Пояснительная записка «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи.

Примеры Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у= 5, у=6, то х1 = 5/2, х= 6/2 Ответ: 2,5; 3. Уравнения для закрепления теоретических сведений: 3 х2 – (3+) х + 1 = 0 2х2 – 9х + 9 = 0; 3х2 + х – 4 = 0; 10х2 – 11х + 3 = 0; 5х2 – 11х + 6 = 0; 3х2 + 11х + 6 = 0; 2х2 + х – 10 = 0; 4х2 + 12х + 5 = 0; 6х2 + 5х - 6 = 0. Занятие № 7, № 8 «Свойства коэффициентов квадратного уравнения» 1) Теоретические сведения (свойства с доказательством) Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а 0. Свойство 1. Если а + bх + с = 0 (т е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а Свойство 2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х= – с/а 2) Решить уравнения: 5х2 – 7х + 2 = 0; 839х2 – 448х – 391 = 0; 3х2 + 5х – 8 = 0; 939х2 + 978х + 39 = 0; 11х2 + 25х – 36 = 0; 313х2 + 326х + 13 = 0; 11х2 + 27х + 16 = 0; 1999х2 – 2000х + 1 = 0. 3) Дополнительные задания Решить уравнение: Решение: Пусть = t, тогда получим уравнение 2t² – 7t + 5 = 0 Используя свойство коэффициентов а + b + с = 0 имеем: t1 = 1 нет решений t2 = Ответ: (х² – 8)² + 4(x² – 8) – 5 = 0 x² – 8 = y y² + 4y – 5 = 0 y1 = 1 y2 = –5 y1 = 1 x² – 8 = 1 x² = 9 x1 = 3; x2 = –3 y2 = –5 x² – 8 = –5 x² = 3 x3 = –√3 x4 = √3 Ответ: –√3; √3; –3; 3 x + x + 2x³ + 2x² + x + 1 =0 x (x + 1) + 2x²(x + 1) + (x + 1) = 0 (x + 1) (x + 2x² + 1) = 0 (x + 1) (x² + 1)² = 0 x = –1 x = –1 x² = –1 нет решений 4) Закрепление способа извлечения квадратного корня без таблицы: Занятие № 9 «Графическое решение квадратное уравнения» Если в уравнении х2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = – рх – q. Построим графики зависимостей у = х2 и у = – рх – q. График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. Решить уравнения: х2 – x – 6 = 0; х2 – 4х + 4 = 0; х2 + 4х + 6 = 0; х2 – 6х + 9 = 4/х х2 – 1= 6/х (х+1) = –2/х – х2 – 2х +4= – х2 + 6х – 4 = |х| Занятие № 10 «Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки» Теоретические сведения: Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В (х1, 0) и D (х2, 0), где х1, х2 корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 и проходит через точки А (0, 1) и С(0,с/а) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ*ОD = ОА*ОС, откуда получаем ОС== Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому SK= SF= План решения уравнения: 1) Построим точки S ( ) (центр окружности) и А(0; 1); Проведем окружность с радиусом SA; Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая: Радиус окружности больше ординаты центра Радиус окружности равен ординате центра Радиус окружности меньше ординаты центра Пример. х– 2х – 3 = 0 Определим координаты точки центра окружности по формулам: x = у = Проведем окружность радиуса SА, где А (0;1) Корни уравнения 3 и -1 Уравнения для закрепления теоретических сведений: 1) х2 – 3х + 2 = 0; х2 – 3х – 10 = 0; х2 + 4х + 3 = 0; 2х2 – 7х + 5 = 0; х2 – 6х + 9 = 0; х2 + 4х + 5 = 0. Закрепление способа извлечения квадратного корня без таблицы: Занятие № 12, № 13 «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы» Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на странице 83 Четырехзначных математических таблиц, автор Брадис В.М. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + рz + q = 0; Эта номограмма позволяет, не решая квад­ратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Уравнения для закрепления: 1) z2 – 7z + 6 = 0; 2) z2 + 5z + 4 = 0; 3) z2 – 4z + 4 = 0; 4) z2 – z – 6 = 0; 5) z2 – 11 z + 18 = 0; 6) z2 – 2z + 3= 0 Занятие № 14 «Геометрический способ решения квадратных уравнений» В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми. 1. Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» Р С D х ассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2, следовательно, площадь каждого равна 2х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6 6 2 6 2 х х2 2 х 6 2 6 В А х Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4*2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6*4 = 25), т.е. S = х2 + 10* + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 – 2 – 2 = 3 2. Как древние греки решали уравнение у2 + 6y – 16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у2 + 6у = 16, или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = + 5 и у + 3 = – 5, или у=2, у2= –8 у 3 у у2 3у 3 3 у 9 Уравнения для закрепления геометрического способа: у2 – 6y – 16 = 0 х2 – 10х – 39 = 0 х2 + 7х – 8 = 0 х2 + 8х – 9= 0 х2 – 8х + 9 = 0 Занятие № 15 Смотр знаний по десяти способам решения квадратных уравнений 1 этап Проверка знаний теоретических вопросов. (Подготовлены вопросы по теории) Билет № 1 Сформулировать определение квадратного уравнения. Привести примеры. Алгоритм решения квадратного уравнения способом разложения на множители. Билет № 2 Виды квадратных уравнений. Привести примеры. Алгоритм решения квадратного уравнения способом выделения полного квадрата Билет № 3 Зависимость корней квадратного уравнения от коэффициентов Алгоритм решения квадратного уравнения с использование теоремы обратной теореме Виета. Билет № 4 Что называется дискриминантом? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Алгоритм решения квадратного уравнения способом «переброски» Билет № 5 Сформулировать терему Виета (прямую), доказать ее. Алгоритм решения квадратного уравнения, используя свойства коэффициентов Билет № 6 Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением? Виды неполных квадратных уравнений. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом. Билет № 7 Способы решения неполных квадратных уравнений. Алгоритм решения квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки Билет № 8 Сформулировать терему Виета (обратную), доказать ее. Алгоритм решения квадратного уравнения с помощью номограммы Билет № 9 Словесные формулировки формул корней квадратного уравнения Алгоритм решения квадратного уравнения геометрическим способом

