Программа дисциплины «Математическое моделирование» для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»

Раздел 9. Принцип максимума Понтрягина. Решение специальных задач. Классическая задача ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Особенности необходимых условий экстремума, связанные со структурой задачи. Формулировка основной теоремы о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума. Составление и анализ общей системы соотношений для определения неизвестных параметров в рассматриваемой задаче ОУ, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Задача ОУ с дополнительными ограничениями в виде равенств и неравенств, задаваемых смешанными интегрально-терминальными функционалами (обобщенная задача ОУ). Анализ полученной системы необходимых условий. Принцип максимума, как достаточное условие оптимальности в некоторых специальных задачах ОУ. Постановка классической задачи ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Понятие функции Кротова. Теорема о достаточных условиях оптимальности в форме условий на функции Кротова Принцип максимума и результаты теории КВИ. Общая теоретическая идея о связи необходимых условий в задачах ОУ (условия, входящие в принцип максимума) и необходимых условий в задачах КВИ. 5.4. План лекционных занятий. Раздел 1. Общая характеристика и постановки задач классического вариационного исчисления и оптимального управления. Лекция 1. Вводная лекция. Общая характеристика дисциплины «Математическое моделирование». Содержание данной дисциплины как важного направления в математической теории оптимизации и исследования операций. Краткий обзор разделов изучаемой дисциплины. Общая структура курса, его объем и формы отчетности (в пятом и шестом семестрах). Обзор основной и дополнительной литературы. Краткая характеристика используемых источников и форм работы с ними. Лекция 2. Задачи классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления как особые виды экстремальных задач, заданных на множествах функций x(t)=(x1(t), x2(t), …, xn(t)), u(t)=(u1(t), u2(t), …, ur(t)), где x(t)=(x1(t), x2(t), …, xn(t)) – состояния системы, а u(t)=(u1(t), u2(t), …, ur(t)) – управления системой (управляющие переменные), - параметр времени. Составные части экстремальных задач КВИ и ОУ: целевые функционалы, ограничения, граничные условия. Основные виды функционалов, ограничений и граничных условий. Общая классификация задач КВИ и ОУ: задача Лагранжа, Больца и Майера. Лекция 3. Общая постановка экстремальной проблемы, включающей в себя основные виды задач КВИ и ОУ. Общие черты и основные отличия экстремальных задач КВИ и ОУ. Конкретные постановки задач КВИ. Задачи с одним (векторным) параметром: задача Больца без ограничений, простейшая векторная задача, общая задача с граничными условиями. Задача с двумя (векторными) параметрами: задача Лагранжа. Конкретные постановки задач ОУ. Общая задача ОУ с подвижными концами интервала времени. Классическая задача ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Лекция 4.Задачи КВИ с одним параметром. Математическое определение понятия решения. Пространство функций (краткая характеристика). Определения нормы в функциональных пространствах и связанные с нормой каждого вида понятия окрестностей. Формальные определения слабого и сильного локального экстремума. Связь слабого и сильного локального экстремума. Задача КВИ с двумя параметрами. Математическое определение понятия решения. Формальные определения слабого и сильного экстремума. Связь слабого и сильного локального экстремума. Лекция 5. Общая задача ОУ. Необходимый предварительный анализ. Основные особенности задач ОУ, порожденные объективной реальностью: аналитические свойства функций состояний (траекторий) x(t), и управлений u(t), . Математическое определение понятия решения задачи ОУ. Последовательное введение понятий: управляемый процесс, допустимый управляемый процесс, оптимальный управляемый процесс. Оптимальный управляемый процесс как сильный локальный экстремум. Сущность введенного понятия оптимальности. Раздел 2. Основы теории классического вариационного исчисления. Лекция 6. Классическая задача Больца без ограничений. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка). Схема доказательства, основанная на использовании теоретических результатов, полученных на семинарских занятиях в курсе «Математические методы и модели исследования операций» (6 семестр, задача 6, 10; контрольная работа, задача 2). Вывод необходимых условий экстремума: уравнения Эйлера, условий трансверсальности. Лекция 7. Классическая задача Больца без ограничений. Развернутая (покоординатная) форма необходимых условий. Алгоритмический смысл необходимых условий экстремума. Простейшая векторная задача КВИ (задача с закрепленными концами траектории). Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка). Анализ необходимых условий. Лекция 8. Задача КВИ с граничными условиями общего вида. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка). Доказательство теоремы о необходимых условиях экстремума. Особенности необходимых условий экстремума: уравнения Эйлера и условий трансверсальности. Лекция 9. Задача КВИ с граничными условиями общего вида (продолжение). Закономерности, связанные с условиями трансверсальности. Анализ экстремальной задачи с ограничениями на примере задачи КВИ с граничными условиями общего вида. Составление системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Исследование полученной системы. Понятия экстремали и допустимой экстремали. Алгоритмический смысл необходимых условий. Общая закономерность, связанная с разрешимостью экстремальных задач КВИ и ОУ. Лекция 10. Необходимое условие Вейерштрасса в простейшей задаче КВИ. Общее определение функции Вейерштрасса для произвольной непрерывно дифференцируемой функции. Геометрический смысл функции Вейерштрасса. Многомерный вариант функции. Функция Вейерштрасса в простейшей векторной задаче КВИ. Теорема, в которой устанавливается, что условие Вейерштрасса является необходимым условием сильного минимума в простейшей задаче КВИ. Идея доказательства теоремы: метод игольчатых вариаций Вейерштрасса. Лекция 11. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия в простейшей векторной задаче КВИ. Предварительные результаты. Вспомогательные функциональные матрицы частных производных второго порядка от интегранта функционала. Условие Лежандра в скалярном и векторном вариантах. Усиленные условия Лежандра. Уравнение Якоби в общей форме. Уравнение Якоби, разрешенное относительно старшей производной. Фундаментальное решение уравнения Якоби для скалярного и векторного вариантов. Условие Якоби в скалярном и векторном вариантах (формулировки). Усиленное условие Якоби. Условие квазирегулярности функционала в простейшей задаче. Лекция 12. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в простейшей векторной задаче КВИ. Основные результаты и их анализ. Теорема о необходимых условиях слабого минимума и достаточных условиях сильного минимума в простейшей векторной задаче. Формулировка теоремы. Усиленный вариант теоремы для целевого функционала специального вида. Теорема о достаточных условиях слабого минимума в простейшей векторной задаче (формулировка). Замечания и комментарии к сформулированным теоремам. Соотношение необходимых и достаточных условий слабого и сильного минимумов. Различные условия гладкости в простейшей задаче. Проблема применения полученных теоретических результатов. Раздел 3. Задачи классического вариационного исчисления с двумя параметрами (задача Лагранжа). Лекция 13. Общая (основная) постановка задачи Лагранжа с векторными параметрами (x(t), u(t)) в классическом варианте с дифференциальной связью и с граничными условиями. Вспомогательные объекты для исследования задачи Лагранжа как экстремальной задачи с ограничениями: лагранжиан и функция Лагранжа. Множители Лагранжа в рассматриваемой задаче, их математическая природа. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка). Схема доказательства теоремы о необходимых условиях экстремума, основанная на представлении исходной задачи Лагранж в форме задачи с ограничениями вида равенств в банаховом пространстве и применении соответствующей общей теоремы о необходимых условиях экстремума (правила множителей Лагранжа). Предварительный анализ необходимых условий, их теоретический характер. Лекция 14. Анализ необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа. Предварительные замечания. Вычисление производных лагранжиана задачи по векторным параметрам на основе теоретических результатов, полученных на семинарских занятиях в курсе «Математические методы и модели исследования операций» (6 семестр, задача 5; контрольная работа, задача 1). Представление необходимы условий экстремума в преобразованной форме, предназначенной для аналитического исследования. Новая форма необходимых условий, состоящая из трех основных частей: сопряженное уравнение как дифференциальное уравнение относительно сопряженной переменной; условия трансверсальности как граничные условия к сопряженному уравнению; условие стационарности по параметру u как некоторое функциональное уравнение относительно параметра u(t). Развернутая (координатная) форма необходимых условий как систем соотношений (уравнений). Лекция 15. Анализ необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа (продолжение). Составление общей системы соотношений (уравнений) относительно неизвестных параметров в задаче Лагранжа, включающей в себя необходимые условия и ограничения исходной задачи. Алгоритмический смысл необходимых условий: соответствие числа и характера неизвестных параметров числу и характеру соотношений, входящих в полученную общую систему. Алгоритмическое описание последовательности действий при решении общей системы уравнений. Лекция 16. Обобщенная задача Лагранжа с дополнительными ограничениями. Постановка задачи Лагранжа с дополнительными ограничениями в виде равенств и неравенств, задаваемых интегрально-терминальными (смешанными) функционалами от параметров x(t), u(t). Формулировка утверждения о системе необходимых условий в обобщенной задаче. Анализ полученной системы необходимых условий. Связь с результатами общей теории экстремальных задач. Алгоритмический смысл необходимых условий. Раздел 4. Математическая связь задач классического вариационного исчисления и оптимального управления. Лекция 17. Сравнительная характеристика задачи КВИ с двумя параметрами (задачи Лагранжа) и общей задачи оптимального управления с непрерывным временем. Формулировка задачи Лагранжа с