Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Ответ: вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600, приближенно равна 0,3643. 2 курс, 4 семестр Контрольная работа № 2 «Математическая статистика» Вариант 1 1. С целью определения средней суммы вкладов в сберегательном банке, имеющем 2000 вкладчиков, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 вкладов. Результаты обследования представлены в таблице: Сумма вклада, тыс. руб. 50 - 150 150 - 250 250 - 350 350 - 450 450 - 550 Итого Число вкладов 14 24 35 20 7 100 Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9488 находится средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке; б) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней суммы вкладов в сберегательном банке (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9; в) вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине). 2. По данным задачи 1, используя критерий 2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице: y x 15 - 25 25 - 35 35 - 45 45 - 55 55 - 65 Итого: 15 - 25 7 3       10 25 - 35 52 110 13 1   176 35 - 45 1 14 23 2   40 45 - 55   1 4 6 1 12 55 - 65       3 6 9 65 - 75         3 3 Итого: 60 128 40 12 10 250 Необходимо: 1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии. 2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет. Образец выполнения контрольной работы №2 Вариант 1. 1. Решение. От интервального распределения перейдем к дискретному, взяв в качестве представителя интервала его середину . Для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии составим таблицу. Сумма вклада, тыс. руб. Количество вкладов, ni Середина, хi хi - C 50 - 150 14 100 -200 -2 -28 56 150 - 250 24 200 -100 -1 -24 24 250 - 350 35 300 0 0 0 0 350 - 450 20 400 100 1 20 20 450 - 550 7 500 200 2 14 28 Суммы 100 -18 128 С = 300 - середина интервала с наибольшей частотой; k = 100 - величина интервала. Выборочное среднее найдем по формуле 282 тыс. руб. Выборочная дисперсия , 12476. Выборочное среднее квадратическое отклонение 111,696. а) Средняя квадратическая ошибка среднего значения признака для бесповторной выборки . Число всех вкладов N = 2000, объем выборки n = 100 10,8868. Вероятности β = 0,9488 соответствует t = 1,95, так как Ф(1,95) = 0,9488. Предельная ошибка 1,95  10,8868  21,2270. Нижняя граница 282 - 21,227 = 260,773, верхняя граница 282 + 21,227 = 303,227. С вероятностью 0,9488 средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке заключена в границах от 260,773 до 303,227 тыс. руб. б) Вероятности Р = 0,9 соответствует t = 1,64, так как Ф(1,64) = 0,9. Число вкладчиков, которых надо обследовать для повторной выборки 74,912. Для бесповторной выборки 72,207. Округляем до большего целого 73. Чтобы с вероятностью 0,9 гарантировать те же границы для средней суммы всех вкладов в сберегательном банке, что и в п. а) объем бесповторной выборки должен быть равным 73 вкладам. в) Выборочная доля вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., равна 0,62. Средняя квадратическая ошибка доли для бесповторной выборки 0,0473  0,047. Предельная ошибка Δ = 0,1. 0,1 / 0,0473  2,11. Находим требуемую вероятность P = Ф(tβ) = Ф(2,11) = 0,9651 Вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1(по абсолютной величине), приближенно равна 0,9651. 2. Решение. Проверяется гипотеза Н0: случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид , где а,  - параметры распределения. В качестве оценок этих параметров возьмем выборочное среднее значение и дисперсию. 282;  = 111,696. Тогда и . Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле , где m - число интервалов; ni - частота (эмпирическая); n - объем выборки; pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал; npi - теоретическая частота. Вероятность pi попадания случайной величины Х в интервал (xi ; xi+1 ) найдем по формуле pi = P (xi < X < xi+1) = . = 0,5  (Ф(-1,18) - Ф(-2,08)) = 0,5  (-0,7620 + 0,9625) = 0,1002. = 0,5  (Ф(-0,29) - Ф(-1,18)) = 0,5  (-0,2282 + 0,7620) = 0,2669. = 0,5  (Ф(0,61) - Ф(-0,29)) = 0,5  (0,4581 + 0, 2282) = 0,3432. = 0,5  (Ф(1,50) - Ф(0,61)) = 0,5  (0,8664 - 0,4581) = 0,2041. = 0,5  (Ф(2,40) - Ф(1,50)) = 0,5  (0,9836 - 0,8664) = 0,0586. Для расчета составим вспомогательную таблицу i Интервал (xi ; xi+1) Эмпирические частоты ni Вероятность pi Теоретические частоты npi ni - npi (ni - npi)2 (ni - npi)2 / npi 1 50 - 150 14 0,1002 10,020 3,980 15,8404 1,5809 2 150 - 250 24 0,2669 26,690 -2,690 7,2361 0,2711 3 250 - 350 35 0,3432 34,320 0,680 0,4624 0,0135 4 350 - 450 20 0,2041 20,410 -0,410 0,1681 0,0082 5 450 - 550 7 0,0586 5,860 1,140 1,2996 0,2218   Суммы 100 0,9730 97,300 2,0955 2,0955. Найдем по таблице критическое значение критерия , k = m – s – 1 , m = 5 - число интервалов, s = 2 - число параметров распределения,  = 0,05 - уровень значимости, k = 5 - 2 - 1 = 2, = 5,99. Сравниваем наблюдаемое значение критерия с критическим 2,0955 < 5,99. Это означает, что наблюдаемое значение не попало в критическую область. Поэтому гипотеза о нормальном распределении размера кредита согласуется с данными выборки и должна быть принята. Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (xi; xi+1], а высота которых равна . ki = xi+1 - xi - длина частичного интервала, ki = 100, n  ki = 100  100 = 10000 , , , , . Для построения графика нормальной кривой отметим точки (xi; pi/k), где xi - середина интервала, pi - вероятность попадания в интервал. Вершина при х = а = 282. 0,0574. p1 / k = 0,1002 / 100 = 0,0010 p2 / k = 0,2669 / 100 = 0,0027 p3 / k = 0,3432 / 100 = 0,0034 p4 / k = 0,2041 / 100 = 0,0020 p5 / k = 0,0586 / 100 = 0,0006 3. Решение. По исходным данным составим корреляционную таблицу, где интервалы представлены своими серединами. yj xi 20 30 40 50 60 ni 20 7 3 10 30 52 110 13 1 176 40 1 14 23 2 40 50 1 4 6 1 12 60 3 6 9 70 3 3 nj 60 128 40 12 10 250 1) Найдем групповые средние по Y по формуле . x1 = 20 (20  7 + 30  3) / 10 = 230 / 10 = 23,000 x2 = 30 (20  52 + 30  110 + 40  13 + 50  1) / 176 = 4910 / 176 = 27,898 x3 = 40 (20  1 + 30  14 + 40  23 + 50  2) / 40 = 1460 / 40 = 36,500 x4 = 50 (30  1 + 40  4 + 50  6 + 60  1) / 12 = 550 / 12 = 45,833 x5 = 60 (50  3 + 60  6) / 9 = 510 / 9 = 56,667 x6 = 70 60  3 / 3 = 60,000 Составим таблицу 2. Таблица 2 xi 20 30 40 50 60 70 23,000 27,898 36,500 45,833 56,667 60,000 По точкам (хi; ) построим эмпирическую линию регрессии Y на X. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением y = ax + b, где a и b неизвестные параметры и их нужно определить. Групповые средние по Х найдем по формуле . y1 = 20 (20  7 + 30  52 + 40  1) / 60 = 1740 / 60 = 29,000 y2 = 30 (20  3 + 30  110 + 40  14 + 50  1) / 128 = 3970 / 128 = 31,016 y3 = 40 (30  13 + 40  23 + 50  4) / 40 = 1510 / 40 = 37,750 y4 = 50 (30  1 + 40  2 + 50  6 + 60  3) / 12 = 590 / 12 = 49,167 y5 = 60 (50  1 + 60  6 + 70  3) / 10 = 620 / 10 = 62,000 Составим таблицу 3 Таблица 3 29,000 31,016 37,750 49,167 62,000 yj 20 30 40 50 60 По точкам (; yj) построим эмпирическую линию регрессии X на Y. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением x = cy + d, где c и d неизвестные параметры и их нужно определить. Для получения уравнений прямых регрессий вычислим выборочные средние и . 33,72 31,36 Выборочные дисперсии находим по формулам и 1214 1214 – 33,722 = 76,9616. 1076,8 1076,8 – 31,362 = 93,3504. Вычислим средние квадратические отклонения 8,7728; 9,6618. Вычислим по формуле .  = (20  20  7 + 20  30  3 + 30  20  52 + 30  30  110 + 30  40  13 + 30  50  1 + + 40  20  1 + 40  30  14 + 40  40  23 + 40  50  2 + 50  30  1 + 50  40  4 + + 50  50  6 + 50  60  1 + 60  50  3 + 60  60  6 + 70  60  3) / 250 – 33,72  31,36 = = 281000 / 250 – 1057,4592 = 1124 – 1057,4592 = 66,5408. Вычислим коэффициенты регрессии по формулам 66,5408 : 76,9616  0,8646  0,865; 66,5408 : 93,3504  0,7128  0,713. а) Составим уравнение регрессии X на Y x – 33,72 = 0,713  ( y – 31,36 ) или x = 0,713 y + 11,366. Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (11,366; 0,00). Уравнение регрессии X на Y показывает средний возраст мужчины, вступившего в брак с женщиной возраста y. Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,713 состоит в том, что при увеличении возраста женщины, вступающей в брак, на 1 год возраст супруга увеличивается в среднем на 0,713 года. Составим уравнение регрессии Y на X y – 31,36 = 0,865  (x – 33,36) или y = 0,865 x + 2,206. Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (0,00; 2,206). Уравнение регрессии Y на X показывает средний возраст женщины, вступившей в брак с мужчиной возраста х. Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,865 состоит в том, что при увеличении возраста мужчины, вступающего в брак, на 1 год возраст супруги увеличивается в среднем на 0,865 года. б) Коэффициент корреляции 0,7850. Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение ; 19,958. Критическое значение для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n–2= = 250 -2 = 248 находим по таблице t1- 0,05;248 = t0,95;248 = 1,97. Получили |tнабл| > tкр, так как 19,958 > 1,97. Следовательно, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Коэффициент корреляции r = 0,7851 > 0 и попадает по абсолютной величине в интервал 0,7 - 0,99. Следовательно, между возрастом вступающих в брак мужчины (Х) и женщины (Y) существует прямая сильная корреляционная связь. При увеличении (уменьшении) значения одной величины соответственно увеличивается (уменьшается) среднее значение другой. в) Используем уравнение прямой регрессии Х на Y x = 0,713 y + 11,366. При y = 30 х = 0,713  30 + 11,366 = 32,756. Средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет, равен 32,756 лет.

Похожие:

	Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Методические указания к семинарским занятиям, практикум, контрольные работы и задания		Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Начальник управления имущественных и земельных отношений администрации Мошковского района
	Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Разработчик программы: кандидат военных наук, доцент кафедры менеджмента и маркетинга вавт кочетков Владимир Викторович		Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Физическое лицо как субъект гражданских правоотношений. Правоспособность и дееспособность гражданина. Документы, удостоверяющие личность...
	Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Цель урока: формирование умений применять понятие симметрии в различных областях науки и жизни, сформировать навыки построения симметричных...		Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Муниципальное общеобразовательное учреждение Избердеевская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза В. В. Кораблина...
	Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Рф как обязательная дисциплина. Учебный курс посвящен изучению гражданского права, устанавливающего и регулирующего имущественно-стоимостные...		Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Включает 1 задание (С1) и представляет собой небольшую письменную работу по прослушанному тексту (сжатое изложение). Исходный текст...
	Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... Умк учебно-методический комплекс Кафедры теории права и сравнительного правоведения для студентов 1 курса Факультета Права // Автор-составитель...		Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального... «О премиях Пермского края в области науки» и на основании предложений Совета по присуждению премий Пермского края в области науки...
	Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного... Минимальные требования к содержанию дисциплины/модуля/спецкурса: Информационная безопасность		Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного... Тема 10. Методологические проблемы сохранения культурного наследия в электронном виде 11
	Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного... Минимальные требования к содержанию дисциплины (определены содержанием гсэ. Ф. 02 «Иностранный язык»)		Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного... Петра I; государст- венное и региональное управление в середине и второй половине 18 века
	Министерство сельского хозяйства российской федерации томский сельскохозяйственный... Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования		Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного... Взаимосвязь дисциплины/модуля/спецкурса с другими дисциплинами учебного плана специальности (сетов в гос впо)