Похожие:

	Как вы думаете, все ли задачи можно решить с помощью компьютера? Существуют задачи, которые без компьютера решить невозможно. Например, решить систему уравнений 20-й степени с 20-ю неизвестными;...		Уважаемые коллеги! Вашему вниманию предлагается один из вариантов распределения баллов за различные виды деятельности студентов. Таким распределением...
	Роман тургенева «отцы и дети» в оценке д. И. Писарева ...		Урок Реферат. Алгоритм работы над ним для учащихся 9-11 классов (2ч.) ...
	На родительских собраниях родители,которые хотят помочь своим детям... Даже просто прочитать параграф займет больше времени, чем решить задачу по математике, а нам еще необходима отработка определенных...		Управление образования и молодежной политики администрации Городецкого... ...
	Пояснительная записка Реализация программы кружка дает возможность решить эту проблему и развивать умение учащихся решать расчетные задачи, расширяя и,...		Урок русского языка "Систематизация и обобщение изученного по теме "Имя числительное" На уроках мы с вами разгадывали многие загадки этой удивительной страны. Сегодня нам предстоит еще раз вспомнить все, о чем мы говорили....
	Положение о городском конкурсе «Учитель здоровья в Санкт-Петербурге»... ...		Конспект урока по математике, 6 класс Тема «Противоположные числа» Решение любой достаточно трудной задачи требует напряжённого труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку....
	Пояснительная записка значение биологических знаний для современного... Решить эту задачу можно на основе преемственного развития знаний в области основных биологических законов, теорий и идей, обеспечивающих...		Реферат На тему: «Магические Квадраты» Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Проблема воспитания подрастающего поколения далеко не нова. Сегодня она стоит не менее остро, ведь решить те задачи, которые поставлены...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Решить задачу. На фрагменте одной цепи ДНК нуклеотиды расположены в последовательности: а – а – г – т – ц – т – а – ц – г – т – а...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Третью, четвёртую и пятую задачи легко решить, если ребятам показать, как составить таблицы для этих задач. Шестая задача сложная...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Решить задачу №444(а) на доске и в тетради. Работа в парах: повторить основное свойство дроби, сокращение дробей