Тема: Прикладная математика. Топология, криптография,
математическая лингвистика и т.п.
Цель: способствовать формированию знаний о роли и возможностях математики в разных областях интеллектуальной и практической деятельности человека.
Задачи: образовательная:
формирование знаний по прикладной математике;
развивающая:
воспитательная:
формирование чувства ответственности.
Тип занятия (по форме проведения): комбинированный урок.
Оборудование: портрет Л.С. Понтрягина; демонстрационный материал «Лист Мёбиуса»; плакаты с заданиями; рисунки тел, изучаемых топологией; демонстрационный материал по криптографии, плакат со схемой «Прикладная математика».
Структура занятия.
Этапы
занятия
|
Содержание изучаемого материала
|
Методические рекомендации
|
I этап
Организационный момент.
|
Цель: способствовать формированию знаний о роли и возможностях математики в разных областях интеллектуальной и практической деятельности человека.
|
Ознакомление с темой занятия, постановка цели.
|
II этап
Что такое прикладная математика?
|
Вступление. Мы оказались современниками мощного прогресса математических знаний, становления новых разделов математики, новых сфер ее приложений и таких научных направлений, как «математическая экономика», «математическая лингвистика», «математическая психология», «математические методы в биологии».
Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами.
Вопрос: назовите области интеллектуальной и практической деятельности человека, где математика играет важную роль. (небесная механика, теоретическая электроника, теория прочности, теоретическая физика и т. п.)
|
Вступительное слово учителя.
дать простое понятие о прикладной математике.
Обратить внимание, что есть профессия «математик-прикладник», которую можно получить в вузах.
Области интеллектуальной и практической деятельности, где математика играет важную роль, можно изобразить с помощью схемы.
|
III этап
Топология.
Лист Мёбиуса.
|
Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики ХХ века стал головокружительный взлет науки под названием топология. Иногда ее называют геометрией на резиновой поверхности.
Объектами изучения топологии являются необычайные поверхности, в том числе известный лист Мёбиуса.
В нашей стране топологией занимался выдающийся ученый-математик Лев Семенович Понтрягин. Родился он в 1908 году в бедной рабочей семье. Когда ему было 13 лет, рядом с ним взорвался бак с кипятком и мальчик в результате ослеп. Но он продолжал учиться в обычной школе, затем окончил университет, аспирантуру. В топологии Л. С. Понтрягин открыл общий топологический закон двойственности, написал много научных работ и книгу «Непрерывные группы».
|
Показать рисунок с изображением тел, изучаемых топологией.
Демонстрация опытов.
Продемонстрировать необычайность листа Мёбиуса (разрезание и т. п. )
|
IVэтап
Криптография.
Что изучает
криптография?
Ее применение.
|
Информация о криптографии.
Криптография – это одна из самых интригующих и таинственных областей современной науки. Со времен Юлия цезаря и древних греков способы сокрытия тайн охранялись строже, государственные секреты …
Применение криптографии.
Истории создания и взлома шифров могли бы стать основой для увлекательных романов.
Шифры описаны в знаменитых литературных произведениях:
А. Конан Дойл «Пляшущие человечки»
Эдгар По «Золотой жук»
Жюль Верн «Путешествие к центру Земли».
В настоящее время вместе с развитием телекоммуникационных систем, распространением средств вычислительной техники расширилось применение криптографии. Стала формироваться новая область знаний – информационная безопасность. Математики – криптографы нужны для структур, обеспечивающих безопасность нашей страны.
|
Небольшая лекция. В центре материала данного пункта находится информация о применении криптографии на практике и важности этой науки.
Беседа. Дать учащимся самостоятельно вспомнить информацию о шифровке и дешифровки информации, где и кем это применяется.
Учителю надо самому привести несколько
интересных примеров по криптографии, например: фраза «…умею ли я находить с помощью электронно–вычислительной машины значения функций, а также объемы многогранников?» не несет большой смысловой нагрузки, но примечательна тем, что содержит все буквы алфавита и почти все знаки препинания. Значит, может служить ключевой фразой для шифровки информации. А вы можете придумать такую фразу?
|
V этап
Самостоятельная работа.
|
Самостоятельная работа.
