
Ответ: К выводу о вреде курения врачи всего мира пришли после анализа множества наблюдений за здоровьем курящих людей.
|
Лекция.
Заглянем в энциклопедический словарь и узнаем толкование слова «статистика».
Статистика (нем. Statistik от итал. Stato – «государство») – получение, обработка, анализ и публикация информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества в неразрывной связи с их качественным содержанием.
|
Vэтап
Способы представления данных и др.
|
Результаты статистики представляют в наглядной и компактной форме, например, с помощью таблиц, диаграмм, графиков.
Задание: проанализировать результата самостоятельной работы.
Среднее арифметическое.
Задание: подсчитайте средний вес и средний рост вашей группы.
Вопрос: можно ли теперь, используя полученные данные, заказать школьную форму на весь класс? Почему нельзя?
Мода.
Определение. Модой обычно называют число ряда чисел, которое встречается в этом ряду наиболее часто.
Задание 1. Используя данные опроса, определите самую любимую передачу ваших мам.
Задание 2. Определите самый модный предмет, изучаемый в школе.
|
Каждая группа анализирует результаты своего опроса.
Повторение.
Попросить обосновать свой ответ.
Можно не записывать определение в тетради.
Работа в группах.
Для закрепления изученного материала выполнить несколько заданий.
|
VI этап
Решение задач.
|
Вопросы.
Приведите пример ряда чисел, среднее арифметическое которых равно нулю. Могут ли в таком ряду быть ненулевые числа? Может ли мода такого ряда быть отличной от нуля?
Приведите пример ряда чисел, мода которого равна нулю, а среднее арифметическое не равно нулю.
Может ли среднее арифметическое ряда чисел совпадать с его наибольшим числом?
Задача 1. Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и то же число, то как изменится среднее арифметическое и мода ряда?
Задача 2. Вычислите среднее арифметическое ряда: 37; 254; 9; 21; 699. Используя полученный результат, найдите среднее арифметическое ряда:
0,37; 2,54; 0,09; 0,21; 6,99;
37 000; 254 000; 9 000; 21 000; 699 000.
|
Надо провести небольшой устный опрос по пройденному материалу.
Теперь можно перейти к решению задач.
Посоветовать рассмотреть на примерах.
Сделать общий вывод должны учащиеся самостоятельно.
|
VII этап
Комбинаторика.
|
Диалог Холмса и Ватсона.
Ватсон. Холмс, это кажется по Вашей части…
Холмс. Дорогой Ватсон, у Вас на подносе бутылки с вином. Но я не пью. Вы же знаете.
Ватсон. Нет, Холмс, мне просто нужен Ваш совет. Вчера, налив в равных количествах в бокал вина из двух бутылок, я получил прекрасный коктейль. Но самое ужасное в том, что я забыл – какие два напитка смешал. Теперь мне придется перепробовать кучу вариантов. Но я боюсь захмелеть раньше, чем найду, то, что ищу…
Холмс. Не волнуйтесь, Ватсон, Вам в худшем случае придется попробовать шесть вариантов. Но если у Вас разболится голова, Вам останется утешиться мыслью, что пострадали за науку.
Ватсон. Вы смеетесь, Холмс. О какой науке может идти речь?
Холмс. Речь идет о разделе математики, называемом комбинаторикой. Занимается в основном комбинаторика подсчетом числа комбинаций, составленных из определенных элементов. Вот сейчас Вы, Ватсон, столкнулись с элементарной комбинаторной задачей: «Сколько существует способов составить коктейль из двух напитков, взятых в равных дозах, если у Вас имеется четыре различных сорта вин?»
|
Ролевая игра «Доктор Ватсон знакомится с комбинаторикой».
Цель этой игры состоит в том, чтобы в занимательной форме сформировать знания о комбинаторики как об одном из разделов математики. После игры необходимо сделать вывод о том, что изучает комбинаторика.
Решить эту задачу, проверить ответ Холмса.
А, Б, С, Д
А – Б А – С А – Д
Б – С Б – Д
С – Д
|
VIII этап
Подведение итогов.
|
Каждая группа устно оценивает свою работу.
|
Оценка работы носит описательный характер.
|
«Математика сделает твой ум
острее и способнее, даже к медицине».
Гиппократ
Занятие № 5.
|
