1.5. Построение страховой математической модели оценки профессиональных рисков
В качестве численной характеристикой доли утраченного здоровья или трудоспособности рассмотрим число  из отрезка [0, 1] (нуль соответствует абсолютно здоровому человеку, а единица – полной потере здоровья). Некоторое значение  ,  , этой характеристики отвечает такой степени потери трудоспособности, при которой приходится переводить работника на менее вредное производство. Так как измерения доли утраченной трудоспособности во многом носят субъективный характер, то принятие решения о переводе работника на менее вредное производство или инвалидность является случайным, и вероятность принятия такого решения монотонно зависит от реальной доли Z утраченной трудоспособности.
Процесс ухудшения здоровья и утраты трудоспособности человека, работающего на производствах с вредными и/или опасными условиями труда, можно описывать разными способами, из которых далее рассматриваются два вида: детерминированная последовательность чисел из отрезка [0,1] и цепь Маркова с дискретным временем, множеством состояний которой является совокупность чисел от 0 до 1.
Чтобы учитывать ситуации, когда ухудшение состояния здоровья приводит (по случайным причинам) либо к инвалидности или смерти работника, либо к необходимости его перевода на работу с менее вредными условиями и выплаты в связи с этим периодической компенсации потери заработка вплоть до выхода на досрочную пенсию, имеет смысл дополнить величину Z, характеризующую состояние здоровья, дискретной компонентой, определяющей состояние работника: остается он на основном (вредном) производстве, переведен ли на менее вредное производство, переведен на пенсию по инвалидности и т.п. Параметры такой модели зависят от характера производства и выбираются в соответствии с имеющимися статистическими данными.
Изменения численной характеристики здоровья как в детерминистической, так и в вероятностной моделях должны отражать следующие особенности:
а) доля утраченного здоровья естественно увеличивается с возрастом;
б) характер вредных/опасных условий труда определяет специфическую совокупность накапливающихся повреждений организма и характерный для каждого вида производства уровень утраты здоровья за заданное время работы, обусловленный условиями труда (без учета ситуаций полной потери трудоспособности);
в) при малой доле утраченного здоровья восстановительные и компенсационные возможности организма велики, и утрата здоровья и работоспособности происходит медленнее, чем при умеренной доле утраченного здоровья;
г) если характер вредных воздействий условий труда существенно влияет лишь на часть подсистем организма, то при приближении к предельному для данного производства уровню скорость увеличения утраты здоровья уменьшается; аналогично, процесс утраты здоровья может также замедляться к старости в связи с замедлением всех процессов в организме;
д) вероятность наступления инвалидности и/или необходимости перевода на работу с пониженным уровнем вредности условий труда возрастает с увеличением доли утраты здоровья.
Введем следующие обозначения:
Zt – числовая характеристика доли утраченной трудоспособности после t лет работы при вредных и/или опасных условиях (как отмечалось, 0 Zt 1),
b – естественный уровень утраты трудоспособности за год в связи с увеличением возраста, обусловливающий среднюю утрату трудоспособности около 35% к моменту выхода на пенсию по старости в 55–60 лет,
p – степень утраты трудоспособности за год, обусловленный вредными/опасными условиями труда.
Обозначим также через qперев(t) и qвых(t) соответственно вероятности того, что в течение года работник, у которого стаж работы с вредными/опасными условиями труда равен t, в связи с ухудшением состояния здоровья будет переведен на менее вредную работу (и возникнет необходимость в расходовании средств страхового фонда на компенсацию потери заработка) или что он получит право на пенсию по инвалидности или умрет (в обоих случаях он выходит из системы рассматриваемого вида страхования).
В модели выбрана прямая зависимость этих вероятностей от стажа работы, а не от уровня утраты трудоспособности. Такой подход исключает неизбежную субъективность в определении уровня утраты трудоспособности и упрощает оценку этих параметров по статистическим данным. Динамику параметров qперев(t) и qвых(t) можно использовать для обнаружения существенных изменений в уровне вредности/опасности условий труда.
Можно построить много различных математических моделей, в той или иной мере соответствующих описанным выше особенностям процесса утраты здоровья. Ниже описаны две: детерминистическая и вероятностная.