дифференциальной связью и граничными условиями и задачи оптимального управления с дифференциальной связью, граничными условиями и ограничениями на управление. Соответствие структуры и составных частей двух экстремальных задач. Сравнение аналитических условий на функции, определяющие этим экстремальные задачи. Соотношение необходимых условий экстремума в данных экстремальных задачах. Лекция 18. Аналитическое сравнение необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа и в общей задаче оптимального управления. Формулировка необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа (теоретическая лагранжева форма) и необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления (принцип максимума в форме Лагранжа). Возможности преобразования необходимых условий в обеих задачах. Соотношения между всеми составными частями необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа и задаче оптимального управления. 6 семестр Раздел 5. Математическое описание проблемы оптимального управления. Лекция 19. Постановка задачи оптимального управления (ОУ) как экстремальной задачи с ограничениями, определенной на множествах функций где описывает состояние системы (фазовые переменные), описывает управление системой (управляющие переменные), параметр времени. Основные особенности задачи ОУ, порожденные объективными причинами. Аналитические свойства функций состояний (траекторий) и управлений Общая постановка задачи ОУ с непрерывным временем. Составные части задачи (целевой функционал и ограничения). Общая постановка задачи ОУ с дискретным временим. Составные части задачи (целевой функционал и ограничения). Раздел 6. Принцип оптимальности Беллмана. Введение в теорию (рассматривается на семинарских занятиях). Раздел 7. Принцип оптимальности Беллмана. Основная теория. Лекция 20. Принцип оптимальности Беллмана. Общая формулировка, принадлежащая автору. Различные варианты формулировок принципа оптимальности. Теоретическое значение принципа оптимальности. Метод динамического программирования как общий метод решения задач оптимизации. Основное содержание метода. Пять основных этапов реализации метода динамического программирования и их общая характеристика. Лекция 21. Задача оптимального управления с дискретным временем. Математическая постановка задачи. Решение задачи ОУ с дискретным временем: выполнение уравнений Беллмана и достаточные условия оптимальности. Доказательство теоремы для двух вариантов задачи: при наличии терминального члена в целевом функционале и при отсутствии терминального члена. Принципиальная идея, связанная с применением метода динамического программирования: если некоторый управляемый процесс удовлетворяет уравнениям Беллмана и ограничениям исходной задачи, то он является оптимальным. Лекция 22. Алгоритм решения задачи ОУ с дискретным временем и его численная реализация. Система функциональных уравнений Беллмана как теоретическая основа алгоритма решения задачи. Дискретизация задачи (переход к дискретным множествам состояний и управлений). Первый этап реализации алгоритма (подготовительный). Создание вспомогательных массивов данных значений функции Беллмана и значений параметров управления, на которых достигается равенство в уравнениях Беллмана. Второй этап реализации алгоритма (завершающий). Определение оптимальных значений параметров управления. Оптимальность решения задачи ОУ с дискретным временем, полученного при реализации данного алгоритма. Лекция 23. Задача оптимального управления с непрерывным временем. Метод динамического программирования. Классическая задача ОУ с фиксированными концами интервала времени закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Рассмотрение семейства задач ОУ, зависящих от начального момента времени и начального состояния (начала траектории) . Функция Беллмана. Вывод уравнения Беллмана, основанный на принципе оптимальности. Особенности уравнения Беллмана в задачах с непрерывным временем. Уравнение Беллмана как уравнение с частными производными и наличием операции взятия экстремума.

Похожие:

	Программа дисциплины «Модели корпусной лингвистики» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 68 "Прикладная...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины «Герменевтика» для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа дисциплины Современные методы принятия решений  для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины “Философия науки“ для направления 010400. 62... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 62 «Прикладная...
	Программа дисциплины Архитектура ЭВМ для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления для направления...
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления... Оборудование: термометр, веер, стороны света, карточки со словами, картинки с изображением облаков
	Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....		Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....
	Программа дисциплины Информационная безопасность для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....
	Программа дисциплины «История» для направления 231300. 62 и 230700.... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 231300....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов первого года обучения по направлению...