Задание: с помощью фразы, данной учителем зашифровать придуманное вами сообщение. Передать сообщение соседу по парте. Расшифровать полученное сообщение.
|
Каждый ученик сначала работает индивидуально, затем в паре.
Интересные сообщения, забавные казусы при шифровке или дешифровке зачитываются.
|
VI этап
«Математическая мозаика».
|
Математическая лингвистика (зачитываются стихи, написанные компьютером).
Математическая психология (разговор о математической обработке тестов, анкет).
Математические методы в биологии (математика в живых организмах).
Текстильная геометрия (теория кос Эмиля Артина, геометрия ткани Вильгельма Бляшке).
Вывод.
|
Чтобы поддержать интерес к математике, надо рассмотреть вопрос о применении математики шире. Сообщить дополнительные данные.
|
VII этап
Подведение итогов.
Постановка домашнего задания.
|
Домашнее задание: составить фразу, содержащую все буквы алфавита.
Принести на следующее занятие микрокалькулятор.
|
Выполнение домашнего задания является добровольным
|
«Проценты творят чудеса.
Зная их, бедный может
стать богатым, вкладчик
сбережений учится жить».
Занятие № 6.
Тема: Финансовая математика. Несколько задач «про цены».
Цель:.. научить анализировать реальные ситуации с помощью накопленного математического аппарата.
Задачи: образовательная:
выработать умение решать задачи с экономическим содержанием;
развивающая:
развитие познавательного интереса;
воспитательная:
развитие культуры общения.
Тип занятия (по форме проведения): практикум по решению задач.
Оборудование: листы новых знаний; раздаточный материал для поведения игры «Компетентность»; плакаты с задачами.
Структура занятия.
Этапы
занятия
|
Содержание изучаемого материала
|
Методические рекомендации
|
I этап
Организационный момент.
|
Цель: научить анализировать реальные ситуации с помощью накопленного математического аппарата.
Вступительное слово учителя:
В настоящее время идет бурное развитие финансовой математики. Основным ее понятием, которое вошло в нашу жизнь является понятие «проценты». Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым, вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
|
Ознакомление с темой занятия, постановка цели.
|
II этап
Повторение.
|
Викторина «Что мы помним, что мы знаем из прошедших школьных лет…».
Что называется процентом?
Назовите 1% метра.
Выразите проценты в виде десятичной дроби:
140%, 60%, 12%, 8%, 1,5%, 1000%; 0,6%.
Без чего не могут обойтись охотники, барабанщики и математики?
В Московском Кремле находятся царь-пушка и царь-колокол. Масса колокола 200 тонн, а масса пушки составляет 20% массы колокола. Сколько весит пушка?
Выразите в процентах число:
3; 0,02; 0,1; 0,16; 1,27; 0,457.
Брату 13 лет, а сестре 6. сколько лет исполнится сестре, когда брату будет 18?
85% студентов одного вуза учат английский язык, 75% студентов этого же вуза учат немецкий язык. Как такое может быть, ведь все студенты вуза составляют 100%?
|
Для лучшего усвоения материала необходимо провести работу по повторению темы: «Проценты». Ее можно организовать в виде викторины. Вопросы могут быть не только по данной теме, но и развлекательного характера.
|
III этап
Практикум по решению задач экономического характера.
|
Задача 1. В одной из газет сообщалось, что по сравнению с ноябрем увеличилась на 24,7 стоимость набора из 25 основных продуктов питания и составила 691,3 руб. Сколько стоили «продовольственная корзина» (так называют этот набор) в ноябре? Решение. 100% - х руб, 124,7% - 691,3 руб х=691,3·100/124,7554,37. Ответ: 554,37 руб.
Задача 2. Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,14% страховой суммы при скидке 30% для постоянных клиентов. Определите величину страхового платежа для повторного страхования дачного домика на сумму 12000 рублей. Решение. 100% - 30% = 70% 12 000·0,0214·0,7=179,76 Ответ: 179,76 руб.
Задача 3. в осенне-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20% и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней? Решение. Пусть А0 – начальная цена фруктов, А3 – цена после трех повышений, тогда А3=А0·(1+0,01·10)·(1+0,01·20)·(1+0,01 · 25)= 1,65·А0 А3 - А0=1,65 А0 - А0=0,65 0,65 – 65% Ответ: цена возросла на 65%.
|
Перед решением задач полезно проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен. Использовать только такие задачи финансовой математики, которые выразительно демонстрируют практическую ценность математики и позволяют активизировать учебную деятельность.