В обеих моделях предполагается, что существует объективный уровень Wt повреждений подсистем организма за t лет работы при вредных условиях труда. Величина Wt ежегодно увеличивается в соответствии с интенсивностями b и p, но медицинские измерения Zt последствий этих повреждений описываются нелинейной функцией h(x), которая принимает значения из отрезка [0, 1] и медленно растет при малых и больших уровнях повреждений: Zt = h(Wt).
Чтобы учесть отмеченное выше замедление влияния вредных/опасных условий труда на трудоспособность Zt, влияние параметра p компенсируется коэффициентом, уменьшающимся при увеличении стажа работы на производстве с вредными/опасными условиями труда. В качестве такого коэффициента в модели выбрана функция max{0,1 – t/T}, где t – стаж работы на производстве с вредными/опасными условиями труда, а T – величина, которая не меньше максимально возможного времени работы при таких условиях. Иначе говоря, средний уровень влияния вредных/опасных условий труда на величину Wt на t-м году стажа считается в модели равным (1 – t/T) p при t < T и равным 0 при t ≥ T.
В детерминистической модели уравнения в этом случае принимают вид
Zt = h(Vt), Vt+1 = Vt + b + p (0,1 – t/T), t =0,1,…T. (1.1)
Выбирая подходящий аналитический вид функции h(x) и значения параметров b, p и T, можно получать желаемый вид зависимости величины Zt от параметра t.
Так, по статистическим данным, приближенные оценки уровня трудоспособности в зависимости от возраста и условий труда имеют следующий вид (см. Табл. 1):
Таблица 1
Зависимость уровня трудоспособности (значения 1 – Z) от возраста и условий труда19
Возраст
|
Условия труда
|
Благоприятные
|
Список № 2
|
Список № 1
|
35
|
1 = 100%
|
0,95 = 95%
|
0,9 = 90%
|
50
|
|
|
0,55 = 55%
|
55
|
|
0,55 = 55%
|
|
60
|
0,65 = 65%
|
|
|
80
|
0,3 = 30%
|
0,25 = 25%
|
0,2 = 20%;
|
Численные расчеты показали, что близкие результаты получаются в математической модели при нелинейной функции
 , (1.2)
T = 40, b = 0,018 и p = 0 для благоприятных условий труда:
Vtблаг = 0,018 max(0,t – 25), Ztблаг = h(Vtблаг)
(предполагается, что в 25 лет человек практически здоров), p = 0,009 для списка № 2:
Vt(2) = Vwблаг + 0,018 max(0,t – 25) + 0,009 t(1 – t/(2T)), Zt(2) = h(Vt(2)),
где w – возраст поступления на работу с вредными/опасными условиями тркда, и p = 0,014 для списка № 1:
Vt(1) = Vwблаг + 0,018 max(0,t – 25) + 0,0014 t(1 – t/(2T)), Zt(1) = h(Vt(1)),
Графики функции Zt при этих значениях параметров приведены ниже на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость утраты трудоспособности от возраста и условий труда в математической модели.
Численные значения функций Zt при этих параметрах, соответствующие таблице 1, приведены в таблице 2.
Таблица 2
Зависимость уровня утраты трудоспособности (значения Zt) от возраста и условий труда в математической модели
Возраст
|
Условия труда
|
Благоприятные
|
Список № 2
|
Список № 1
|
35
|
0,025
|
0,06
|
0,09
|
50
|
0,182
|
0,354
|
0,450
|
55
|
0,277
|
0,459
|
0,547
|
60
|
0,378
|
0,546
|
0,620
|
80
|
0,684
|
0,759
|
0,789
|
Формулы для кусочно-линейных приближений функций, изображенных на Рис. 2 и в таблице 2, имеют следующий вид (см. Табл. 3):
Таблица 3
Приближенные формулы для зависимости уровня утраты трудоспособности (значения Zt) от возраста и условий труда в математической модели при начале работы в 20 лет
Возраст
t
|
Условия труда
|
Благоприятные
|
Список № 2
|
Список № 1
|
От 20 до 30
|
0,004
|
0,004+0,005(t–20)
|
0,004+0,01(t–20)
|
От 30 до 45
|
0,004+0,006(t–30)
|
0,054+0,015(t–30)
|
0,104+0,021(t–30)
|
От 45 до 60
|
0,094+0,013(t–45)
|
0,279+0,008(t–45)
|
0,419+0,001(t–45)
|
Аналогичные формулы для уровня утраты трудоспособности в зависимости от стажа и класса условий труда имеют похожий аналитический вид, но параметры подбираются в соответствии со статистическими данными20, согласно, которым, степени утраты трудоспособности после 30 лет занятости составляют:
для класса 3.2 25-30%
для класса 3.3 30-35%
для класса 3.4 35-40%
для класса 4 40-50%
Параметры модели (1) – (2), соответствующие этим данным, приведены в таблице 4:
Таблица 4
Класс условий труда
|
b
|
p
|
T
|
3.2
|
0,018
|
0,005
|
40
|
3.3
|
0,018
|
0,008
|
40
|
3.4
|
0,018
|
0,010
|
40
|
4
|
0,018
|
0,016
|
40
|
Значениям параметров из этой таблицы соответствуют формулы
Vt(3.2) = 0,018 max(0,w + t – 25) + 0,005 t (1 – t/(2T)), Zt(3.2) = h(Vt(3.2)),
Vt(3.3) = 0,018 max(0,w + t – 25) + 0,008 t (1 – t/(2T)), Zt(3.3) = h(Vt(3.3)),
Vt(3.4) = 0,018 max(0,w + t – 25) + 0,01 t (1 – t/(2T)), Zt(3.4) = h(Vt(3.4)),
Vt(4) = Vwблаг + 0,018 max(0, w + t – 25) + 0,016 t (1 – t/(2T)), Zt(4) = h(Vt(4)),
Графики функций Zt, соответствующих таким значениям параметров, приведены на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость утраты трудоспособности от возраста и классов условий труда в математической модели.
Аналогичные приближенные формулы для различных классов условий труда приведены в Таблице 5.
Таблица 5
Приближенные формулы для зависимости уровня утраты трудоспособности (значения Zt) от возраста и классов условий труда в математической модели при начале работы в 20 лет
Возраст
t
|
Классы условий труда
|
3.2
|
3.3
|
3.4
|
От 20 до 30
|
0,004+0,001(t–20)
|
0,004+0,002(t–20)
|
0,004+0,004(t–20)
|
От 30 до 45
|
0,014+0,010(t–30)
|
0,024+0,014(t–30)
|
0,044+0,016(t–30)
|
От 45 до 55
|
0,164+0,012(t–45)
|
0,234+0,008(t–45)
|
0,284+0,006(t–45)
|
|
4
|
От 20 до 27
|
0,004+0,006(t–20)
|
От 27 до 35
|
0,046+0,012(t–27)
|
От 35 до 50
|
0,142+0,013(t–35)
|
В аналогичной вероятностной модели
Zt = h(Vt), Vt+1 = Vt + bt + pt max{0,1 – t/T}, (1.3)
функция h имеет тот же вид (1.2), но коэффициенты bt и pt (t = 0,1,…) являются независимыми случайными величинами отражающими влияние увеличения возраста, условий жизни и вредных/опасных условий труда. Распределения bt и pt можно выбирать, исходя из статистических данных и естественных предположений. В частности, математические ожидания bt и pt должны соответствовать значениям параметров b и p в детерминистической модели, а дисперсии соответствовать статистическим данным и априорным соображениям. Тогда и характеристики утраты здоровья Vt и Zt становятся случайными величинами. Случайные величины Vt представляют собой суммы независимых случайных величин, и их распределения можно вычислять с помощью стандартных методов теории вероятностей, а распределения Zt получаются из распределений Vt функциональными преобразованиями.
В этой модели моментом τ наступления страхового события – перевода абстрактного работника на работу с меньшим уровнем вредности или получения права на досрочную пенсию – является наименьшее целочисленное значение аргумента  , при котором значение Zt превышает заданный критический уровень .
|