Прийти к выводу, что задачи финансовой математики представляют интерес не только для будущих финансистов, но и для всех людей. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении сберегательного вклада или кредита, покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налогов , страховании и т. д.
|
IVэтап
«Сложные проценты»:
Новый материал.
Решение задач.
Игра «Компетентность»
|
«Сложные проценты».
______________________________
Лист новых знаний.
Формула вычисления
«сложных процентов»
An= Ao(1+0,01p)n
An= Ao(1+0,01p1) (1+0,01p2)… (1+0,01pn)
где
Ao – исходное значение величины А (сумма начального вклада, первый взнос и т. п.);
p%, p1%, p2%, …, pn% – процентный прирост величины A;
An – конечное значение величины А;
N – количество увеличений величины А (время вклада, срок кредита и т. п.).
______________________________
Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов».
Экономический отдел предприятия.
На вашем предприятии выработка продукции возросла за прошлый год на 4%. За этот год планируется повысить выработку еще на 8%. Найдите средний годовой прирост (в процентах) за эти 2 года.
A2= Ao(1+0,01· 4) (1+0,01· 8)
A2= Ao(1+0,01· х)2
Составляем уравнение:
(1+0,01· 4) (1+0,01· 8) = (1+0,01· х)2
Экономический отдел банка.
При одном из видов кредитования заем в 6000 рублей погашается в течении года по 500 рублей ежемесячно, вносимых в последний день месяца одновременно с уплатой 5% в месяц, начисляемых по формуле сложных процентов на совершаемы платеж. Надо найти размер всей платы за кредит.
А = 500· (1- 0,05) + 500 · (1- 0,05)2 + 500 · (1-
-0,05)3 + 500 · (1-0,05)4+ … + 500 · (1-0,05)12=
= 2356,3
Бухгалтерия магазина.
Владелец магазина купил товар по себестоимости: 51,2 руб. за единицу товара. По пути к прилавку цена поднималась трижды на один и тот же процент. Товар продавался плохо, и коммерсант распорядился трижды сделать скидку на тот же самый процент. В итоге цена оказалась равной 21,6 руб. Требуется найти процент изменения цены.
A3 = Ao (1+0,01х)3 A6 = A3 (1 - 0,01х)3
A6 = Ao (1+0,01х)3 (1- 0,01х)3
21,6 = 51,2 · (1+0,01х)3 ·(1 - 0,01х)3
|
Каждому ученику выдать лист «Новых знаний», на котором записана формула сложных процентов с пояснением величин, входящих в нее, приведен пример решения одной задачи. Объяснение по этому листу, без вывода и без записей на доске. Закрепить теорию можно с помощью несложных задач в форме дидактической игры.
Решение задач можно провести в форме дидактической игры «Компетентность».
Цель: выработать умение решать задачи на «сложные проценты». Организовать работу в группах по 4 – 5 человек, каждая группа будет представлять предприятие, отдел или некоторую семью. Во время работы учитель должен оказывать помощь затрудняющимся. После выполнения задания каждая группа делает вывод и сообщает его всему классу.
Если времени на решение уравнений к задачам недостаточно, то можно попросить просто составить уравнение или числовое выражение, обратить внимание на то, что используется формула «сложных процентов» и со знаком «-».
|
Vэтап
|
Каждая группа делает вывод по итогам своей работы и сообщает его всему классу.
|
Чтобы помочь сформулировать вывод, на карточках с задачами записываются также наводящие вопросы.
|
VI этап
Подведение итогов.
Постановка домашнего задания
|
Поговорить о экономическом состоянии нашей страны. Сделать вывод о необходимости компетентных людей в области экономики и о необходимости развития финансовой математики.
Дать нескольким ученикам исторический материал о математиках (для подготовки выступлений на следующем уроке).
|
Беседа, (с преобладающими ответами учеников, а не учителя) о финансовой математике и ее значении.
|
«Обучение – это ремесло,
использующее бесчисленное
количество трюков».
Д. Пойа
Занятие № 7.
|
